Dynamic Balanced Graph Partitioning
本文从在线的角度研究经典的平衡图划分问题：给定$n$节点之间的成对通信请求的任意序列，其模式可能会随着时间的推移而变化，目标是通过将节点划分为$\ell$簇来有效地服务这些请求，每个簇的大小为$k$，使得频繁通信的节点位于同一簇中。分区可以通过在集群之间迁移节点来动态更新。我们的目标是设计在线算法，共同最大限度地减少集群间的通信量和迁移成本。这个问题与其他著名的在线问题有着有趣的联系。例如，使用$\ell=2$的场景推广了在线分页，而使用$k=2$的场景构成了最大匹配的一种新的在线变体。我们提出了几个下限和算法的设置和没有集群大小扩增。特别是，我们证明了任何确定性的在线算法具有至少$k$的竞争比，即使有显着的增强。我们的主要算法的贡献是一个$O(k \log{k})$ -竞争的确定性算法的一般设置与不断增强，和一个恒定的竞争算法的最大匹配变量。
2020-05-13 cs.DS
Streaming Balanced Graph Partitioning for Random Graphs
存储数据的规模最近出现了爆炸式增长，部分原因是存储技术的进步，部分原因是云计算的日益普及和生成的大量数据。这激发了对可以计算近似解而无需完全随机访问所有数据的流算法的需求。我们模型的问题加载到一个分布式集群的图计算一个近似平衡的$k$ -分区的一个图形在流的方式，只有一个通过的数据。我们给出了这个问题的下界，表明没有算法可以获得一个随机或对抗流排序的$o(n)$近似。我们分析了两个变种的随机贪心算法，一个是喜欢的$\arg\max$和一个是成比例的，随机图与嵌入式平衡$k$ -削减，并能够在理论上约束每个算法的性能-的$\arg\max$算法是能够恢复嵌入式$k$ -削减，而令人惊讶的是，比例的变体不能。这与[25]中的实验结果一致。
2012-12-05 cs.DS
A Polynomial Algorithm for Balanced Clustering via Graph Partitioning
聚类的目的是发现数据集中的自然组，并识别可能存在于其中的几何结构，而无需假设任何关于数据特征的先验知识。这个问题可以看作是检测由相似性函数控制的度量空间中给定点集的组之间的固有分离。所有数据对象之间的成对相似性形成加权图邻接矩阵，该矩阵包含聚类过程的所有必要信息，因此可以将其公式化为图划分问题。在这种情况下，我们提出了一个新的集群质量的措施，它使用的最大生成树，并允许我们在多项式时间的最小-最大原则下计算的最佳聚类。我们的算法可以应用时，需要负载平衡的集群。
2018-01-25 cs.CG cs.DS
Yet Another Graph Partitioning Problem is NP-Hard
近年来，大量的图分离器问题被证明是\textsc{NP-Hard}。令人惊讶的是，我们发现$α$ -子图平衡顶点分隔符，一个重要的变量，被忽略了。在这项工作“又一个图划分问题是NP-难”，我们提出了令人惊讶的结果，$α$ -子图平衡顶点分隔符是$NP$ -难。这是尽管事实上，我们的新问题的约束比原来的问题更难满足。
2014-03-21 cs.CC cs.DS
Balanced TSP partitioning
针对k≥2个推销员分工协作访问城市的速度提升问题，本文证明二维欧几里得场景下两个推销员加速比至少为1/2 + 1/π≈0.818且存在输入无法更高，还给出k≥3时的上下界。
2025-04-14 cs.CG cs.DS
Balanced Partitioning of Several Cache-Oblivious Algorithms
Frigo等人提出了一种理想的缓存模型和递归技术，以缓存无关的方式设计顺序缓存高效算法。Ballard等人指出，将该技术扩展到任意架构是一个基本的开放问题。Ballard等人提出了另一个悬而未决的问题，即如何在任意数量的处理器上准确有效地并行化Strassen算法。我们提出了一种新的方式分区的高速缓存不经意的算法，以实现完美的强缩放任意数量，甚至是素数，在一定范围内的共享内存设置的处理器。我们的方法是处理器感知但缓存不经意（PACO）。我们展示了我们的方法在几个重要的高速缓存无关算法，包括LCS，一维，GAP，经典的矩形矩阵乘法的半环，和Strassen的算法。我们将讨论如何将我们的方法扩展到分布式内存架构，甚至异构计算系统。因此，我们的工作可能会提供一个新的角度上的基本开放的问题，扩展递归缓存无关技术的任意架构。我们提供了一个几乎精确的解决方案，并行化Strassen的开放问题。我们的方法可能会提供一个新的角度扩展递归缓存无关技术的任意架构。我们的所有算法都比最著名的算法表现出更好的可扩展性或更好的总体并行缓存复杂性。初步的实验证明了我们的理论预测，PACO算法可以显着优于最先进的处理器不经意（PO）和处理器感知（PA）的同行。
2020-11-03 cs.DC cs.DS
Balanced Judicious Partition is Fixed-Parameter Tractable
由Bollobás和Scott引入极值组合学领域的明智划分问题家族，已经从结构的角度进行了二十多年的广泛研究。这个丰富的问题领域旨在平衡经典分割问题的目标，如最小切割，最小二分法和最大切割。虽然这些经典的问题只集中在最小化/最大化的边缘的数量交叉切割，明智的（双）分区问题问的自然问题的最小化/最大化的边缘的数量躺在（两个）侧的切割。特别是，明智的二分区（JB）寻求一个“明智”的二分区，在这个意义上，任何一方都没有太多的边缘负担，平衡JB也要求双方的大小本身是“平衡”的，在这个意义上，他们都不是太大。这两个问题都是在Bollobás和Scott的工作中定义的，并且从那时起就受到了显着的科学关注。本文从算法设计的角度对合理划分问题进行了研究。具体地，我们证明了BJB是FPT（这也证明了JB是FPT）。
2017-10-16 cs.DS
More Recent Advances in (Hyper)Graph Partitioning
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；Heidelberg University（海德堡大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）；Apple Inc.（苹果公司）
近年来，在平衡（超）图划分算法的设计和评估方面取得了重大进展。我们调查的趋势，在过去十年中的实际算法平衡（超）图分割与未来的研究方向。我们的工作是对以前关于这一主题的调查的更新。特别是，该调查扩展了以前的调查，还包括超图分区和流算法，并有一个额外的重点放在并行算法。
2022-06-30 cs.DS cs.LG
Streaming Graph Partitioning in the Planted Partition Model
图数据规模的急剧增加已经引起了人们对开发高效的分布式图处理框架的极大兴趣。流行的现有框架，如Graphlab和Pregel依赖于平衡图分区，以最大限度地减少通信并实现工作平衡。在这项工作中，我们有助于流图分区\cite{stantonstreaming,stanton,fennel}计算一个近似平衡的$k$ -分区的顶点集的图形流使用度为基础的标准，使用一个单一的通过最近的研究线。这个图划分框架非常适合处理大规模和动态图。在这项工作中，我们介绍了使用更长的步行流图分区，并表明，它们的使用会产生一个小的计算成本，可以显着提高图形分区的质量。我们使用种植分区模型\cite{condon2001algorithms,mcsherry2001spectral}对我们的算法进行平均情况分析。我们补充斯坦顿\cite{stantonstreaming}的最近结果表明，我们提出的方法恢复真正的分区具有很高的概率，即使当差距的模型趋于零的大小的图形的增长。此外，在众多的选择中，我们发现建议的长度是最佳的。最后，我们进行了实验，验证了所提出的方法的价值。
2014-08-20 cs.DC cs.DS
Polylog-Competitive Algorithms for Dynamic Balanced Graph Partitioning for Ring Demands
研究面向环通信模式的在线均衡图划分问题，提出 O(log^3 n) 竞争的随机在线算法，并给出相对静态最优为 O(log^2 n) 竞争的另一算法。
2023-04-20 cs.DS
Multilevel Hypergraph Partitioning with Vertex Weights Revisited
平衡超图划分问题（HGP）是将超图的顶点集划分为k个不相交的有界权块，同时极小化定义在超边上的目标函数。现实世界的应用程序通常使用顶点和边的权重来准确地建模底层问题，而HGP研究社区通常使用未加权的实例。在本文中，我们认为，在顶点权重的存在下，目前的平衡约束定义要么产生不可行的分割问题，或允许不必要的大的不平衡，并提出了一个新的定义，克服了这些问题。我们表明，国家的最先进的超图分区往往斗争相当加权实例和紧平衡约束（即使与我们的新的平衡定义）。因此，我们提出了一个递归二分技术，能够可靠地计算平衡（因此可行）的解决方案。所提出的方法通过预先分配最重顶点的一个小子集到每个bipartition的两个块（使用最初为作业调度问题开发的算法）来平衡分区，并优化剩余顶点上的实际分区目标。我们将我们的算法集成到多级超图分区KaHyPar，并表明我们的方法是能够计算高质量的平衡分区上的一组不同的基准实例。
2021-02-02 cs.DS
Doubly Balanced Connected Graph Partitioning
本文引入并研究了双平衡连通图划分（DBCP）问题：设$G=(V,E)$是一个连通图，其权函数$p:V\rightarrow \{-1,+1\}$满足$p(V)=\sum_{j\in V} p(j)=0$ .目标是将$G$划分为$(V_1,V_2)$，使得$G[V_1]$和$G[V_2]$是连接的，$|p(V_1)|,|p(V_2)|\leq c_p$和$\max\{\frac{|V_1|}{|V_2|},\frac{|V_2|}{|V_1|}\}\leq c_s$，对于某些常数$c_p$和$c_s$。当$G$是2-连接的，我们证明了与$c_p=1$和$c_s=3$的解决方案总是存在的，可以在多项式时间内找到。此外，当$G$是3-连通时，我们证明总是存在一个“完美”解（具有$p(V_1)=p(V_2)=0$和$|V_1|=|V_2|$的分区，如果是$|V|\equiv 0 (\mathrm{mod}~4)$），并且可以在多项式时间内找到它。我们的技术可以扩展到权重是任意的（不一定是$\pm 1$）的情况，以及$p(V)\neq 0$和超额供给/需求应该均匀分配的情况，得到类似的结果。它们也适用于将具有两种类型节点的图划分为两个大的连通子图的问题，这些子图近似地保持两种类型的比例。
2016-07-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Fast Balanced Partitioning is Hard, Even on Grids and Trees
两种近似算法存在的k-平衡划分问题：那些是快速的，但计算不满意的近似比，和那些保证高质量的比率，但很慢。在本文中，我们证明了这种运行时间和解决方案的质量之间的权衡是必要的。对于这个问题，需要找到图中的最小边数，当切割时，将顶点划分为k个相等大小的集合。我们开发了一个约简框架，确定了一些必要条件，考虑图类，以证明问题的硬度。我们专注于两个组合简单，但非常不同的类，即树和固体网格图。后者是无限二维无洞网格的有限连通子图。首先，我们使用的框架表明，固体网格图，它是NP-困难的近似最佳数量的切割边缘内任何令人满意的比率。然后，我们考虑的解决方案，其中的集合可能会偏离相等的大小。我们的框架是用于网格和树，以证明没有完全多项式时间算法存在，计算的解决方案，其中的集合是任意接近相等的大小。即使允许切割的边的数量增加，对集合大小的限制越严格，情况也是如此。这些是第一个双准则不可逼近的结果的问题。
2019-04-26 cs.CC cs.DS
ILP-based Local Search for Graph Partitioning
计算高质量的图划分是一个具有挑战性的问题，有许多应用。在本文中，我们提出了一种新的元启发式的平衡图划分问题。我们的方法是基于整数线性规划，解决分区问题的最优性。然而，由于这些程序通常不会扩展到大的输入，我们调整它们来优化给定的分区。我们通过定义一个小得多的模型来实现这一点，该模型允许我们使用对称性破缺和其他技术，使该方法具有可扩展性。例如，在Walshaw著名的基准测试表中，当块的数量很高时，我们能够改进大约一半的条目。
2018-02-20 cs.DC cs.DS
Deterministic Parallel Hypergraph Partitioning
超图的平衡划分是一个经典的NP-难优化问题，在VLSI设计、量子电路仿真、分布式数据库的数据布局优化、高性能计算中的通信量最小化等领域有着广泛的应用。工程并行算法是近年来的研究热点。但大多数都是非确定性的。在这项工作中，我们设计和实现了一个高度可扩展的确定性算法在国家的最先进的并行分区框架Mt-KaHyPar。在我们广泛的基准测试实例集上，它实现了与Mt-KaHyPar相当但不确定的配置类似的分区质量和性能，并且在分区质量，运行时间和并行加速方面优于唯一的其他现有并行确定性算法BiPart。
2021-12-23 cs.DC cs.DS
Recursive Multi-Section on the Fly: Shared-Memory Streaming Algorithms for Hierarchical Graph Partitioning and Process Mapping
如何将图划分为平衡的块，使得块之间的边较少，是大规模分布式处理的关键问题。目前的趋势是分割巨大的图流算法，它使用低计算资源。在这项工作中，我们提出了一个共享内存流多递归分区方案，执行递归多节的飞行，而不知道整体输入图。我们的方法有一个相当低的运行时间复杂度相比，国家的最先进的非缓冲的一遍分割算法的标准图分割的情况下。此外，如果分布式系统的拓扑是已知的，则可以通过将分区映射到处理元件上来进一步优化通信成本。我们的实验表明，我们的算法是速度更快，产生更好的进程映射比竞争工具。在图分区的情况下，与Fennel相比，我们的框架以多5%的切割边缘为代价快了两个数量级。
2022-02-01 cs.DC cs.DS
Towards an SDP-based Approach to Spectral Methods: A Nearly-Linear-Time Algorithm for Graph Partitioning and Decomposition
在本文中，我们考虑以下图划分问题：输入是无向图$G=(V,E),$、平衡参数$b \in (0,1/2]$和目标电导值$γ\in (0,1).$。输出是切割，如果非空，对于某些功能$f(G, γ),$，在最多$O(f),$时具有电导，并且与最多$γ.$时的所有电导切割平衡或良好相关，Spielman和Teng给出了$\tilde{O}(|E|/γ^{2})$ -时间算法的$f= \sqrt{γ\log^{3}|V|}$，并使用它来分解成一个集合的近扩张图。我们提出了一个新的谱算法，该算法在时间上运行$\tilde{O}(|E|/γ)$为$f=\sqrtγ.$我们的结果产生了第一个近线性时间算法的经典平衡分离器问题，实现了渐近最优逼近保证谱方法。我们的方法具有概念简单的优点，并依赖于原始对偶半定规划SDP方法。我们首先考虑一个自然的SDP松弛的平衡分离器问题。虽然很容易从这个SDP中获得一个事实的证明，即该图没有电导小于$γ,$的平衡切割，但令人惊讶的是，我们可以获得更强相关条件的证明。这是通过一个新的分离预言我们的SDP和呼吁阿罗拉和凯尔的框架来约束运行时间。我们的结果包含可能独立感兴趣的技术成分。
2010-10-20 cs.DS
Balanced Districting on Grid Graphs with Provable Compactness and Contiguity
给定一个图$G = (V,E)$，其顶点权值为$w(v)$，且部分个数为$k$，图划分问题的目标是将顶点集V划分为部分$V_1,\ldots,V_k$。对各部分$V_i$的紧凑性、邻接性和平衡性的研究是常见的目标，许多现有文献关注紧凑性和平衡性。回顾一个老的方法被称为条带，我们给出了第一个多项式时间算法，保证邻接和可证明的双准则近似的紧凑性和平衡的平面网格图。我们考虑了几种类型的图划分，包括顶点权重平滑变化或随机变化时，反映了在各种现实世界的情况下的关注。我们在实验中显示出显着的改进，平衡消防部门的工作量，减少过度警务使用911呼叫数据从南富尔顿，GA。
2021-02-09 cs.DS math.CO math.OC
Tight Bounds for Online Balanced Partitioning in the Generalized Learning Model
本文研究广义学习模型下的在线均衡划分问题，提出两个确定性在线算法并给出匹配下界，证明了竞争比的紧最优性。
2024-10-23 cs.DS
Unleashing Graph Partitioning for Large-Scale Nearest Neighbor Search
针对分布式大规模 ANNS，本文提出可与任意划分方法配合的模块化快速路由算法，首次支持平衡图划分，并在十亿规模数据上显著提升 QPS 与召回性能。
2024-03-04 cs.DS cs.IR
Spectral partitioning of graphs into compact, connected regions
本研究提出谱重组算法SpecReCom及其平衡变体BalSpecReCom，用于将图划分为指定数量的连通部分，可引入权重平衡等约束，实验证明其在两类图上的划分紧凑性优于RevReCom等方法。
2025-06-16 cs.DS physics.soc-ph
High-Quality Shared-Memory Graph Partitioning
将图划分为大致相等大小的块，使得块之间的边很少，这是处理图中经常需要的操作。最近，这些网络的规模，种类和结构复杂性急剧增长。不幸的是，以前的方法并行图分区在这种情况下有问题，因为他们往往表现出速度和质量之间的负面权衡。我们提出了一种多层次共享内存并行图分区的方法，保证平衡的解决方案，显示各种大型图形的高加速，并产生非常好的质量独立于所使用的核心数量。例如，在31个核心上，我们的算法将我们最大的测试实例划分为16个块，当两种算法都有相同的时间时，比我们的主要竞争对手切割的边数少一半。重要的成分包括并行标签传播的粗化和改进，并行初始分区，一个简单而有效的方法来并行本地化的本地搜索，和快速局部保持哈希表。
2018-10-15 cs.DS
Window-based Streaming Graph Partitioning Algorithm
近年来，图形数据集的规模已经增加到这样的程度，以至于单个机器不能有效地处理大型图形。因此，有效的图划分是必要的，这些大型图的应用。传统的图分区通常在执行分区之前将整个图数据加载到内存中;这不仅是一项耗时的任务，而且还会产生内存瓶颈。这些问题的内存限制和巨大的时间复杂度可以解决使用基于流的图形分区。流图分区算法读取顶点一次，并相应地将该顶点分配给分区。这也被称为一次通过算法。本文提出了一种高效的基于窗口的流图分割算法WStream。WStream算法是一种边切割分区算法，它将顶点分布在分区之间。我们的研究结果表明，WStream算法能够有效地划分大型图形数据，同时保持不同分区之间的负载平衡，并将通信降至最低。真实负载下的测试结果也证明了该算法的有效性，在不同的数据集范围内，该算法都能显著降低负载不平衡和边切割。
2019-02-05 cs.DS
Combinatorial Geometry of Graph Partitioning - I
{ \sc $c$ -平衡分离器}问题是一个图划分问题，其中给定图$G$，目标是找到最小尺寸的切割，使得切割的两侧至少具有$cn$顶点。在本文中，我们提出了新的进展方向的{ \sc $c$ -平衡分离器}问题。更具体地说，我们提出了一个家庭的数学计划，这取决于一个参数$p > 0$，是一个扩展的统一版本的SDPs提出的Goemans和Linial为这个问题。事实上，对于$p=1$的情况，如果可以在多项式时间内解决这个程序，那么简单地使用{ \sc Max Cut} \cite{WG95}的Goemans-Williamson随机舍入算法将给出{ \sc $c$ -平衡分离器}的$O(1)$ -因子近似算法，由于Arora，Rao和Vazirani \cite{ARV}，改进了$O(\sqrt{\log n})$的最佳已知近似因子。这一系列的计划是不凸的，但可以将它们转换成所谓的\emph{\textbf{concave programs}}，其中一个优化凸可行集上的凹函数。众所周知，这类规划的最优解位于可行集\cite{TTT85}的一个极值点上。我们的主要贡献是一个组合特征的一些极端点的可行集的数学规划，$p=1$的情况下，据我们所知，这是第一次。我们进一步展示了如何可以使用这种特性来解决在一个限制设置的程序。非凸计划最近已调查Bhaskara和Vijayaraghvan \ci…
2010-11-19 cs.DS math.MG
Minimizing Congestion for Balanced Dominators
宏基因组学的主要挑战是从测序产生的短片段的混合物中重建单个微生物基因组。最近的工作利用稀疏的组装图找到$r$-支配集，使快速近似查询通过一个支配者为中心的图分区。在本文中，我们考虑两个问题，减少不确定性和提高可扩展性，在这种情况下。首先，我们观察到，具有多个最接近支配者的节点需要在现有管道中进行任意平局打破。因此，我们建议通过一个新的$\textit{congestion}$参数找到$\textit{sparse}$支配集，最大限度地减少这种影响。我们证明了最小化拥塞问题是NP难的，并给出了一个$\mathcal{O}(\sqrt{Δ^r})$近似算法，其中$Δ$是最大度.为了提高可伸缩性，图应该被划分成大小均匀的块，并将顶点与最近的支配者一起放置。这导致$\textit{balanced neighborhood partitioning}$：给定一个$r$-支配集，找到一个具有最佳一致性的连通子图的划分，使得每个顶点都与某个最接近的支配者共同分配。利用块大小的方差来度量均匀性，证明了该问题是NP难的，当且仅当$r$大于$1$.我们设计和分析了几种算法，包括多项式时间的方法，这是准确的，当$r=1$（和启发式，否则）。我们补充我们的理论结果与计算实验语料库的真实世界的网络显示稀疏支配集导致更平衡的邻域划分。此外，在宏基因组$\textsf{HuSB1}$上，我们的方法保持了高的查…
2022-07-01 cs.DS
Shared-Memory n-level Hypergraph Partitioning
我们提出了一个共享内存算法来计算高质量的平衡$k$ -路超图划分问题的解决方案。该问题要求将顶点集划分为最小化连通性度量的有界大小的$k$不相交块（即，由每个超边连接的不同块的数目的总和）。高质量的解决方案是通过并行化的核心技术，目前最好的顺序分区KaHyPar：最极端的$n$级版本的广泛使用的多级范例，其中只有一个顶点是收缩在每个级别。这种方法通过侵入式算法和数据结构实现快速和可伸缩性，这些算法和数据结构允许通过原子操作和细粒度锁定精确控制并行性。我们进行了广泛的实验，超过500现实世界的超图高达$140$百万顶点和20亿针（超边大小的总和）。我们发现，我们的算法计算的解决方案，相当于一个可比的配置KaHyPar，而平均速度快一个数量级。此外，我们表明，最近的非多级算法专门设计用于划分大型实例有相当大的质量处罚，并没有明显的优势，在运行时间。
2021-04-16 cs.DC cs.DS
FREIGHT: Fast Streaming Hypergraph Partitioning
将一个超图的顶点划分成k个大致平衡的块，使得块之间的超边很少，这是大规模分布式处理的一个关键问题。使用低计算资源划分巨大（超）图的当前趋势是流式算法。在这项工作中，我们提出FREIGHT：一个快速stREamInG超图分割算法，这是一个适应的广为人知的基于图的算法茴香。通过使用一种高效的数据结构，使FREIGHT的整体运行与超图的管脚数成线性关系，内存消耗与网络和块的数量成线性关系。我们广泛的实验结果展示了FREIGHT作为一种高效和有效的流超图分割解决方案的良好性能。我们的算法演示了具有竞争力的运行时间与散列算法，与四分之三的实例上观察到的最大因子4的差异。值得注意的是，我们的研究结果突出了所有现有的（缓冲）流媒体算法，甚至内存中的算法HYPE的优势，无论是割网和连接措施的运费。这表明，我们提出的算法是一个很有前途的超图分割工具，以应对大规模和动态数据处理所带来的挑战。
2023-02-13 cs.DS
High-Quality Multi-Constraint Hypergraph Partitioning via Greedy Rebalancing
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
针对多约束超图划分问题，提出基于贪婪局部搜索的再平衡算法，在保证平衡性的同时最小化超边连接度，集成到Mt-KaHyPar后相比Metis连接度降低11.5%。
2026-07-16 cs.DC cs.DS
Approximation Algorithm for Sparsest k-Partitioning
给定一个图$G$，最稀疏割问题要求找到具有最小扩展的顶点集$S$，定义为$$ϕ_G(S) := \frac{w(E(S,\bar{S}))}{\min \set{w(S), w(\bar{S})}}, $$，其中$w$是子集的总边权。在这里，我们研究这个问题的自然推广：给定一个整数$k$，计算$k$ -分区$\set{P_1, \ldots, P_k}$的顶点集，以最小化$$ ϕ_k(\set{P_1, \ldots, P_k}) := \max_i ϕ_G(P_i). $$我们的主要结果是一个多项式时间的双标准近似算法，输出$(1 - \e)k$ -分区的顶点集，使每一块有最多$O_{\varepsilon}(\sqrt{\log n \log k})$倍的扩展$OPT$。我们还研究了这个问题的平衡版本。
2013-10-08 cs.DS
Improved Cheeger's Inequality: Analysis of Spectral Partitioning Algorithms through Higher Order Spectral Gap
设λ（G）是无向图G的最小电导，设0=λ_1 <= λ_2 <= λ_1，λ_2 <= λ_2，λ_1 <= λ_2，λ_2 <= λ_2，λ_2 <= λ_1，λ_2 <= λ_2，λ_2 <= λ_2，λ_2 <= λ_1，λ_2 <= λ_2，λ_2 <= λ_2。<= λ_n <= 2是G的正规化Laplacian矩阵的特征值。证明了对任意图G和任意k ≥ 2，λ（G）= O（k）λ 2/ \sqrt{λ_k}，并且这种性能保证是通过谱划分算法实现的.这改进了Cheeger不等式，并且对于任何k，该界都是最优的，直到一个常数因子。结果表明，当λ k为常数且k为常数时，谱分割算法是一种求稀疏割的常数因子近似算法。这为它在图像分割和聚类问题中的经验性能提供了一些理论依据。我们将分析扩展到其他图划分问题，包括多路划分，平衡分离器，和最大割。
2013-01-23 cs.DM cs.DS math.CO
Approximation Algorithms for Semi-random Graph Partitioning Problems
在本文中，我们提出并研究了一个新的半随机模型的图划分问题。我们相信它捕捉了现实世界实例的许多属性。该模型比Feige和Kilian的半随机模型和Bui、Chaudhuri、Leighton和Sipser的种植随机模型更灵活。我们开发了一个通用的框架，解决半随机的情况下，并将其应用到几个感兴趣的问题。我们提出了常数因子双准则近似算法的平衡割，多割，最小未割，稀疏割和小集扩展问题的半随机实例。我们还展示了如何几乎恢复最优解，如果实例满足一个额外的扩展条件。我们的算法比以前研究的随机和半随机模型的大多数算法的参数范围更广。此外，我们还研究了一种新的种植代数扩展模型，并在此模型下提出了求解图划分问题的常数因子双准则近似算法。
2012-05-10 cs.CC cs.DS
Balanced Crown Decomposition for Connectivity Constraints
我们介绍了平衡冠分解，捕获的结构施加在图上的连接诱导子图的一个给定的大小。这种子图是各种应用领域中流行的建模工具，其中连通性条件的非局部性质通常导致非常具有挑战性的算法任务。平衡冠分解是冠分解和平衡划分的结合，这使得它适用于图编辑以及图填充和划分问题。我们说明了这一点，得到改进的核化和近似算法的各种这样的问题。特别是，通过这种结构，我们获得了第一个常数因子近似的平衡连接分区（BCP）的问题，其中的任务是分区的顶点加权图到$k$连接组件的近似相等的重量。我们推导出一个3-近似的两个最常用的目标，最大化的重量最轻的组件或最小化的重量最重的组件。
2021-06-24 cs.DS math.CO
Parameterized Complexity of Graph Partitioning into Connected Clusters
给定无向图$G$和$q$整数$n_1,n_2,n_3, \cdots, n_q$，平衡连通$q$ -划分问题（$BCP_q$）询问是否存在将$G$的顶点集$V$划分为$q$部分$V_1,V_2,V_3,\cdots, V_q$使得对于所有$i\in[1,q]$，$|V_i|=n_i$和在$V_i$上导出的图是连通的.被表示为平衡连通$q$ -边划分问题（$BCEP_q$）的相关问题被定义如下。给定无向图$G$和$q$整数$n_1,n_2,n_3, \cdots, n_q$，$BCEP_q$询问是否存在将$G$的边集划分为$q$部分$E_1,E_2,E_3,\cdots, E_q$，使得对于所有$i\in[1,q]$，$|E_i|=n_i$和边集上诱导的图$E_i$是连通的。在这里，我们研究的问题$q=2$和证明$BCP_q$为$q\geq 2$是$W[1]$ -困难的。我们还表明，$BCP_2$是不太可能有一个多项式核的类平面图。得到了肯定的结果，证明了$BCP_2$是一个以图的树宽为参数的固定参数可处理（FPT）算法，推广到平面图的FPT算法。我们设计了另一个FPT算法和一类由$\min(n_1,n_2)$参数化的单位圆盘图的多项式核。最后，我们证明了与$BCP_2$不同，$BCEP_2$是由$\min(n_1,n_2)$参数化的FPT。
2022-02-24 cs.DS
Deep Multilevel Graph Partitioning
将一个图划分成“大致相等”的块，同时只切割很少的边，这是计算机科学中的一个基本问题，有着广泛的应用。特别地，该问题是需要并行处理的应用程序中的构建块。虽然近年来并行架构中可用核的数量显著增加，但是如果输入需要被划分为大量块，则最先进的图划分算法不能很好地工作。通常，目前可用的算法计算高度不平衡的解决方案，低质量的解决方案，或者在这种情况下具有过多的运行时间。这是因为大多数高质量的通用图划分器是多级算法，其执行图粗化以构建图的层次结构，初始划分以计算初始解，以及局部改进以改进整个层次结构的解。然而，对于大量的块，用于初始分区的层次结构中的最小图仍然必须很大。在这项工作中，我们大大减轻了这些问题，通过引入深多级图分区和共享内存实现。我们的方案继续深入到初始分区的多级方法-将其集成到一个框架中，其中递归二分区和直接k路分区相结合，使它们可以以高性能和高质量运行。我们的方法更强大，更灵活，可以说更优雅，并减少了瓶颈的并行化相比，其他多级方法。例如，对于大量的块，我们的算法平均比竞争算法快一个数量级，同时计算具有可比解决方案质量的平衡分区。对于少量的块，我们的算法是最快的竞争系统具有可比的质量。
2021-05-05 cs.DS
Tera-Scale Multilevel Graph Partitioning
本文提出内存高效的多级图划分方法 TeraPart，通过 O(n) 并行聚类与收缩、压缩图表示及 O(m) FM 搜索，支撑单机万亿边、分布式 16 万亿边划分。
2024-10-24 cs.DS
Parameterized Complexity of Edge-Constrained Graph Partitioning
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究分析了边约束图划分（ECGP）及其平衡、带符号变体的NP难性、多项式核、FPT算法与W[1]难性等参数化复杂性结果。
2026-09-01 cs.CC cs.DS
Hypergraph Partitioning through Vertex Separators on Graphs
超图提供的建模灵活性已经引起了组合科学界的极大兴趣，导致了新的模型和算法，它们的应用以及相关工具的开发。超图现在是组合科学计算中的标准工具。然而，超图的建模灵活性是有代价的：超图上的算法本质上比图上的算法更复杂，这有时会转化为处理时间的非平凡增加。超图的建模灵活性和图算法的运行效率都不容忽视。因此，新的研究重点应该是如何在两者之间巧妙地权衡。这项工作解决了一种方法，这种权衡解决超图分区问题，找到顶点分离器的图形。具体来说，我们研究如何解决超图的划分问题，寻求一个顶点分离器在其网络交叉图（NIG），其中每个网络的超图是由一个顶点，和两个顶点共享一条边，如果他们的网络有一个共同的顶点。由于NIG模型不能保持节点平衡信息，我们提出了一种顶点加权方案来获得良好的节点平衡超图。顶点删除和顶点分裂技术被描述为优化割网和连通性指标，分别在递归二分范式。我们还通过采用和修改最先进的GPVS工具onmetis，开发了基于GPVS的HP公式的实现。大量的稀疏矩阵上进行的实验证实了我们所提出的技术的有效性。
2011-03-01 cs.DS
Linear-Time Multilevel Graph Partitioning via Edge Sparsification
本文提出一种线性时间多级图划分算法，通过边稀疏化保证几何缩减，集成到KaMinPar中，实现平均1.49倍加速且质量损失仅1%。
2025-04-24 cs.DS
Algorithm Engineering for Cut Problems
图表是来自各种背景的数据的自然表示，例如社会联系，网络，道路网络等等。在过去的几十年里，许多这样的网络已经变得巨大，需要有效的算法将网络切割成更小，更容易理解的块。在这项工作中，我们的目标是将图的顶点划分为多个块，同时最小化连接不同块的边的数量。有大量的切割或分割问题已经成为几十年来研究的焦点。这项工作开发了高效的算法（全球）最小割问题，平衡图分割问题和多端割问题。所有这些算法在实践中都是有效的，并且可以免费使用。
2021-08-10 cs.DS
Local Flow Partitioning for Faster Edge Connectivity
研究了简单无向图的最小割问题，给出了一个确定性的$O(m \log^2 n \log\log^2 n)$时间算法。这改进了$O(m \log^{12} n)$（Kawarabayashi和Thorup，STOC 2015）的最佳先前已知的确定性运行时间和$O(m \log^{3} n)$（Karger，J.ACM 2000）的最佳先前已知的随机化运行时间，尽管Karger的算法可以进一步应用于加权图。此外，我们的结果扩展到平衡有向图，其中有向图的平衡捕获图是如何接近欧拉的。我们的方法是使用Kawarabayashi和Thorup图压缩技术，反复发现低电导削减。为了找到这些切口，他们使用基于扩散的局部算法。相反，我们使用基于流的本地算法，并适当地调整其框架，以与我们的基于流的子例程。基于流动和扩散的方法都有很长的历史，被应用于寻找低电导切割。扩散算法有几种变体，它们自然是局部的，而使流方法局部化则更复杂。一些先前的工作已经证明了基于局部流的算法在改善或清除低电导切割方面的良好特性。然而，我们的流量子程序是第一个既本地又产生低电导切割的子程序。因此，它可能具有独立利益。
2019-11-08 cs.DS
Learning Space Partitions for Nearest Neighbor Search
Microsoft（微软）；MIT（麻省理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
$\mathbb{R}^d$的空间划分是一类重要的快速近邻搜索算法的基础。受最近关于一般度量空间的NNS理论工作的启发[Andoni，Naor，Nikolov，Razenshteyn，Waingarten STOC 2018，FOCS 2018]，我们开发了一个新的框架来构建空间分区，将问题减少到平衡图分区，然后进行监督分类。我们分别使用KaHIP图分割器[Sanders，Schulz SEA 2013]和神经网络实例化这种通用方法，以获得称为神经局部敏感散列（Neural Locality-Sensitive Hashing，Neural LSH）的新分割过程。在NNS的几个标准基准测试中，我们的实验表明，通过神经LSH获得的分区始终优于基于量化和基于树的方法以及经典的数据无关LSH发现的分区。
2020-09-29 cs.CG cs.DS cs.LG
Towards an $O(\sqrt[3]{\log n})$-Approximation Algorithm for {\sc Balanced Separator}
{ \sc $c$ -平衡分离器}问题是一个图划分问题，其中给定图$G$，目标是找到最小尺寸的切割，使得切割的两侧至少具有$cn$顶点。在本文中，我们提出了新的进展方向的{ \sc $c$ -平衡分离器}问题。更具体地说，我们提出了一个新的家庭的数学计划，这取决于一个参数$ε> 0$，并延长开创性的工作阿罗拉饶-Vazirani（{ \sf ARV}）\cite{ARV}表明，多项式时间的可解性所提出的家庭的程序意味着改善的近似因子$O(\log^{{1/3} + ε} n)$从最知名的因素$O(\sqrt{\log n})$由于{ \sf ARV}。实际上，对于$ε= 1/3$，我们得到的程序是{ \sf ARV}提出的SDP。对于$ε< 1/3$，这一系列的程序是不凸的，但可以将它们转换成所谓的\emph{\textbf{concave programs}}，其中一个优化凸可行集上的凹函数。凹规划的性质允许应用Hoffman \cite{H81}或Tuy \emph{et al} \cite{TTT85}的技术来以任意精度解决这些问题。但是找到一种方法来解决这些程序在多项式时间内收敛的问题仍然是开放的。我们的结果，虽然有条件的，引入了一个新的家庭的程序，这是更强大的半定规划的近似算法的背景下，因此，它将感兴趣的调查这个家庭都在设计高效的算法和证明硬度结果的方向。
2009-07-08 cs.DS
Partitioning a Graph into Small Pieces with Applications to Path Transversal
给定一个图$G = (V, E)$和一个整数$k$，我们分别研究了$k$ -顶点分离器. $k$ -边分隔符），其中的目标是删除最小数量的顶点（分别为边），使得所得图中的每个连通分量最多具有PDMATHAMN顶点。我们主要关注$k$是$n$的常数或缓慢增长函数（例如$O(\log n)$或$n^{o(1)}$）的情况。我们的问题可以被解释为一个特殊的情况下，已分别研究的三个一般类的问题（平衡图分区，超图顶点覆盖（HVC），固定参数易处理性（FPT））。我们的主要结果是一个$O(\log k)$ -近似算法的$k$ -顶点分离器，运行在时间$2^{O(k)} n^{O(1)}$，和一个$O(\log k)$ -近似算法的$k$ -边缘分离器，运行在时间$n^{O(1)}$。我们的$k$ -边缘分离器的结果改进了以前最好的小$k$图分割算法。我们在$k$ -顶点分离器上的结果改进了HVC的简单$(k+1)$ -近似.当$OPT > k$时，运行时间$2^{O(k)} n^{O(1)}$快于假设指数时间假设的精确算法的下限$k^{Ω(OPT)} n^{Ω(1)}$。虽然运行时间的$2^{O(k)} n^{O(1)}$的$k$ -顶点分离器似乎不令人满意，我们表明，超多项式依赖$k$可能需要实现多对数近似比，基于硬度的Denmark $k$ -子图。我们还研究了$k$ -路径transmi…
2016-07-18 cs.DS
Approximation and parameterized algorithms to find balanced connected partitions of graphs
将连通图划分为具有相似（或给定）阶数的$k$ ~顶点不相交连通子图是一个经典的问题，自七十年代后期以来一直受到广泛的研究。给定一个连通图$G=(V,E)$和一个权函数$w : V \to \mathbb{Q}_\geq$，$G$的一个连通$k$ -划分是$V$的一个划分，使得每个类都导出一个连通子图。平衡连通$k$ -划分问题在于找到一个连通$k$ -划分，其中每个类具有大致相同的权重。为了对这种平衡概念进行建模，可以寻找连接的$k$ -最大化最轻类$(\text{max-min BCP}_k)$的权重或最小化最重类$(\text{min-max BCP}_k)$的权重的分区。这些问题在$k=2$中是等效的，但在$k\geq 3$中则不同。在这项工作中，我们提出了一个简单的伪多项式$\frac{k}{2}$近似算法$\text{min-max BCP}_k$运行时间$\mathcal{O}(W|V||E|)$，其中$W = \sum_{v \in V} w(v)$。基于这个算法，并使用缩放技术，我们设计了一个（多项式）$(\frac{k}{2} +\varepsilon)$ -近似相同的问题与运行时$\mathcal{O}(|V|^3|E|/\varepsilon)$，任何固定的$\varepsilon>0$。此外，我们提出了一个固定参数的易处理算法的基础上整数线性规划的加权$\t…
2021-08-23 cs.DM cs.DS
Eigenvalue bounds, spectral partitioning, and metrical deformations via flows
提出了一种新的求图的拉普拉斯算子第二特征值上界的方法。我们的方法使用多商品流变形的图形的几何形状，我们嵌入到欧几里得空间的度量恢复上的瑞利商的约束。利用这一点，我们证明了亏格$g$和最大度$d$的每个$n$ -顶点图都满足$λ_2(G) = O((g+1)^3 d/n)$ .这恢复了平面图的Spielman和Teng的$O(d/n)$界，并与$O((g+1) poly(d)/n)$的Kelner界进行了比较，但我们的证明没有使用共形映射或圆填充。因此，我们能够扩展这一解决积极的猜想Spielman和滕，证明$λ_2(G) = O(d h^6 \log h/n)$时$G$是$K_h$ -小自由。这表明，特别是，频谱分割可以用来恢复$O(\sqrt{n})$大小的分隔符在有界度图，排除一个固定的小。我们进一步扩展这一点，通过获得几乎最优的界限$λ_2$的图形，排除小深度未成年人的意义上的Plotkin，饶，史密斯。因此，我们表明，谱算法找到小的分离器在一般类的几何图形。此外，虽然标准的“扫描”算法应用于第二个特征向量可能无法找到良好的商切割图的无界度，我们的方法产生一个向量，适用于任意图形。这产生了Alon，Seymour和Thomas的结果的另一个证明，即每个排除子图族都有$O(\sqrt{n})$ -节点平衡分隔符。
2008-08-09 cs.CG cs.DS math.MG
Balanced connected partitions of edge-weighted graphs: Hardness and solving methods
本研究探讨边加权图的平衡连通k划分变体问题，证明其NP难性及亚指数时间算法不存在性，设计近似与精确求解算法并通过实验验证，还公开了实现代码。
2025-08-20 cs.DM cs.DS
Reweighted Spectral Partitioning Works: A Simple Algorithm for Vertex Separators in Special Graph Classes
本文提出重加权谱划分这一多项式时间算法，通过改进Cheeger型不等式、推导半定规划界，为多类特殊图求得小规模2/3平衡顶点分隔器，同时得到若干相关独立结果。
2026-10-16 cs.CG cs.DM cs.DS
