Explicit Soliton for the Laplacian Co-Flow on a Solvmanifold
Andrés J. Moreno, Henrique N. Sá Earp
我们应用Jorge Lauret提出的齐性空间上几何流的一般Ancestion，研究李群上不变$G_2$ -结构的Laplacian协流，在一个特定的几乎Abel $7$ -流形上找到一个显式孤子.
We apply the general Ansatz in geometric flows on homogeneous spaces proposed by Jorge Lauret for the Laplacian co-flow of invariant $G_2$-structures on a Lie group, finding an explicit soliton on a particular almost Abelian $7$-manifold.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Infinitesimal maximal symmetry and Ricci soliton solvmanifolds
本工作解决的问题：（一）在所有左不变黎曼度量中的一个给定的李群，有任何的等距群或等距代数包含所有其他人？(ii)扩展的左不变Ricci孤子具有这种极大对称性吗？问题（i）是针对半单群和可解李群的。建立在以前的工作的作者对爱因斯坦度量，一个完整的答案是（ii）：扩大齐次里奇孤子有最大的等距代数，但并不总是最大的等距群。由于开发的工具，以解决这些问题，Boehm，Lafuente，和Lauret的部分结果进行了扩展，以显示左不变的Ricci孤子的可解李群是唯一的缩放和等距。
Inhomogeneous deformations of Einstein solvmanifolds
本文针对非平坦单模Ricci孤子可解流形，构造了单参数族的完备扩张梯度Ricci孤子，其轨道为位似超曲面，且度量一端渐近爱因斯坦可解流形，族中恰有一个爱因斯坦度量。
Ricci soliton solvmanifolds
所有已知的非平凡齐次里奇孤子的例子都是单连通可解李群上的左不变度量，其里奇算子是单位模导子的倍数（称为孤子，在幂零情况下称为零孤子）。几何不变量理论中用来研究爱因斯坦解流形的工具，在孤子的研究中也被证明是有用的。我们证明了，直到等距，任何孤子可以通过一个非常简单的构造从一个零孤子连同其度量李代数的对称导子的任何交换李代数。得到了如下唯一性结果：在等距和标度条件下，一个给定的可解李群最多只能容纳一个孤子。作为应用，对维数不超过4的孤子进行了分类。
Einstein solvmanifolds as submanifolds of symmetric spaces
本文结合 Ado 定理与 Nash 嵌入定理，为包含 Einstein 和 Ricci 孤立子可解流形的一类可解李群构造同时为等距嵌入的忠实表示，进而证明所有 Einstein 可解流形均可实现为对称空间的子流形。
Four-dimensional pseudo-Riemannian homogeneous Ricci solitons
本文考虑了具有非平凡各向同性的四维齐次伪黎曼流形，并对产生非平凡齐次Ricci孤子的情形进行了完全分类。特别是，我们证明了非紧齐性（也是不变的）伪黎曼里奇孤子的存在，这是不等距的solvmanifold，共形平坦的齐性伪黎曼里奇孤子是不对称的。
The Ricci flow in a class of solvmanifolds
本文利用括号流研究了李代数具有余维1的交换理想的解流形的里奇流。证明了里奇流的解是不朽的，括号流解的Ω极限是一个点，并且对于任意的时间序列，存在一个子序列，在该子序列中，里奇流在点拓扑中收敛到一个局部等距于平坦流形的流形.我们给出了一个功能，这是非增加沿正规化的括号流，这将使我们能够证明，给定一个序列的时间，可以提取一个子序列收敛到代数孤子，并确定这些限制是平坦的。最后，我们利用这些结果证明了：如果这类李群允许一个截面曲率为负的黎曼度量，则任何里奇流解的曲率在有限时间内都将为负.
On homogeneous closed gradient Laplacian solitons
本文证明了齐次闭梯度拉普拉斯孤子的一个结构定理，并利用它给出了闭拉普拉斯孤子不能变梯度的一些例子。更具体地说，我们证明了Nicolini发现的幂零李群上的Laplacian孤子除了$N_1$（其中$f$必须是高斯的）外，不是梯度到位似$G_2$ -结构.我们还证明了Fernánal-Fino-Manero构造的$N_{12}$上的封闭$G_2$ -结构$φ_{12}$不可能是梯度孤子.进一步证明了几乎阿贝尔解流形上的非挠自由梯度Laplacian孤子与$N$上的乘积$N \times \mathbb R^k$是等距的，其中$f$是常数.
Laplacian solitons on nilpotent Lie groups
研究了幂零李群上Laplacian流的封闭$G_2$ -结构的存在性。我们得到了十二个李代数中有七个李代数的闭$G_2$ -结构确实存在拉普拉斯孤子。另外，其中一个方程中存在连续的两两非位似的拉普拉斯孤子族，并且其中四个孤子的拉普拉斯流演化不是对角的。
Laplacian solitons: questions and homogeneous examples
我们给出了第一个例子，封闭的拉普拉斯孤子的收缩，特别是产生封闭的拉普拉斯流的解决方案与有限时间的奇异性。此外，还发现了由Bryant引入的Ricci pinched G2-结构，它们都是可解李群上的左不变G2-结构。
Remarks on homogeneous solitons of the G$_2$-Laplacian flow
我们证明了非可解李群上的G $_2$ -Laplacian流的扩展孤子的存在性，并给出了第一个非极端Ricci箍缩G $_2$ -结构的稳定孤子的例子.
Laplacian flow of homogeneous G2-structures and its solitons
利用括号流/代数孤子方法研究了均匀情形下$G_2$ -结构的拉普拉斯流及其孤子。我们证明了任何齐次拉普拉斯孤子都等价于一个半代数孤子（即\在齐性空间$G/K$上的$G$不变的$G_2$结构，其通过将$G$的自同构拉回到缩放而流动）。在拉普拉斯孤子中，代数孤子具有“对角”演化的几何特征。不同于里奇流的情形，其中任何齐次里奇孤子是等距代数孤子，我们已经发现，作为上述特征的应用，一个例子的左不变封闭半代数孤子的幂零李群，这是不等价于任何代数孤子。这种孤子的（归一化）括号流演化是周期性的。在具有余维1交换正规子群的可解李群的情形下，得到了任意闭Laplacian流解的长时间存在性，且挠率范数严格递减且收敛于零.我们也在这一类中的代数孤子进行分类，并展示了几个明确的例子，封闭的扩展拉普拉斯孤子。
On the Chern-Ricci flow and its solitons for Lie groups
本文研究了李群上左不变埃尔米特结构的陈-里奇流演化。我们研究的解决方案的行为，因为t是接近第一次奇点，通过重新标度，以防止崩溃，并获得收敛的点（或Cheeger-Gromov）意义上的Chern-Ricci孤子。本文给出了点极限的Chern-Ricci形式和李群结构的一些结果，作为应用，我们得到了具有余维1正规交换子群的可解李群的完整图象.我们还发现了一个Chern-Ricci孤子厄密度量的大多数复杂的表面，这是solvmanifold，包括一个意想不到的收缩孤子的例子。
New examples of shrinking Laplacian solitons
我们给出了一类单参数收缩拉普拉斯孤子的例子，它们是具有有限时间奇异性的闭$G_2$ -拉普拉斯流的第二已知解。研究了一类大的$G_2$ -结构在不同李群上的挠形式和Laplacian算子、Ricci算子。我们应用这些公式证明了在适当的附加条件下，这类族上的拉普拉斯算子不存在闭本征形。
On the existence of homogeneous solitons of gradient type for the G$_2$-Laplacian flow
本研究通过构造首个实例证明G₂-拉普拉斯流齐次梯度孤立子的存在性，指出G₂-拉普拉斯流是首个在一维扩张空间上存在这类孤立子的几何流。
On the first eigenvalue of the Witten-Laplacian and the diameter of compact shrinking Ricci solitons
证明了紧致黎曼流形上Witten-Laplacian算子第一非零特征值的一个下界估计。作为应用，我们得到了紧致梯度收缩Ricci孤子直径的一个下界估计.我们的结果改进了第一作者和Y. Sano在[12]和B. Andrews和L. Ni在[1]中。此外，我们将直径估计推广到中曲率流的紧致自相似收缩器。
On the Laplacian coflow of invariant $G_2$-structures and its solitons
本研究利用霍奇拉普拉斯算子的不可约$G_2$-分解等公式研究余闭$G_2$-结构的拉普拉斯余流，刻画相关对称与孤立子条件，给出紧收缩孤立子不存在的简化证明，并基于括号流视角证明几乎阿贝尔李群上该类余流解的长时间存在性。
The Laplacian coflow on almost-abelian Lie groups
我们找到了七维几乎阿贝尔李群上$G_2-$结构的拉普拉斯同流的显式解。此外，我们构造新的例子的孤立子的拉普拉斯coflow不是本征形的拉普拉斯算子，我们展示了一个解决方案，这是不是一个孤立子，有界的存在区间。
Cohomogeneity-one solitons in Laplacian flow: local, smoothly-closing and steady solitons
本文系统研究了7维流形闭G_2-结构Laplacian流中的余齐性一孤立子，证明了Sp(2)和SU(3)对称下局部孤立子族的存在性，完整刻画了稳态孤立子的完备性与渐近几何，并发现了新的完备梯度收缩孤立子作为潜在奇点模型。
Soliton solutions for the Laplacian coflow of some $G_2$-structures with symmetry
我们考虑$G_2$ -结构的拉普拉斯“协流”：$\frac{d}{dt} ψ= - Δ_d ψ$其中$ψ$是$G_2$ -结构$ϕ$的对偶4-形式，而$Δ_d$是形式上的Hodge拉普拉斯算子.该流程保留了$G_2$ -结构是共闭的（$dψ=0$）的条件。我们研究这个流的两个明确的例子，共闭$G_2$ -结构的对称性。这些都是由一个区间或一个圆与一个紧的6-流形$N$的翘曲积给出的，该流形被认为是一个近似Kähler流形或一个Calabi-Yau流形。在这两种情况下，我们推导出的流动方程和方程的孤子解。在Calabi-Yau的情况下，我们发现所有的孤子解明确。在近似Kähler情形下，我们找到了几个特殊的孤子解，并将一般问题归结为一个\emph{third order}高度非线性常微分方程.
Lower diameter bounds for compact shrinking Ricci solitons
证明了紧致收缩Ricci孤子的直径存在普适的下界。通过推广紧致黎曼流形上具有下里奇曲率的Laplacian算子的第一非零特征值的普适估计，证明了这一点.
Structure of homogeneous Ricci solitons and the Alekseevskii conjecture
通过证明对齐次扩展Ricci孤子有效的结构性结果，对Alekseevskii猜想，即任何连通的具有负数量曲率的齐次Einstein流形都同构于欧几里得空间，提出了新的见解，推广了许多关于Einstein解流形、解孤子和零孤子的著名结果.得到了任何齐次扩展Ricci孤子M=G/K都同构于乘积U/K × N，其中U是G的极大约化李群，N是G的极大幂零正规子群，使得限制于N的度量是零孤子.此外，度量与U在N上的共轭作用之间的强相容性条件必须成立，包括度量限制为U/K的Ricci算子的一个很好的公式。我们的主要工具来自几何不变量理论。作为应用，我们给出了代数孤子的许多Lie理论刻画，并证明了以下先验的强得多的结果实际上等价于Alekseevskii猜想：任何扩展的代数孤子都是一个欧几里得空间的同构.
Uniqueness of Asymptotically Conical Gradient Shrinking Solitons in G_2-Laplacian Flow
本文证明了具有闭G_2-结构的Laplacian流的渐近锥（AC）梯度收缩孤子的唯一性结果：如果两个Laplacian流的梯度收缩孤子渐近于同一个闭G_2-锥，则它们的G_2-结构是等价的，特别地，这两个梯度收缩孤子是等距的。该证明推广了Kotschwar和Wang关于交流梯度收缩Ricci孤子唯一性的论证。我们还证明了AC收缩端的G_2-结构的对称性是从其渐近锥继承而来的;在对基本群的一个温和假设下，渐近锥面的对称性扩展到整体对称性.
Strongly solvable spaces
这项工作的基础上奠定了戈登和威尔逊在研究等距群的solvmanifold，即黎曼流形承认一个传递可解群的等距。我们把自己限制在一个自然类的可解李群称为几乎完全可解;这类包括完全可解李群。当换位子代数包含中心时，我们仅利用度量李代数的信息就得到了任意左不变度量的等距群的完整刻画。利用我们在这类空间的等距群上的工作，我们研究了解流形的等价性。我们的第一个应用是齐次Ricci孤子度量的分类。我们证明了广义Alekseevsky猜想的验证归结为简单连通的情况。我们的第二个应用是Heintze关于某些齐性空间的紧映射存在刚性的一个结果的推广。Heintze的结果适用于具有负曲率的空间。我们删除所有的几何要求，代之以代数要求的同质结构。
$W$-entropy, super Perelman Ricci flows and $(K, m)$-Ricci solitons
本文利用各种泛函不等式和梯度估计，证明了具有不定常度量和位势的流形上Witten Laplacian生成的热半群的$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流的特征.作为副产品，我们得到了具有$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流的流形上的Hamilton型无量纲Harnack不等式.基于Witten Laplacian热方程Boltzmann-Shannon熵的一个新的二阶微分不等式，在完备黎曼流形上的$CD(K, \infty)$ -条件和紧致流形上的$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流下，引入了一个新的$(K, \infty)$-熵量，并证明了它对Witten Laplacian热方程的单调性.我们的结果描述了$(K, \infty)$ -Ricci孤子和$(K, \infty)$ -Perelman里奇流.证明了$(K, m)$ -超里奇流的二阶微分熵不等式，该不等式可用于刻画$(K, m)$ -里奇孤子和$(K, m)$ -里奇流.最后，我们给出了流形上Witten Laplacian热方程在$CD(K, m)$ -条件下的$W$ -熵的概率解释。
Ricci solitons from the perspectives of energy function
利用能量函数E研究非梯度Ricci孤立子的几何，证明对称协变导数的非稳态孤立子是梯度的，并证明收缩孤立子的测度有限，从而推广了梯度孤立子的有限基本群性质。
Laplacian Solitons and Symmetry in G_2-geometry
本文证明了（在没有附加假设的情况下）在一个具有$G_2$结构的紧致7维流形上，R.科比只能是收缩或稳定。我们还表明，空间的对称性（通过李导数零化的向量场）的挠自由$G_2$ -结构的紧7-流形是规范同构的$H^1(M,\mathbb{R})$。与Ricci孤子的一些比较也进行了讨论，以及一些未来的探索方向。
Modified Laplacian coflow of $G_{2}$-structures on manifolds with symmetry
我们考虑$7$ -流形上的$G_{2}$ -结构，这些流形是区间和六流形的翘曲积，六流形可以是Calabi-Yau流形，也可以是近似Kähler流形。我们表明，在这些情况下的$G_{2}$结构是由它们的扭转分量的相位因子。然后我们研究了这些$G_{2}$ -结构的修改的拉普拉斯协流$\frac{dψ}{dt}=Δ_{ψ}ψ+2d\left( \left( C-Tr T\right) φ\right) $，其中$φ$和$ψ$是定义$G_{2}$ -结构的基本$3$ -形式和$4 $ -形式，$Δ_{ψ}$是与$G_{2}$ -结构相关联的Hodge拉普拉斯算子.这个流是已知的具有短时存在性和唯一性。我们分析了这种流动的孤子方程，并获得新的紧凑孤子解。
$S^1$-invariant Laplacian flow
本文研究 $S^1$-不变的 Laplacian 流，推导其降为 6 维流形上 $SU(3)$-结构流的演化方程，并发现首批非均匀梯度收缩孤子，同时证明紧致非无挠孤子不存在无穷小对称性。
Some topics on Ricci solitons and self-similar solutions to mean curvature flow
在这篇综述文章中，我们讨论了里奇流和中曲率流的自相似解的一些问题。里奇流的自相似解称为里奇孤子。本文的第一部分讨论了具有收缩Ricci孤子的紧致流形的一个直径下界。这样的界限可以从扭曲拉普拉斯算子的特征值估计获得，称为Witten-Laplacian。第二部分讨论锥流形上中曲率流的自相似解。对于$\bfR^n$或$\bfC^n$中的解已经得到了许多结果。我们看到，他们中的许多人延伸到锥流形，特别是$\bfC^n$的特殊拉格朗日和自收缩的结果可以扩展到复曲面卡-丘锥。我们还看到，一个类似的较低的直径范围可以得到自收缩的中曲率流的情况下，在收缩的里奇孤子。
Geometric properties of self-shrinkers in cylinder shrinking Ricci solitons
本文证明了自收缩孤子在梯度收缩Ricci孤子中漂移拉普拉斯算子的一些谱性质。然后利用这些结果证明了自收缩算子的一些几何性质。例如，我们描述了一个集合的域在周围的空间，不能包含自收缩。
Analysis of weighted Laplacian and applications to Ricci solitons
研究完备光滑度量测度空间$(M,g,e^{-f}dv)$上的加权Laplacian $Δ_f$的函数论性质和谱性质，其Bakry-Emery曲率$Ric_f$由一个常数下界.特别是，我们建立了一个梯度估计为正$f-$调和函数和一个尖锐的上界的底部谱的$Δ_f$的$Ric_{f}$的下界和线性增长率的$f.$我们还解决了刚性问题时，底部谱达到其最佳上限下一个稍强的假设下，梯度的$f$是有界的。梯度Ricci孤子的几何和拓扑的研究应用也被认为是。除其他事项外，它表明，一个非紧的收缩Ricci孤子的体积必须至少是线性增长。证明了当非平凡扩展Ricci孤子的数量曲率满足适当的下界时，它在无穷远处一定是连通的.
Gradient Estimates on Warped Product Gradient Almost Ricci Solitons
在本文中，通过稍微修改Li-Yau的技术，使我们可以处理漂移的拉普拉斯算子，我们能够找到三个不同的梯度估计的翘曲函数，一个为每个符号的爱因斯坦常数的纤维流形。作为应用，我们在翘曲积的基础上给出了具有一定度量性质的梯度几乎Ricci孤子的不存在性定理。
Positive Hermitian Curvature Flow on special linear groups and perfect solitons
我们研究了由Ustinovskiy提出的复李群上的正厄米曲率流的不变解。特别地，我们证明了特殊线性群上由Killing形式产生的正则标度-静态度量是动态不稳定的。这证明了Ustinovskiy的一个猜想。我们还构造了某些完美的李群，承认至少有两个不同的不变孤子的流动，其中只有一个是代数。这是第二个已知的例子，几何流与非代数，齐次孤子。第一个是G2-Laplacian流。
Eigenvalues of the drifted Laplacian on complete metric measure spaces
本文首先研究了完备光滑度量空间$(M^n,g, e^{-f}dv)$，其中$(M^n,g, e^{-f}dv)$为正常数，且具有（$\infty$）-Bakry-Émery Ricci曲率$\textrm{Ric}_f\ge \frac a2g$.已知$M$的漂移Laplacian $Δ_f$的谱是离散的，并且$Δ_f$的第一非零特征值具有下界$\frac a2$。证明了若$\frac a2$的下界是由重数$k\geq 1$得到的，则对于完备的$(n-k)$维流形$Σ$，$k\leq n$，$M$与$Σ^{n-k}\times \mathbb{R}^k$等距，且通过等距，$(M^n,g, e^{-f}dv)$必分裂出梯度收缩的Ricci孤子$(\mathbb{R}^k, g_{can}, \frac{a}{4}|t|^2)$，$t\in \mathbb{R}^k$ .这一结果对梯度收缩Ricci孤子也有应用。其次，我们研究了欧氏空间$\mathbb{R}^{n+p}$，$p\geq1$中适当浸入自收缩算子的漂移Laplacian $\mathcal{L}$，证明了$\mathcal{L}$的谱的离散性和一个对数Sobolev不等式.
The homogeneous generalized Ricci flow
本文基于括号流框架研究Lie群离散商上的广义Ricci流，证明了任意维solvmanifolds上的整体存在性，定义了exact Courant algebroids上的广义Ricci孤立子并分析了其在nilmanifolds上的极限行为，同时给出了不变广义度量的曲率新公式。
Classification of gradient Yamabe soliton hypersurfaces of space forms
本文针对可浸入空间形式且第二基本形式范数有上界的稳定/收缩型梯度Yamabe孤立子超曲面，借助漂移拉普拉斯算子的弱Omori-Yau原理，完成了满足常平均曲率或势函数临界点≤1条件的孤立子的完整分类。
Geometric and analytical results for $ρ$-Einstein solitons
本文研究了$ρ$-爱因斯坦溶iton的几何和分析特性，包括其谱分析、体积增长估计及刚性情况。
Laplacian flow of closed $G_2$-structures inducing nilsolitons
研究了单连通非交换幂零李群上定义Ricci孤子度量的左不变闭$G_2$ -结构的存在性.对于每一个$G_2$ -结构，我们证明了非紧流形上Laplacian流解的长时间存在唯一性。此外，考虑相关李代数上的拉普拉斯流作为$\R^7$上的括号流，以类似于[23]中的方式，我们证明了解的基本度量$g(t)$平滑地收敛到平坦度量，直到被时间依赖的同态拉回，当$t$趋于无穷大时，在幂零李群中的紧集上一致地收敛到平坦度量。
The long-time behavior of the homogeneous pluriclosed flow
研究了李群上左不变厄米特结构情形下的多重闭流的渐近行为。我们证明了两步幂零李群和几乎阿贝尔李群上的解，经过适当的归一化，收敛到流的自相似解。由于空间是解流形，一个意想不到的特点是，一些限制是收缩孤子。我们还展示了第一个例子的齐次流形上的几何流有一些解决方案，有限的消亡时和一些存在的所有积极的时间。
Solutions of the Laplacian flow and coflow of a Locally Conformal Parallel $\mathrm{G}_2$-structure
我们研究拉普拉斯流的$\mathrm{G}_2$ -结构，后者的结构被称为局部共形平行。第一个例子的长时间的解决方案，这个流的局部共形平行条件。所有的解都是收缩型的古孤子和拉普拉斯孤子。这些例子是六维幂零李群秩一可解扩张上的单参数局部共形并行$\mathrm{G}_2$ -结构族。找到的解决方案是用来构建长期解决方案的拉普拉斯coflow从局部共形并行结构。我们还研究了解的曲率行为，得到对于其中一个例子，沿着所有流（分别）的诱导度量是爱因斯坦。coflow）。
Closed warped G$_2$-structures evolving under the Laplacian flow
本文研究了拉普拉斯流在$M^6\times{\mathbb S}^1$形式的翘曲积上演化闭GPDMATHABMM-结构的行为，其中基$M^6$是一个具有SU（3）-结构的紧致6-流形.在一般情况下，我们重新解释的流动作为一组发展方程的$M^6$的微分形式定义的SU（3）-结构和翘曲函数。当后者是常数时，我们找到了相应的耦合流解存在的充分条件。这为构造乘积流形$M^6\times{\mathbb S}^1$上Laplacian流的不朽解提供了一种方法。我们的结果的应用显式的情况下，使我们能够获得新的例子扩大拉普拉斯孤子。
Geometric flows and their solitons on homogeneous spaces
我们发展了一种研究齐性空间上几何流的一般方法。我们的主要工具将是一个动力系统上定义的各种李代数称为括号流，这符合原来的几何流后，自然的变量变换。使用这种方法的优点依赖于这样一个事实，即可能的点（或Cheeger-Gromov）限制的解决方案，以及自相似的解决方案或孤子结构，可以更好地可视化。这种方法已经在里奇流和李群上几乎厄米结构的一般曲率流中得到了应用。本文的目的是作为一种尝试，以激励使用的方法对齐性空间的任何流动的几何结构下最小的自然假设。作为一个新的应用，我们在幂零李群上发现了一个封闭的G2-结构，它是Laplacian流的扩展孤子，而不是特征向量。
Flows of $\mathrm{G}_2$-structures on contact Calabi--Yau $7$-manifolds
本文研究了切触Calabi-Yau $7$ -流形上的Laplacian流和协流。我们表明，自然的初始条件导致一个古老的解决方案的拉普拉斯流有限时间I型奇点，这是不是一个孤立子，而它产生一个不朽的（虽然不是永恒的，而不是自相似）的解的拉普拉斯coflow具有无限时间奇点，这是IIb型，除非横向卡拉比-丘几何是平坦的。在每种情况下的流坍缩（在将体积归一化之后）到较低维度的极限，该较低维度的极限或者是拉普拉斯流的$\mathbb{R}$，或者是拉普拉斯协流的标准$\mathbb{C}^3$。我们还研究了希钦流在此设置，我们发现，这正好与拉普拉斯coflow的时间reparametrisation，并定义了一个（不完整的）卡拉比-丘结构的时空轨道上的流。
The Gap of the Consecutive Eigenvalues of the Drifting Laplacian on Metric Measure Spaces
本文研究了完备度量测度空间上漂移Laplacian算子的Dirichlet问题和闭本征值问题的特征值，并建立了相应的一般公式.利用这些一般公式，我们给出了本征值问题的本征值的连续间隔的上界，它在本征值的阶的意义上是尖锐的。作为一些有趣的应用，我们研究了Ricci孤子、自收缩流形和乘积黎曼流形上漂移拉普拉斯算子的特征值。我们给出了漂移拉普拉斯算子的连续特征值的间隙的明确的上界。由于特征值在等距意义下是不变的，通过对Ricci孤子和自收缩子的分类，给出了一类大类度量测度空间上漂移Laplacian连续特征值的显式上界.此外，我们还考虑了乘积黎曼流形在一定曲率条件下的情形，得到了一些上界。在Laplace算子的情形下，我们还提出了一个猜想：度量测度空间上漂移Laplace算子狄利克雷问题的所有特征值满足：$$λ_{k+1}-λ_{k}\leq(λ_{2}-λ_{1})k^{\frac{1}{n}}.$$我们注意到在某些特殊情况下该猜想成立。
Laplacian flow for closed G_2 structures: real analyticity
设$φ(t), t\in [0,T]$是紧致7-流形$M$上闭G_2结构的Laplacian流的光滑解.我们证明了对于每个固定的正时间$t\in (0,T]$，$(M,φ(t),g(t))$是实解析的，其中$g(t)$是由$φ(t)$诱导的度量.因此，任何拉普拉斯孤子是真正的分析，我们得到唯一的延续结果的流动。
Sp(2)-invariant expanders and shrinkers in Laplacian flow
本文研究 Laplacian 流中 Sp(2)-不变扩张子的分类与渐近锥性质，并猜想存在 SU(3)-不变扩张子，暗示流可实现拓扑手术。
Analytic and geometric properties of generic Ricci solitons
本文的目的是证明一般收缩Ricci孤子的一些分类结果。特别地，我们证明了在产生孤子结构的向量场$X$上的某些很弱的条件下，每个三维广义收缩Ricci孤子都由$\mathds{S}^3$，$\erre\times\mathds{S}^2$或$\erre^3$的子元给出.在这样做的时候，我们介绍的分析工具，可能是有用的，在其他设置，例如，我们证明了Omori-Yau最大值原理适用于$X$ -拉普拉斯算子的每一个通用的里奇孤子，没有任何假设$X$。
Direct proofs for spaces with cyclic parallel Ricci tensor
该研究为梯度里奇孤子、带边界紧致拟爱因斯坦流形及具循环平行里奇张量的临界空间的刚性结果提供直接证明，通过推导张量恒等式等方法得到相关刚性结论与里奇平行性结果。
Fano-Ricci limit spaces and spectral convergence
研究了紧Kähler流形上加权$\barpartial$ -Laplacian谱在格罗莫夫-豪斯多夫收敛下的性质.这种情况通常发生在具有反规范Kähler类的Fano流形序列上。证明了若几乎光滑的Fano-Ricci极限空间中存在Kähler-Ricci极限孤子，且所有具有光滑位势的$L^2$全纯向量场的空间是关于李括号的李代数，则该李代数具有与光滑Kähler-Ricci极限孤子相同的结构.特别地，如果一个$\Q$簇中存在Kähler-Ricci极限孤子，且所有全纯向量场都是具有光滑势的$L^2$，则该李代数具有与光滑Kähler-Ricci孤子相同的结构.如果序列由Kähler-Ricci孤子组成，则Ricci极限空间是$\mathbb{Q}$ -Fano簇上的弱Kähler-Ricci孤子，并且加权$\barpartial$ -Laplacian的$1$本征函数的极限空间形成关于泊松括号的李代数，并且允许与光滑Kähler-Ricci孤子类似的分解。
Laplacian flow for closed G_2 structures: Shi-type estimates, uniqueness and compactness
我们为封闭G_2结构的Laplacian流发展了基础理论，这将是未来研究的基础。（一）.我们证明了Riemann曲率张量Rm和挠率张量T沿流的Shi型导数估计，即$Λ(x,t)=\left(|\nabla T(x,t)|_{g(t)}^2+|Rm(x,t)|_{g(t)}^2\right)^{\frac 12}$上的一个界意味着Rm和T的所有共变导数上的界.（二）、我们证明了$Λ(x,t)$将在有限时间奇点处爆破，因此只要$Λ(x,t)$保持有界，流动就将存在。（三）、给出了流的前向唯一性和后向唯一性的新证明，并给出了一些应用。（四）、我们证明了流的一个紧性定理，并利用它加强了（2）的长期存在性结果。（五）、最后，我们研究了Laplacian流的紧孤子解。
Uniqueness of tangent planes and (non-)removable singularities at infinity for collapsed translators
本文研究了均值曲率流翻译子在无限远处可能存在的非可移除奇点，并证明了有限熵、有限亏格、嵌入的坍缩翻译子在无限远处收敛到唯一确定的平面集合。
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