Newton retraction as approximate geodesics on submanifolds
测地线的有效逼近是流形上实用算法的关键。在这里，我们介绍了一类收缩的子流形，诱导的叶状的环境流形。它们将投射收缩匹配到三阶，从而将指数映射匹配到二阶。特别是，我们表明，牛顿收缩（NR）总是比流行的方法称为斜投影或正交收缩稳定：每Kantorovich型收敛定理，NR的超线性收敛区域包括后者。我们还表明NR总是具有较低的计算成本。NR的优良性质对流形上的优化、采样和许多其他统计问题都很有用。
2020-06-26 cs.NA math.DG math.DS
Mixed Maps for Kolmogoroff-Nagumo-Type Averaging on the Compact Stiefel Manifold
Università Politecnica delle Marche（马尔凯理工大学）；Tokyo University of Agriculture and Technology (TUAT)（东京农工大学）
提出基于混合收缩/提升对的快速不动点平均算法，通过数值比较验证该算法相比基于关联收缩/提升对的算法显著降低计算成本。
2013-03-07 cs.NA cs.OH math.DG
Presymplectic integrators for optimal control problems via retraction maps
收缩映射用于定义配置流形的切丛的离散化，作为动力学发生的配置流形的两个副本。这样的离散映射可以方便地提升到余切丛，使辛积分构造的Hamilton方程。庞特里亚金的最大值原理为最优控制问题提供了一个哈密顿框架。这就是为什么我们使用离散化映射和可积性算法来获得最优控制问题的前辛积分。
2022-03-01 cs.NA math.NA math.OC
Higher-order retraction maps and construction of numerical methods for optimal control of mechanical systems
本文引入与收缩映射相关联的高阶离散化映射概念，构造用于机械系统最优控制的几何积分器，并应用于平面刚体避障路径规划。
2023-03-31 cs.NA math.NA math.OC
Convergence analysis of projected fixed-point iteration on a low-rank matrix manifold
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Institute of Numerical Mathematics（计算数学研究所）
本文分析了在固定秩矩阵流形上投影固定点迭代的收敛性，采用投影分裂方案作为重构方法，证明其收敛速度不逊于无秩约束的标准固定点迭代，并通过数值实验验证理论结果。
2016-04-06 cs.NA math.NA
Polynomial Acceleration of Alternating Projections: Chebyshev Acceleration, Convergence Rates, and Retractions
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
提出FPMA框架，通过多项式加速（如切比雪夫加速）提升交替投影在光滑流形附近的收敛速度，并建立局部R线性收敛与收缩性质，显著改善小弗里德里希角下的性能。
2026-10-06 cs.NA math.NA math.OC
Retraction maps: A seed of geometric integrators. Part II: Symmetry and reduction
本文将收缩映射与离散化映射推广至 Lie 群胚的 Lie 代数胚，通过离散构型流形而非运动方程，系统构造保持几何结构、对称性及离散动量映射的数值积分器。
2025-02-19 cs.NA math.NA math.SG
Riemannian stochastic quasi-Newton algorithm with variance reduction and its convergence analysis
The University of Electro-Communications（电气通信大学）；Tokyo University of Science（东京理科大学）
随机方差缩减算法最近变得流行，用于最小化大的但有限数量的损失函数的平均值。提出了一种具有方差缩减的黎曼随机拟牛顿算法（R-SQN-VR）。平均，添加和减去多个梯度的关键挑战是解决与收缩和矢量传输的概念。在收缩算子和向量迁移算子下，我们给出了R-SQN-VR在非凸函数和收缩凸函数上的收敛性分析。在对称正定流形上的Karcher均值计算和Grassmann流形上的低秩矩阵完备化上对该算法进行了评价。在所有情况下，该算法优于最先进的黎曼批处理和随机梯度算法。
2017-09-16 cs.LG cs.NA math.NA
The real symplectic Stiefel and Grassmann manifolds: metrics, geodesics and applications
实辛Stiefel流形是固定维数的辛子空间的辛基的流形。它在物理学和工程学中有着广泛的应用。在这项工作中，我们研究这个流形的目标是提供理论和基于矩阵的数值工具，适合基本的数据处理。测地线是数据处理的基础。然而，这些是迄今未知的。追求一个李群的方法，我们关闭这个差距，并获得有效的计算公式的测地线都相对于一个自然的伪黎曼度量和一个新的黎曼度量。此外，我们提供有效的可计算和可逆的撤回。此外，我们引入了实辛格拉斯曼流形，即，辛子空间的流形再次，我们推导出有效的伪黎曼和黎曼测地线和可逆收缩公式。数值实验结果表明，我们认为通过梯度下降的优化流形上，并比较所提出的方法与最先进的状态。特别是，我们对待的“最近的辛矩阵”的问题和问题的最佳数据表示通过低秩辛子空间。后者的任务是与找到一个“适当的辛分解”，这是重要的结构保持模型的哈密顿系统的降阶问题。
2021-08-27 cs.NA math.DG math.NA
Second-order differential operators, stochastic differential equations and Brownian motions on embedded manifolds
University of Copenhagen（哥本哈根大学）
本文研究嵌入流形上随机微分方程的不变性与二阶微分算子之间的关系，推导了黎曼布朗运动的 SDE 表示，并提出三种数值模拟方案及相应软件，验证了长期极限收敛到均匀分布。
2024-06-05 cs.CV cs.NA eess.IV
Optimization on the Extended Tensor-Train Manifold with Shared Factors
本文针对扩展张量列分解中因子共享破坏多线性结构的问题，提出基于黎曼优化的求解方法，并设计了拟最优近似收缩与自动微分切空间投影算法，在张量逼近和多维特征值问题上验证了有效性。
2025-08-28 cs.NA math.NA
Energy preserving methods on Riemannian manifolds
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
本文提出在有限维黎曼流形上保能量的离散梯度方法，通过定义离散黎曼梯度、retraction和坐标中心函数，构建了内在且不依赖坐标或嵌入欧几里得空间的方案，扩展了已知方法并给出了高阶方法的构造方法及误差界。
2018-05-19 cs.NA math.NA
A modified projected walk on spheres method for elliptic equations on high-dimensional embedded manifolds: algorithm and error estimates
School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Hainan University（海南大学数学与统计学院）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
提出投影游走球方法求解嵌入流形上的屏蔽泊松方程，通过局部扩展和格林表示结合最近点投影，实现无网格并行随机递归，并引入补偿项和自适应半径策略恢复几何结构，在边界和闭流形设定下建立均方误差估计。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Riemannian optimization on the symplectic Stiefel manifold using second-order information
本文研究了辛Stiefel流形上的黎曼优化问题，提出了一种黎曼信赖域方法，推导了右不变度量下Hessian矩阵公式并提出新收缩映射，对比了多种方法在辛约束矩阵优化问题上的性能。
2024-06-26 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the transformed gradient projection algorithms on compact matrix manifolds
本文提出变换梯度投影算法，分析其在紧矩阵流形上的收敛性，涵盖并改进现有算法的收敛性质。
2025-11-20 cs.NA math.NA math.OC
Modified memoryless spectral-scaling Broyden family on Riemannian manifolds
本文提出黎曼流形上改进的无记忆谱缩放 Broyden 拟牛顿法，通过引入参数和一般映射获得充分下降与全局收敛性，数值实验验证其在斜流形非对角代价问题上的有效性。
2024-04-04 cs.NA math.NA
Efficient Random Walks on Riemannian Manifolds
本文提出基于收缩的近似测地随机游走，证明其在测地线方程二阶近似下依分布收敛于布朗运动，从而给出紧黎曼流形上高效的布朗运动采样算法。
2023-12-04 cs.NA math.NA math.PR
Low-rank matrix completion by Riemannian optimization---extended version
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
提出一种基于黎曼流形上非线性共轭梯度的矩阵补全算法，利用度量投影作为回缩，向量传输获取共轭搜索方向，并在受限等距性质下证明正则化版本的收敛性，数值实验表明算法在大规模问题上扩展性好且优于现有方法。
2012-09-18 cs.NA math.DG math.NA
On-Manifold Projected Gradient Descent
Teledyne Scientific & Imaging, LLC（Teledyne科学与成像有限责任公司）；George Mason University（乔治梅森大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本研究提出基于共形不变扩散映射与Nyström投影的高维数据类别流形近似方法，结合谱外微积分实现流形上对抗样本生成与对抗训练，使误分类可通过语义操作解释。
2023-08-23 cs.LG cs.NA math.NA
Constrained high-index saddle dynamics for the solution landscape with equality constraints
本文提出约束高指标鞍点动力学（CHiSD）方法，结合上下搜索算法构建等式约束下的解景观，通过数值算例验证了该方法的有效性。
2025-11-19 cs.NA math.NA
Neural Pushforward Samplers for the Fokker-Planck Equation on Embedded Riemannian Manifolds
Department of Mathematics, Southern Methodist University（数学系，南方 Methodist 大学）
本文扩展了弱对抗神经推前方法，用于嵌入黎曼流形上的福克-计划克方程，通过神经推前映射和重traction层约束流形，实现概率守恒，采用弱对抗目标训练，无需网格或坐标图，验证了方法在曲面多模态不变分布中的能力。
2026-03-18 cs.LG cs.NA math.NA
New vector transport operators extending a Riemannian CG algorithm to generalized Stiefel manifold with low-rank applications
本文提出两种基于Cayley变换的向量传输算子，用于广义Stiefel流形上的共轭梯度法，满足非扩张条件，并证明算法全局收敛，数值实验验证了其在广义特征值问题和典型相关分析中的效率。
2024-05-25 cs.NA math.NA math.OC
Discretization of Dirac systems and port-Hamiltonian systems: the role of the constraint algorithm
本文利用流形上的收缩与离散化映射研究Dirac结构离散化，并将其用于端口Hamilton系统数值积分器，同时探讨离散化与隐式微分方程约束算法的融合。
2025-05-09 cs.NA math.DG math.NA
On the globalization of Riemannian Newton method
为了寻找定义在黎曼流形上的向量场的奇异性，本文提出了一种新的Newton方法的全局化策略，并证明了其具有超线性速率的整体收敛.特别是，这种全球化一般化的一般收回现有的阻尼牛顿法。所提出的整体收敛分析不需要对向量场的奇异性作任何假设。应用该方法求解了两个Stiefel流形乘积上的截断奇异值问题、对称正定矩阵锥上的双曲手抓取问题和球面上的Rayleigh商问题.解决了一些学术问题。数值实验表明，该算法具有更好的鲁棒性与上述方法相比。
2020-08-14 cs.NA math.NA math.OC
High-order Accurate Inference on Manifolds
Columbia University（哥伦比亚大学）；Duke University（杜克大学）
本文提出了一种在黎曼流形上实现高阶精度推断的框架，通过二阶重新traction建立渐近性，适用于多种流形设置并验证了其有效性。
2026-01-31 cs.NA math.NA math.OC
Manifold Free Riemannian Optimization
黎曼优化是一种用于解决最优化问题的原则框架，其中所需的最优值被约束到光滑流形$\mathcal{M}$。在这个框架中设计的算法通常需要流形的一些几何描述，其通常包括切空间、收缩和费用函数的梯度。然而，在许多情况下，由于缺乏信息或难以处理，只能访问这些元素的一个子集（或根本无法访问）。在本文中，我们提出了一种新的方法，可以执行近似黎曼优化在这种情况下，约束流形是$\R^{D}$的子流形。在最低限度，我们的方法只需要一个无噪声的样本集的费用函数$(\x_{i}, y_{i})\in {\mathcal{M}} \times \mathbb{R}$和流形$\mathcal{M}$的固有维数。使用样本，并利用流形-MLS框架（Sober和Levin 2020），我们构建了缺失组件的近似，并分析了它们的计算成本。在某些组件是解析地给出的情况下（例如，如果明确给出了费用函数及其梯度，或者如果可以计算切空间），则该算法可以容易地适于使用精确表达式而不是近似值。我们使用我们的方法分析了基于黎曼梯度的方法的整体收敛，我们实证证明了这种方法的强度，以及基于类似原则的共轭梯度型方法。
2022-09-07 cs.CG cs.NA math.DG
Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion
University of Nottingham（诺丁汉大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文提出了一种在流形上使用兰格vin扩散进行采样和估计的方法，推导了误差界并验证了其在不同曲率流形上的实用性。
2025-04-26 cs.NA math.NA math.PR
