An efficient algorithm for the Riemannian logarithm on the Stiefel manifold for a family of Riemannian metrics
本文推广了Zimmermann的纯矩阵代数方法，为Stiefel流形上的单参数Riemannian度量族提出了backward和forward两种Riemannian对数算法，并证明了其保持局部线性收敛性。
2024-12-27 cs.NA math.DG math.NA
Low-rank tensor completion: a Riemannian manifold preconditioning approach
The University of Electro-Communications（电气通信大学）；Amazon Development Centre India（亚马逊印度开发中心）
本文提出了一种基于黎曼流形预条件的方法用于具有秩约束的张量补全问题，通过引入新的黎曼度量利用最小二乘结构和Tucker分解的对称性，开发出预条件非线性共轭梯度和随机梯度下降算法，实验表明其在不同数据集上优于现有方法。
2016-05-26 cs.LG cs.NA math.NA
Riemannian Acceleration with Preconditioning for symmetric eigenvalue problems
本文提出黎曼流形预条件框架和主角度量，构建用于对称特征值问题的 RAP 方法，并证明其相较预条件最速下降法具有更快且指数尖锐的收敛率。
2024-10-24 cs.NA math.NA
Comparison of two numerical methods for Riemannian cubic polynomials on Stiefel manifolds
本文比较了Stiefel流形上积分黎曼三次多项式的调整后de Casteljau算法与辛积分器两种数值方法，通过n=3、k=1和k=2的数值实验分析各自优势。
2024-04-30 cs.NA cs.SY eess.SY
Symplectic Stiefel manifold: tractable metrics, second-order geometry and Newton's methods
该研究针对辛约束优化问题，在辛Stiefel流形上构建易处理度量的黎曼优化几何要素，开发显式二阶几何与多种黎曼牛顿法，提出兼具全局与局部快速收敛性的混合算法，数值实验验证了方法有效性。
2024-06-20 cs.NA math.NA math.OC
Optimization on product manifolds under a preconditioned metric
针对黎曼流形优化依赖度量的问题，提出乘积流形上预处理度量的通用优化框架及黎曼方法，通过三种算子设计方法构造度量，适配典型相关分析等问题并经数值验证加速效果。
2025-02-18 cs.NA math.NA math.OC
An new polar factor retraction on the Stiefel manifold with closed-form inverse
SDU Odense（欧登塞南丹麦大学）
提出Stiefel流形上一种新的二阶收缩，具有闭式逆，在欧几里得度量下高效，并通过数值实验验证其在插值和黎曼重心计算中的性能。
2026-07-02 cs.NA math.DG math.NA
Efficient Quasi-Geodesics on the Stiefel Manifold
解决所谓的测地线端点问题，即，找到连接流形上两个给定点的测地线是几乎所有数据处理操作的基础，包括平均、聚类、插值和优化。在标准正交标架的Stiefel流形上，这个问题涉及到计算。一种补救方法是用拟测地线代替黎曼测地线。准测地线的特征在于恒定速度和协变加速度，具有恒定（但可能非零）范数。对于一个著名的类型的准测地线，我们推导出一个新的表示，适合于大规模的计算。此外，我们引入了一种新的准测地线，原来是更接近黎曼测地线。
2021-05-14 cs.NA math.DG math.NA
The real symplectic Stiefel and Grassmann manifolds: metrics, geodesics and applications
实辛Stiefel流形是固定维数的辛子空间的辛基的流形。它在物理学和工程学中有着广泛的应用。在这项工作中，我们研究这个流形的目标是提供理论和基于矩阵的数值工具，适合基本的数据处理。测地线是数据处理的基础。然而，这些是迄今未知的。追求一个李群的方法，我们关闭这个差距，并获得有效的计算公式的测地线都相对于一个自然的伪黎曼度量和一个新的黎曼度量。此外，我们提供有效的可计算和可逆的撤回。此外，我们引入了实辛格拉斯曼流形，即，辛子空间的流形再次，我们推导出有效的伪黎曼和黎曼测地线和可逆收缩公式。数值实验结果表明，我们认为通过梯度下降的优化流形上，并比较所提出的方法与最先进的状态。特别是，我们对待的“最近的辛矩阵”的问题和问题的最佳数据表示通过低秩辛子空间。后者的任务是与找到一个“适当的辛分解”，这是重要的结构保持模型的哈密顿系统的降阶问题。
2021-08-27 cs.NA math.DG math.NA
High curvature means low-rank: On the sectional curvature of Grassmann and Stiefel manifolds and the underlying matrix trace inequalities
本文研究Stiefel和Grassmann流形的截面曲率，通过精细的矩阵迹不等式证明典范度量下5/4和欧几里得度量下1的全局曲率界，并揭示高曲率对应低秩的结构特征。
2024-04-19 cs.NA math.NA
A polar-factor retraction on the symplectic Stiefel manifold with closed-form inverse
University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文提出一种辛斯蒂夫流形上的新重参数化方法，具有闭式反演特性，通过数值实验比较其性能，填补了该流形上已有闭式反演重参数化方法的空白。
2026-05-07 cs.NA math-ph math.DG
Shortest Geodesic Loops, Sectional Curvature, and Injectivity Radius of the Stiefel Manifold
TU Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；UCLouvain（天主教鲁汶大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文确定了Stiefel流形在Hüper等人引入的单参数黎曼度量族下非平凡测地线环的最短长度，并结合截面曲率界限精确计算了该流形在广泛度量参数下的单射半径。
2026-06-24 cs.NA math.DG math.NA
Faster Randomized Methods for Orthogonality Constrained Problems
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文将随机预处理方法扩展至正交约束优化问题，基于Riemannian优化框架在典型相关和Fisher判别分析上验证了其有效性和实用性。
2024-09-26 cs.LG cs.NA math.NA
The injectivity radius of the compact Stiefel manifold under the Euclidean metric
本文研究欧几里得度量下紧斯蒂弗尔流形的单射半径，通过证明其测地线为常弗雷内曲率空间曲线，最终确定该流形的单射半径为π。
2024-05-03 cs.NA math.DG math.NA
Shooting methods for computing geodesics on the Stiefel manifold
本文提出使用打靶法计算 Stiefel 流形上的黎曼距离，首次给出了雅可比矩阵的显式表达式，并通过数值实验验证了算法精度与性能，展示了在统计、形状分析与模型降阶中的应用。
2023-09-07 cs.NA math.NA
Optimization on the symplectic Stiefel manifold: SR decomposition-based retraction and applications
光学、量子物理、稳定性分析和动力系统控制中的许多问题都可以归结为矩阵变量受辛性约束的最优化问题。由于该约束很好地形成了所谓的辛Stiefel流形，所以黎曼优化是优选的，因为人们可以在准备必要的几何工具之后从无约束最优化方法借用思想。撤回可以说是最重要的一个，它决定了给定搜索方向的迭代更新方式。到目前为止，已经构建了两个收缩：一个依赖于凯莱变换，另一个是使用准测地线曲线。在本文中，我们提出了一种新的收缩，这是基于SR矩阵分解。我们证明了它的域包含开放单位球，这是必不可少的证明相关的基于梯度的优化算法的整体收敛。此外，我们考虑三个应用-辛目标矩阵问题，辛特征值计算，和辛模型约化的哈密顿系统-与各种例子。大量的数值比较揭示了所提出的优化算法的优势。
2022-11-17 cs.NA math.NA math.OC
Directions That Don't Drift: Stiefel Manifold Routing for Transformer Attention
NeuroTechNet S.A.S.（NeuroTechNet 公司）
该研究将Transformer注意力投影矩阵约束到Stiefel流形并用黎曼Adam优化，发现其步长尺度自由特性带来显著性能提升，且权重衰减的零黎曼梯度使几何得以保持。
2026-10-02 cs.LG cs.NA math.NA
Simple matrix models for the flag, Grassmann, and Stiefel manifolds
本文为格拉斯曼、旗和施蒂费尔流形分别推导了三族正交等变矩阵子流形模型，证明其穷尽性，并指出这些模型具有闭式解析、最小维度及低条件数等计算优势，其中施蒂费尔模型族由嘉当流形参数化。
2024-07-18 cs.NA math.DG math.NA
Conditioning and interpolation error bounds for second-order Stiefel retractions with closed-form inverses
Department of Mathematics and Computer Science, SDU Odense（欧登塞南丹麦大学数学与计算机科学系）
本文针对Stiefel流形上带闭式逆的两类二阶收缩映射，分析其条件数与逆映射的局部存在性，推导插值误差界，并将其应用于Hermite插值，验证其性能可与经典方法媲美。
2026-08-31 cs.NA math.DG math.NA
A single shooting method with approximate Fréchet derivative for computing geodesics on the Stiefel manifold
National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University（台湾大学国家理论科学中心）
提出一种使用近似Fréchet导数的单点打靶法，用于计算Stiefel流形上的黎曼距离，数值实验表明该方法在精度和性能上具有竞争力。
2024-07-07 cs.NA math.NA
Optimal Preconditioning is a Geodesically Convex Optimization Problem
Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）；The University of Texas at San Antonio（德克萨斯大学圣安东尼奥分校）；INRIA Paris and Sorbonne Université（法国国家信息与自动化研究院巴黎分部和索邦大学）
本文提出了一种基于测地凸优化的预条件化方法，用于求解线性和非线性方程组，首次为多项式系统提供了具有理论保证的预条件化算法。
2025-12-07 cs.CC cs.NA math.AG
On the globalization of Riemannian Newton method
为了寻找定义在黎曼流形上的向量场的奇异性，本文提出了一种新的Newton方法的全局化策略，并证明了其具有超线性速率的整体收敛.特别是，这种全球化一般化的一般收回现有的阻尼牛顿法。所提出的整体收敛分析不需要对向量场的奇异性作任何假设。应用该方法求解了两个Stiefel流形乘积上的截断奇异值问题、对称正定矩阵锥上的双曲手抓取问题和球面上的Rayleigh商问题.解决了一些学术问题。数值实验表明，该算法具有更好的鲁棒性与上述方法相比。
2020-08-14 cs.NA math.NA math.OC
Riemannian Newton methods for energy minimization problems of Kohn-Sham type
本文针对计算物理和化学中的约束能量最小化问题，提出了无限维 Stiefel 和 Grassmann 流形上的黎曼牛顿方法，推导了适用于变分空间离散化的黎曼 Hessian 表达式，数值实验证明其优于自洽场迭代和梯度下降等成熟方案。
2024-06-27 cs.NA math.NA math.OC
The leapfrog algorithm as nonlinear Gauss-Seidel
优化、图像和信号处理中的几个应用程序处理属于Stiefel流形St（n，p）的数据，即具有正交列的n × p矩阵的集合。一些应用，如黎曼质心，需要计算St（n，p）上任意两点之间的黎曼距离。这可以通过显式构造连接这两个点的测地线来完成。现有的一种求测地线的方法是J.L.诺克斯该算法与Gauss-Seidel方法有关，Gauss-Seidel方法是一种经典的迭代法，用于求解线性方程组，可以扩展到非线性系统。我们提出了一个收敛性证明的蛙跳作为一个非线性Gauss-Seidel方法。我们的讨论仅限于Stiefel流形的情况，然而，它可以推广到其他嵌入子流形。我们讨论了蛙跳的其他方面，并提出了一些数值实验。
2023-01-28 cs.NA math.NA
High-Order Retractions on Matrix Manifolds using Projected Polynomials
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文基于Bessel多项式提出高阶结构保持的Riemannian指数映射近似方法，应用于单位ary矩阵、Grassmann流形和Stiefel流形，同时研究了酉矩阵几何与算术平均的超接近性。
2017-05-16 cs.NA math.NA
Inexact Adaptive Cubic Regularization Algorithms on Riemannian Manifolds and Application
本文在一般黎曼流形上提出一种基于非精确梯度和Hessian的自适应三次正则化算法，给出近似二阶最优性的迭代复杂度，并将其应用于Stiefel流形上的联合对角化问题，数值实验表明其优于非精确信赖域算法。
2024-05-04 cs.NA math.NA math.OC
Hermite interpolation and data processing errors on Riemannian matrix manifolds
本文的主要贡献有两个方面：一方面，给出了在黎曼流形上进行Hermite插值的一般框架。该方法是适用的，如果算法相关联的黎曼指数和对数映射可用。这包括在实际黎曼计算应用中出现的许多矩阵流形，例如数据分析和信号处理，计算机视觉和图像处理，结构化矩阵最优化问题和模型简化。另一方面，我们揭示了数据处理误差和截面曲率的问题之间的自然关系。这为依赖于黎曼法坐标的流形数据处理方法提供了一般误差界。对矩形列-正交矩阵的紧致Stiefel流形进行了数值实验.作为用例，我们计算正交矩阵分解（如奇异值分解和QR分解）的Hermite插值曲线。
2019-09-11 cs.NA math.NA
A thorough study of Riemannian Newton's Method
本文针对Grassmann与Stiefel流形上的优化问题，系统比较RNM与欧几里得牛顿法，并通过125个分子的Hartree–Fock实验验证其收敛、迭代与初值鲁棒性优势。
2025-06-16 cs.NA math.NA math.OC
Preconditioned Low-Rank Riemannian Optimization for Symmetric Positive Definite Linear Matrix Equations
University of Pavia（帕维亚大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；University of Pisa（比萨大学）
针对多右端项形式的大规模对称正定线性矩阵方程，提出固定秩流形上的黎曼CG及多种预条件与秩自适应策略。
2024-12-03 cs.NA math.NA
Solving Trust Region Subproblems Using Riemannian Optimization
置信域子问题是置信域方法中的一个基本最优化问题。然而，这个问题及其变体也出现在相当多的其他应用中。在这篇文章中，我们提出了一个家庭的迭代黎曼优化算法的变体的置信域子问题，取代了不等式约束与等式约束，并收敛到一个全局最优值。我们的方法使用平凡或非平凡的黎曼几何的搜索空间，只需要最小的频谱信息的二次分量的目标函数。我们进一步展示了黎曼优化理论如何促进对置信域子问题及其困难的更深入理解，例如，深入的联系之间的置信域子问题和问题的仿射特征向量，并根据全局最优值的黎曼Hessian算子的条件数的所谓的硬的情况下，一个新的检查。最后，我们建议通过仔细选择一个可变的黎曼度量，并建立预处理条件近似输入矩阵的渐近收敛率的界限。
2022-08-18 cs.NA math.NA math.OC
Optimal operator preconditioning for pseudodifferential boundary problems
提出了区域$Ω$中一般椭圆型拟微分方程的算子预条件子，其中$Ω$要么在$\mathbb{R}^n$中，要么在黎曼流形中.对于线性方程组所产生的低阶Galerkin离散，我们得到的条件数是独立的网格步长和基地的选择测试和测试函数。基本成分是一个经典的公式Boggio的分数拉普拉斯算子，这是扩展分析。在线段或屏幕上的弱超奇异算子的特殊情况下，我们的方法给出了Hiptmair，Jerez-Hanckes，Nédélec和Urzúa-Torres的一系列最新结果的统一独立证明.我们还研究了不断增加的相关性的正则性假设的操作员的顺序上的网格。数值例子验证了我们的理论研究结果，并说明了拟均匀，梯度和自适应生成的网格上的性能所提出的预处理。
2021-03-16 cs.NA math.AP math.NA
Accelerated Optimization on Riemannian Manifolds via Discrete Constrained Variational Integrators
Wibisono等人最近提出了一种在赋范向量空间上加速优化的变分公式，后来推广到Duruisseaux和Leok的黎曼流形。这种变分框架在Duruisseaux等人的赋范向量空间上被利用，使用时间自适应几何积分器来设计用于辛加速优化的有效显式算法，并且观察到，尊重拉格朗日流和哈密顿流的时间重新缩放不变性和辛性的几何离散化实质上不太容易出现稳定性问题，因此更鲁棒、可靠，并且计算效率高。因此，发展时间自适应的哈密顿变分积分器来加速黎曼流形上的优化是很自然的。在本文中，我们考虑的情况下，黎曼流形嵌入在欧几里得空间，可以表征为水平集的浸没。我们将探讨如何完整约束可以纳入离散变分积分约束的数值离散的黎曼哈密顿系统黎曼流形，我们将测试所得到的算法的性能，通过解决本征值和Procrustes问题制定为最优化问题的单位球和Stiefel流形。
2022-03-17 cs.NA math.NA
Riemannian optimisation methods for ground states of multicomponent Bose-Einstein condensates
针对多组分玻色-爱因斯坦凝聚体基态计算问题，提出一套基于黎曼度量的优化方法，通过收敛性分析与数值实验验证其可靠性与计算效率，为该问题提供高效求解方案。
2025-04-16 cs.NA math.NA
Fast Quadratic Manifold Learning For Nonlinear Dimensionality Reduction in Large-scale Systems using Riemannian Optimization
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）
提出FastQM方法，将二次流形学习中的最优基选择转化为Stiefel流形上的连续优化问题，通过旋转约简基实现坐标对齐，并利用特征空间公式使优化成本与全状态空间维度无关，在湍流翼型尾流大涡模拟中验证了有效性。
2026-05-26 cs.NA math.NA
Primal-Dual Methods for Nonsmooth Nonconvex Optimization with Orthogonality Constraints
H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院H. Milton Stewart工业与系统工程系）；Department of Systems Engineering and Engineering Management, The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学系统工程与工程管理系）
本文提出一种无退化对偶方法，用于解决具有正交约束的非光滑非凸优化问题，方法单循环且无需求解子问题，具有O(ε^{-3})的迭代复杂度，并通过数值实验验证其高效性。
2026-04-05 cs.LG cs.NA math.NA
Low-rank solutions to a class of parametrized systems using Riemannian optimization
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出利用黎曼优化方法求解参数化系统的低秩近似，通过将参数化系统重新解释为优化问题的最优性条件，实现对固定秩矩阵的优化，适用于线性和非线性问题，通过理论分析和数值实验验证了方法的有效性。
2026-04-08 cs.NA math.NA
Adaptive Preconditioned Gradient Descent with Energy
本文将 Hessian-Riemannian、自然梯度等预条件梯度下降纳入 AEGD 框架，提出能量驱动的自适应步长，并证明三类目标函数下的无条件能量稳定性与收敛率，数值实验验证其优异性能。
2024-06-14 cs.NA math.NA math.OC
Hermite interpolation with retractions on manifolds
本文针对黎曼流形上的 Hermite 插值问题，提出一种基于收缩映射的新方法，可适用于固定秩矩阵流形等难以计算指数映射的流形，并通过引入收缩凸集证明方法的适定性，同时将经典渐近误差结果推广到流形情形，数值实验验证了方法的有效性。
2024-02-24 cs.NA math.DG math.NA
High-order Accurate Inference on Manifolds
Columbia University（哥伦比亚大学）；Duke University（杜克大学）
本文提出了一种在黎曼流形上实现高阶精度推断的框架，通过二阶重新traction建立渐近性，适用于多种流形设置并验证了其有效性。
2026-01-31 cs.NA math.NA math.OC
Grassmannian optimization is NP-hard
本文证明Grassmannian上无约束二次优化在多种参数情形下均为NP难，并推广到Stiefel流形、正交群及Cartan流形，同时证明不存在FPTAS。
2024-12-07 cs.NA math.NA math.OC
Nonlinear Schwarz methods to compute geodesics on manifolds
本文将Noakes蛙跳算法解释为经典Schwarz交替方法，并利用非线性预处理技术改进其收敛性，数值实验验证了该思路的有效性。
2024-09-02 cs.NA math.NA
On the analysis of optimization with fixed-rank matrices: a quotient geometric view
该研究从商几何视角分析固定秩矩阵优化的黎曼梯度下降算法，推导其显式更新规则，证明其比欧几里得梯度下降更快且无需平衡技术，能线性收敛求解矩阵感知与补全问题，并通过数值实验验证。
2024-08-13 cs.NA math.NA math.OC
