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拓扑对含Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数的椭圆型方程正解个数的影响

The effect of topology on the number of positive solutions of elliptic equation involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent

Divya Goel

备注：
21 pages
发表信息：
Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2019
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摘要：

本文研究了Choquard方程\[ -Δu = λ|u|^{q-2}u +\left(\int_Ω\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ} dy \right)|u|^{2^*_μ-2} u \; \text{in}\; Ω,\quad u = 0 \; \text{ on } \partial Ω, \]，其中$Ω$是一个开有界集，在$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$，$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$和$q \in [2,2^*)$中具有连续边界，其中$2^*=\frac{2N}{N-2}$ .利用Lusternik-Schnirelman理论，我们将上述问题的正解个数与$Ω$的拓扑联系起来.事实上，我们证明了如果$λ< λ_1$，那么无论何时$q \in [2,2^*)$和$N>3 $或$4<q<6 $和$N=3$，问题都有$\text{cat}_Ω(Ω)$正解。

英文摘要：

In this article we are concern for the following Choquard equation \[ -Δu = λ|u|^{q-2}u +\left(\int_Ω\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ} dy \right)|u|^{2^*_μ-2} u \; \text{in}\; Ω,\quad u = 0 \; \text{ on } \partial Ω, \] where $Ω$ is an open bounded set with continuous boundary in $\mathbb{R}^N( N\geq 3)$, $2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$ and $q \in [2,2^*)$ where $2^*=\frac{2N}{N-2}$. Using Lusternik-Schnirelman theory, we associate the number of positive solutions of the above problem with the topology of $Ω$. Indeed, we prove if $λ< λ_1$ then problem has $\text{cat}_Ω(Ω)$ positive solutions whenever $q \in [2,2^*)$ and $N>3 $ or $4<q<6 $ and $N=3$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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