A note on the Tangent Cones of the scheme of Secant Loci
Ali Bajravani
这篇短文的要点是关于割线轨迹图的两个事实。第一个是试图对这些方案的切锥进行整体描述;第二个是对各种割线轨迹方案的切空间维数进行比较。
The point of this short note concerns with two facts on the scheme of secant loci. The first one is an attempt to describe the tangent cone of these schemes globally and the second one is a comparision on the dimension of the tangent spaces of various schemes of secant loci.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Excess dimension for secant loci in symmetric products of curves
推广了W. Fulton，J. Harris和R.对称曲线乘积中的割线轨迹。比较了三种割线轨迹，证明了大轨迹的维数不可能过分大于小轨迹的维数。
A note on the variety of Secant Loci
本文确定亏格为$g(C)\geq 9$的非超椭圆曲线，使得对它们上的一些非常充分的线丛，对某些整数d和r，在一定的假设下，割线轨迹的维数比它的最大值小1.然后，我们继续推广和推广M。Coppens到割线位置。
Secant loci on moduli of Prym varieties
本文将 Lazarsfeld 关于一般极化 K3 曲面曲线无意外割线的结果推广到 Prym 情形，证明标准与非标准一般 Nikulin 曲面上曲线的 Prym-典范嵌入无意外割线，并据此确定奇数亏格稳定 Prym 曲线模空间中泛差除子的类。
Secant loci of scrolls over curves
给定曲线$C$和$C$上的线性系统$\ell$，正割轨迹$V_e^{e-f}( \ell )$参数化次数$e$的有效因子，其对$\ell$施加至多$e-f$条件。对于$E \to C$一个向量丛秩$r$，我们定义行列式子计划$H_e^{e-f} ( \ell ) \subseteq \mathrm{Hilb}^e ( \mathbb{P} E )$和$Q_e^{e-f} (V) \subseteq \mathrm{Quot}^{0, e} ( E^* )$推广$V_e^{e-f} ( \ell )$，给出几个例子。我们描述了$Q_e^{e-f} (V)$的Zapriki切空间，并举例说明了$Q_e^{e-f} (V)$的光滑性不一定受Petri映射的内射性控制.我们概括的阿贝尔-雅可比映射和线性级数的概念的上下文中报价计划。给出了广义割线轨迹非空的充分条件，以及$f = 1$在Segre不变量$s_1 (E)$意义下的完全情形下的判别准则.这导致了类似于arxiv：1812.00706中的半稳定性的几何表征。利用这些想法，我们也给出了部分答案兰格的一个问题上非常丰富的${\mathcal O}_{\mathbb{P} E} (1)$，并表明，对于任何曲线，$Q_e^{e-1} (V)$是空的或预期的尺寸足够一般的$E$和$V$。当$Q_e^{e-1} (V)$具有并达到期望维数0时…
On secant loci and simple linear projections of some projective varieties
本文研究了某些射影簇的简单线性投影在投影中心穿过周围空间时的表现。更精确地说，令$X \subset ¶^r$是一个满足Green-Lazarsfeld性质$p \geq 2$的射影簇，$q \in ¶^r$是$X$外的闭点，而$X_q := π_q (X) \subset ¶^{r-1}$是$X$从$q$的投影像。首先，证明了$X$关于$q$的割线轨迹$Σ_q (X)$，即$X$上所有点的集合，在$¶^r$的子空间中要么是空的要么是二次曲面.这意味着有限态射$π_q : X \to X_q$是双有理的。我们的主要结果是$X_q$的上同调和局部性质由$Σ_q (X)$精确地确定。为了完成这个结果，下一步应该是对所有可能的割线轨迹进行分类，并通过割线轨迹的分类来分解周围空间。我们得到这样的分解Veronese嵌入和Segre嵌入。作为主要结果的应用，我们还研究了低次簇的上同调性质。
The Degree of the Tangent and Secant Variety to a Projective Surface
在本文中，我们提出了一种计算割线度的方法（分别为，切）各种光滑的射影曲面，在假定除数给予嵌入在射影空间是$3$ -非常充足。这种方法利用这些品种之间的联系和希尔伯特计划$0$维子计划的长度$2$的表面。
Tangential projections and secant defective varieties
进一步在扎克的分类Scorza品种割线缺陷等于1，我们的特点是Veronese嵌入$¶^n$给出的完全线性系的二次曲面和其光滑的投影从一个点作为唯一的光滑不可约复杂和非退化的投影子品种的$¶^N$可以投射到$¶^{2n}$同构时，$N\geq\binom{n+2}{2}-2$。
Syzygies of tangent developable surfaces and K3 carpets via secant varieties
本文给出了有理正态曲线的切可展曲面的合势的Aprodu-Farkas-Papadima-Raicu-Weyman定理和K3地毯的合势的Raicu-Sam结果的简单几何证明。由此，我们得到了代数闭域$\mathbf{k}$上亏格为$g$的一般曲线的Green猜想的一个快速证明，该域具有$\operatorname{char}(\mathbf{k}) = 0$或$\operatorname{char}(\mathbf{k}) \geq \lfloor (g-1)/2 \rfloor$ .我们还证明了任意光滑大次射影曲线的切可展曲面的算术正规性。
On varieties of almost minimal degree I: Secant loci of rational normal scrolls
为了完成几乎最小度簇（即度恰好超过余维2的非退化不可约投影簇）的分类理论和结构理论，一个自然的方法是研究最小度簇的简单投影。设$\tilde X \subset {\mathbb P}^{r+1}_K$是一个极小度且余维数至少为2的簇，并考虑$X_p = π_p (\tilde X) \subset {\mathbb P}^r_K$，其中$p \in {\mathbb P}^{r+1}_K \backslash \tilde X$ .通过\cite{B-Sche}证明了$X_p$的上同调和局部性质是由$\tilde X$关于$p$的正割轨迹$Σ_p (\tilde X)$决定的.沿着这一思路，本文致力于给出$\tilde X$的割线分层的几何描述，即通过割线轨迹的类型分解${\mathbb P}^{r+1}_K$。我们表明，正割轨迹$Σ_p (\tilde X)$，正好有六种可能性，我们精确地描述了每一层的正割分层的$\tilde X$，其中每一个原来是一个准投射品种。作为一个应用程序，我们得到的所有非正常的Del Pezzo品种的分类，通过提供一个完整的列表对$(\tilde X, p)$其中$\tilde X \subset {\mathbb P}^{r+1}_K$是各种最小程度，$p$是一个封闭的点，在$\mathbb P^{r+1}_K \setminus \tilde X…
On the singular loci of higher secant varieties of Veronese embeddings
本文研究Veronese嵌入的高阶割线簇的奇异轨迹，通过定义m-次割线轨迹并利用射影几何与张量方法，判定其是否包含于奇异轨迹中，揭示了k值相关的三分性，并给出第4阶割线簇的具体分析。
Unobstructedness of filling secants and the Gruson-Peskine general projection theorem
我们证明了一个畅通无阻的结果变形的子品种限制交叉与另一个，固定的子品种。我们推导出光滑度和预期尺寸的结果为多点轨迹的通用投影，主要是从一个点或一条线，或纤维的嵌入维2或less. The当前版本是一个实质性的增强前一个，包括第一次从一条线的投影结果。
On the dimension of contact loci and the identifiability of tensors
设$X\subset \mathbb{P}^r$是一个整数非退化簇.设置$n:= \dim (X)$。证明了如果$X$的$(k+n-1)$ -正割簇具有（期望的）维数$(k+n-1)(n+1)-1<r$，且$X$不被线去圆，则$X$不是$k$ -弱亏损的，因此$k$ -正割簇满足可识别性，即它的一般元素在唯一的具有$\sharp (S) =k$的$S\subset X$的线性跨度中.我们将这一结果应用到许多Segre-Veronese品种和高斯混合$G_{1,d}$的可识别性。如果$X$是一个多投射空间的Segre嵌入，我们证明了$k$ -正割簇的可识别性（假设$(k+n-1)$ -正割簇具有维度$(k+n-1)(n+1)-1<r$，这在许多情况下是一个已知的结果），击败了张量可识别性的几个界限。
Secants of Lagrangian Grassmannians
研究辛向量空间中拉格朗日子空间的格拉斯曼割线簇的维数。我们计算这些尺寸的第三和第四割线品种。我们的结果是通过给出Grassmannian上四个一般点的规范形并明确计算这四个点的切空间得到的。
Focal schemes to families of secant spaces to canonical curves
这篇文章是Ciliberto和Sernesi的结果的概括。对于$g\geq 5$亏格的一般正则嵌入曲线$C$，设$d\le g-1$是一个整数，使得Brill-Noether数为$ρ(g,d,1)=g-2(g-d+1)\geq 1$。我们研究了由Brill-Noether位点$W^1_d(C)$的光滑位点诱导的$d$ -正割$\mathbb{P}^{d-2}$到$C$的家族。利用焦点理论和Eisenbud和Harris关于特殊$1$ -一般矩阵秩1轨迹的结构定理，通过由维数至少为$1$的Brill-Noether轨迹$W^1_d(C)$重构曲线，证明了一般曲线的Torelli型定理.
On the irreducibility of secant cones, and an application to linear normality
设$Y \subset ¶^r$是正规非退化m维子簇，$σ(Y)$表示子簇$Z \subset Y_{smooth}$的最大维数，使得$Z$包含$Y$上某个因子的类属点，且所有$y \in Z$的切平面$T_y Y$包含在一个固定超平面内.本文研究了双位点$D \subset $ Y $ of its generic projection to $ <$^{r-1} $, proving that if the secant variety of $ Y $ is the whole space and $ σ（Y）<2 m-r + 1 $, then $ D $ is irreducible. Applying Zak's Tangency theorem we deduce the irreducibility of $ D $ when $ m > 2（r-1）/3$.后者意味着Zak线性正态性定理的一个版本。
Excess dimensions of Brill--Noether schemes of rank two stable bundles
我们使用M的结果。Aprodu和E. Sernesi推广了Fulton-Harris-Lazarsfeld在Brill-Noether线丛理论中的一个结果，以及Aprod-Sernesi在割线轨迹理论中的一个结果，得到了光滑射影代数曲线上二秩稳定向量丛的模空间中稳定丛的Brill-Noether轨迹.因此，如果$B^k_{2, d}$是预期的尺寸，那么我们证明了它的光滑性是等价的光滑$B^{k}_{2, d+1}$。
On the strong base locus of a projective variety
本文研究了投影变种的基 locus 和强基 locus，探讨了其与切向接触及可识别性概念的联系，特别分析了张量相关变种的基 locus 非空性。
Interpolation for rational curves with secants
研究在任意特征下，确定 $\mathbb{P}^r$ 中次数为 $d$ 的有理曲线通过一般点的最大数量，并附加沿线性空间的割线条件，分别考虑曲线上点未指定和指定的情况，通过法丛和限制切丛的确定来解决问题。
Decomposition loci of tensors
本文定义张量的分解轨迹为最小张量秩分解中的秩一张量集合，证明了位于任意Segre簇切向簇上的张量的分解轨迹仅排除切点，并显式计算了有限轨道张量空间中所有张量的分解轨迹。
Irreducibility of the Gorenstein loci of Hilbert schemes via ray families
我们分析了$d$上$d$点的Hilbert格式的Gorenstein轨迹，即$d$度的$d$的零维Gorenstein子格式的开子格式参数化。给出了Gorenstein轨迹点的光滑性和光滑性的新的充分判据。特别是，我们证明了这个轨迹是不可约的时，$d\leq 13$，并找到它的组件时，$d = 14$。证明是相对独立的，它不依赖于计算机代数系统。作为副产品，我们给出了$d\geq 4$的$\mathbb{P}^n$的$d$次Veronese再嵌入的第四割线簇的方程.
Quadratic equations of tangent varieties via four-way tensors of linear forms
该研究利用四向线性形式张量构造切簇的二次方程与线性合冲并推广至高阶情形，拓展了经典行列式方程，证明了相关猜想变体，还从表示论角度诠释了Green-Lazarsfeld类。
On the number of Mordell-Weil generators for cubic surfaces
设S是域K上的光滑三次曲面。众所周知，新的K-有理点可以通过割线和切线构造从旧的K-有理点获得。Mordell-Weil生成集是S（K）的最小基数子集B，它通过连续的割线和切线构造生成S（K）。设r（S，K）是这样一个Mordell-Weil生成集的基数。马宁提出了被称为三次曲面的莫德尔-韦伊问题：如果K是在其素子域上生成的，那么r（S，K）是有限的。本文证明了这一猜想的一个特例。也就是说，如果S包含两条定义在K上的斜直线，则r（S，K）= 1。研究三次曲面上的割线和切线过程的困难之一是它不像椭圆曲线那样导致结合的二元运算。作为一种部分的补救，我们引入了一个阿贝尔群H_S（K），它与一个由K-有理点自然生成的三次曲面S/K相联系，它保留了许多关于割线和切线过程的信息。特别地，只要H_S（K）的最小生成元数大，则r（S，K）也大。在弱近似成立的情况下，H_S具有良好的局部到全局性质。我们利用这些构造一族有理数上的光滑三次曲面，使得r（S，K）在这个族中是无界的.这是椭圆曲线秩猜想无界性的三次曲面模拟。
On the locus of points of high rank
给定一个射影空间中的闭子簇X，在这个射影空间中的点p关于X的秩是最小整数r，使得p位于X的某些r个点的线性跨距中。设W_k是关于X的秩为k的点集的闭包。对于小的k值，这样的位点被称为割线变种。本文研究了k值大于属秩时的轨迹W_k。我们证明了它们是嵌套的，我们约束了它们的维数，并且我们估计了在特殊情况下关于X的最大可能秩，包括当X是齐性空间或曲线时。该理论是说明了许多例子，包括Veronese品种，塞格雷产品的尺寸（1，3，3），和曲线。一个中间结果给出了齐次型GL_n轨道维数的一个下界.
Local structure of theta divisors and related loci of generic curves
本文研究一般曲线 theta 除子及 Brill-Noether 轨迹的局部结构，证明在 Petri 映射单射条件下轨迹局部 étale 同构于切锥，并由此解决单值性猜想等问题。
On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety
本文研究了投影变种的切度和切变种的度数，证明了在特定条件下切度的下界及变种分类。
Topology and geometry of cohomology jump loci
我们阐明了在特征和共振品种理论中形式所起的关键作用。我们定义了与任意秩系数的扭群上同调有关的相对特征簇和共振簇V_k和R_k。证明了当群是1-形式群时，V_k和R_k的原点芽解析同构，特别是V_k在1处的切锥等于R_k。这些新的障碍1-形式导致一个显着的合理性财产的通常的共振品种。对切锥在1的第一特征簇的不可约分量的详细分析，产生了实现一个光滑复拟投射代数簇的基本群的一个强有力的障碍。这为J. - P. Serre。应用程序的安排，配置空间，余产品的群体，和阿廷群。
Around the tangent cone theorem
上同调跳跃轨迹理论的一个基石是切锥定理，它将空间的特征变量和共振变量的起源联系起来。我们在cdga模型提供的代数背景下，以及在基本群和上同调环提供的拓扑背景下重新讨论这个定理。一般的理论说明了几个类的例子，从几何和拓扑学：光滑的拟射影簇，复杂的超平面安排和他们的Milnor纤维，配置空间，和椭圆形安排。
Rank one local systems and forms of degree one
光滑拟投射复代数簇的秩一局部系统的上同调支撑轨迹是基本群的特征标簇的挠平移复子环面的有限并。特征标簇的切空间（部分）用对数1-形式表示。本文给出了上同调支撑轨迹与由消失轨迹的维数给出的1-形式的自然层之间的关系。这个关系推广了格林和拉扎斯菲尔德的投射情形，也推广了迪姆卡的拟投射情形的偏关系。
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