On persistent homology of random Čech complexes

随机旗复形同调的单侧锐阈值

One-sided sharp thresholds for homology of random flag complexes

本文研究随机旗复形同调与基本群的概率阈值，证明存在同调不消失概率介于零与一之间的中间区间，并给出基本群为自由群的锐阈值新界，同时构造出基本群既非自由群也不具有 Kazhdan 性质 (T) 的概率区间。

单纯复形：谱、同调和随机游动

Simplicial complexes: spectrum, homology and random walks

图上的随机游动反映了图的许多拓扑和谱性质，如连通性、二分性和谱隙大小。本文的第一部分定义了任意维单纯复形上的随机过程，它以类似的方式反映了高维同调的存在性，以及Eckmann和Garland的工作中提出的高维谱隙的大小。本文的第二部分是致力于无限复形。本文推广了Kesten关于正则树谱的结果，并讨论了返回概率与谱半径之间的关系。我们研究了Alon-Boppana定理关于谱隙的类似物，并给出了高维对应物的一个反例。然而，我们表明，在某些假设下，该定理确实成立-例如，如果余维一骨架的复合物的问题形成一个家庭的扩展。我们的研究表明，自然的概括，从图论，如顺从性，递归/瞬态，和二分性的许多概念。我们提出了一些意见，这些想法，和几个开放的问题。

Small simplicial complexes with prescribed torsion in homology

For $d \geq 2$ and $G$ a finite abelian group, define $T_d(G)$ to be the minimum number of vertices $n$ so that there exists a simplicial complex $X$ on $n$ vertices which has the torsion part of $H_{d - 1}(X)$ isomorphic to $G$. Here we establish an upper bound on $T_d(G)$ which matches the known lower bound up to a constant factor. That is, we prove that for every $d \geq 2$ there exist constants $c_d$ and $C_d$ so that for any finite abelian group $c_d(\log |G|)^{1/d} \leq T_d(G) \leq C_d(\log |G|)^{1/d}.$

随机单纯复形贝蒂数的极限定理

Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes

最近有几篇文章研究各种类型的随机单纯复形的同调。有几个定理涉及到同调消失的阈值，以及在某些情况下对贝蒂数的期望。然而，迄今为止，人们对随机贝蒂数的极限分布知之甚少。在这篇文章中，我们建立了不同类型的随机单纯复形的贝蒂数的Poisson和正规逼近定理：Erdens-Rényi随机团复形，随机Vietoris-Rips复形，和随机Čech复形。这些结果可能在拓扑数据分析中具有实际意义。

Cohen--Lenstra heuristics for torsion in homology of random complexes

We study torsion in homology of the random $d$-complex $Y \sim Y_d(n,p)$ experimentally. Our experiments suggest that there is almost always a moment in the process where there is an enormous burst of torsion in homology $H_{d-1}(Y)$. This moment seems to coincide with the phase transition studied in \cite{AL,LP,LP3} , where cycles in $H_d(Y)$ first appear with high probability. Our main study is the limiting distribution on the $q$-part of the torsion subgroup of $H_{d-1}(Y)$ for small primes $q$. We find strong evidence for a limiting Cohen--Lenstra distribution, where the probability that t…