$(n_kx)$相对于某些概率测度的差异
The discrepancy of $(n_kx)$ with respect to certain probability measures
摘要：
设$(n_k)_{k=1}^{\infty}$是缺项整数序列。我们表明，如果$μ$是$[0,1)$上的概率测度，使得$|\widehatμ(t)|\leq c|t|^{-η}$，那么对于$μ$ -几乎所有的$x$，对于某个常数$C>0$，差异$D_N(n_kx)$满足\begin{equation*} \frac{1}{4} \leq \limsup_{N\to\infty}\frac{N D_N(n_kx)}{\sqrt{N\log\log N}} \leq C \end{equation*}，证明了Haynes，Jensen和Kristensen的一个猜想。这使得他们以前对$q\|qα\| \|qβ-γ\| $形式的产物的结果略有改进。
英文摘要：
Let $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ be a lacunary sequence of integers. We show that if $μ$ is a probability measure on $[0,1)$ such that $|\widehatμ(t)|\leq c|t|^{-η}$, then for $μ$-almost all $x$, the discrepancy $D_N(n_kx)$ satisfies \begin{equation*} \frac{1}{4} \leq \limsup_{N\to\infty}\frac{N D_N(n_kx)}{\sqrt{N\log\log N}} \leq C \end{equation*} for some constant $C>0$, proving a conjecture of Haynes, Jensen and Kristensen. This allows a slight improvement on their previous result on products of the form $q\|qα\| \|qβ-γ\| $.
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