Rook placements and Jordan forms of upper-triangular nilpotent matrices
有限域F_q中元素为n × n的上三角幂零矩阵的集合具有由n的分块λ索引的若尔当典范形。本文给出了一个计算Jordan型λ矩阵的个数F_λ（q）的组合公式.我们还研究了这些矩阵与非攻击车布局之间的联系，从而改进了F_λ（q）的公式。
2017-02-28 math.CO
Bijections on m-level Rook Placements
假设一个棋盘的行被划分成m行的集合，称为水平。一个m级车的布局是棋盘的一个子集，其中没有两个方块在同一列或同一级。我们构造了显式双射来证明三个关于这种配置的定理。我们从两个具有相同数量的m级车位置的费勒斯板之间的双射开始。第一个推广了Foata和Sch的一个地图。utzenberger和我们的证明适用于任何费勒斯董事会。这种双射也保留了由Briggs和Remmel定义的m级车放置的m反转数统计。第二个概括了Loehr和Remmel的工作。这种构造只适用于一类特殊的费勒斯板，但它产生了一个公式来计算这些板的车数的初等对称函数。最后，我们推广了Loehr和Remmel的另一个结果，给出了具有相同命中数的板之间的双射。第二个和第三个双射涉及Garsia和Milne的对合原理。
2015-08-24 math.CO
Towards a q-analogue of the Harer-Zagier formula via rook placements
1986年，Harer和Zagier计算了一个矩阵积分，以确定一个有影响力的封闭式公式，用于计算从N种颜色着色的n个顶点上的（可定向的）单面映射的数量。Kerov（1997）提供了一个证明，该证明以不同的方式计算了相同的矩阵积分，这给出了这些数字的解释，也计算了Young图上非攻击车的放置数量。Bernardi（2010）通过将单面映射与树根映射进行双射来证明这个公式，树根映射是具有指定生成树的可定向映射。在本文的第一部分中，我们探索这些车的位置和树根地图之间的连接，通过开发这些对象之间的双射。由于Garsia和Remmel（1986）的观点，Young图上的车位置有一个q-模拟。在本文的第二部分中，我们提出了一个统计的车的位置，导致一个固定的身份，这是一个q模拟的一部分的Harer-Zagier公式。这个恒等式也可以用正交多项式的矩来表示，这些矩是q-厄米多项式的重标度。然后，我们使用这些时刻给建议的q-模拟的复发。
2014-12-10 math.CO
m-Level rook placements
戈德曼、Joichi和White证明了一个美丽的定理，证明了费勒斯棋盘的车数的下降阶乘母函数是整数的因子。Briggs和Remmel研究了一种类似于车放置的方法，其中行被称为水平的$m$行集合所取代。他们证明了一个版本的因式分解定理在该设置，但仅适用于某些费勒斯板。我们将这个结果推广到任何Ferrers板以及给出一个p，q-模拟。我们还考虑了一个双重的情况，涉及加权文件的位置，允许在同一行中有一个以上的车。在这两种情况下，我们讨论的属性，如在一个类中的元素的数量产生的等价类。此外，我们证明了类似物的一个定理的Foata和Schützenberger给出了一个杰出的代表在每个类，以及使连接与q，t-加泰罗尼亚数。最后，我们提出了一些开放的问题，这项工作。
2013-08-19 math.CO
Hall--Littlewood expansions of chromatic quasisymmetric functions using linked rook placements
Sungkyunkwan University（成均馆大学）；Seoul National University（首尔大学）；Chungbuk National University（忠北国立大学）
本文利用相连车放置描述了自然单位区间序产生的着色拟对称函数的Hall--Littlewood展开系数，并基于Carlsson--Mellit关系进一步给出了单细胞LLT多项式相应展开系数的组合描述。
2026-09-29 math.CO
Gradedness of the set of rook placements in $A_{n-1}$
车的位置是由正根和两两非正的内积组成的根系的子集。对于根系中的每一个车的位置，人们可以指定一个具有这个根系的约化代数群的博雷尔子群的余伴随轨道。退化的轨道诱导一个自然的偏序的车的位置。我们研究了$A_{n-1}$中的车放置集合的组合结构，并证明了这个偏序集是分次的。
2018-11-05 math.CO math.RT
Rook placements in Young diagrams and permutation enumeration
给定服从关系$\hat D\hat E -q \hat E \hat D =p$的两个运算符$\hat D$和$\hat E$，以及$M$和$N$中的一个词$w$，范式中的$w$的重写通过Young图中的车位置来组合描述。我们给出了这些车的位置，特别是在情况下，$p=(1-q)/q^2$的枚举结果。这种情况自然出现在PASEP的上下文中，PASEP是一个随机过程，其配分函数和平稳分布使用服从关系$DE-qED=D+E$（矩阵Ancestor）的两个算子$D$和$E$表示。利用Corteel和Williams在PASEP、置换表和置换之间建立的联系，证明了Corteel和Rubey关于置换计数的一个猜想.该结果给出了给定大小的置换相对于图案13-2的上升和出现的次数的生成函数，这也是$q$-Laguerre正交多项式的矩。
2009-02-11 math.CO
Real-rootedness of rook-Eulerian polynomials
本文引入由费勒斯棋盘完全车放置推广得到的车-欧拉多项式，证明其具有实根性，并将其解释为布鲁哈特偏序中312-避免排列的下区间，同时给出相关变体与推广。
2025-02-09 math.CO
Rook matroids and log-concavity of $P$-Eulerian polynomials
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）；Ruhr-Universität Bochum（波鸿鲁尔大学）
定义并研究车拟阵，其基对应斜费勒斯板上的非嵌套车放置，证明车拟阵是横截拟阵和正拟阵的子类，并利用非嵌套车放置的超对数凹性证明自然标号宽度2偏序集的$P$-欧拉多项式是超对数凹的。
2026-07-02 math.CO
Large-scale Rook Placements
对于每一个确定的“好”分段线性函数$f:[0,1] \to [0,1]$，通过扩大$f$图下的区域，我们考虑一族增长的Young图$\{λ(f,N)\}_{N=1}^{\infty}$.我们计算的形状$λ(f,N)$的车放置的数量的渐近公式。本文证明了均匀随机排列的归一化累积X射线，随着排列大小的增加，表现出极限形状现象。
2022-04-01 math.CO math.PR
Normal ordering in the $(p,q)$-deformed generalized Weyl algebra. II: Interpretation in terms of rook placements
University of Haifa（海法大学）；Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）；Würzburg University（维尔茨堡大学）
研究$(p,q)$-变形广义Weyl代数中正规排序产生的组合结构，通过引入$(p,q)$-变形$s$-车数，给出$(p,q)$-广义Stirling数在阶梯棋盘上车放置的组合解释。
2026-07-16 math.CO
Gessel polynomials, rooks, and extended Linial arrangements
我们研究了一个家庭的多项式与上升下降统计标记根平面k元树介绍Gessel，从车理论的角度来看。我们推广的超额统计排列，以最大的非攻击车放置在某些矩形板分解成板的楼梯形状。然后，我们有关的最大nonattacking车放置在某些斜板的区域的数量在扩展Linial安排通过建立这些板的阶乘多项式的特征多项式的扩展Linial安排之间的关系。此外，我们给出了一个组合解释的有界区域的数量在扩展线性安排的设置标记根平面k元树。最后，利用Goldman-Joichi-White的工作，我们确定了其色多项式等于扩展线性排列的特征多项式的图，直到一个简单的归一化。
2016-04-23 math.CO
Weighted File Placements on Singleton Boards
针对 singleton 棋盘上非 m 级车放置的 m 权重和为零这一结果，本文通过对相关文件放置集合进行划分，并结合归纳法给出构造性证明。
2023-12-18 math.CO
Matrix Ansatz, lattice paths and rook placements
我们给出了两个组合解释的矩阵Anglomeration的PASEP的格路径和车的位置。这给出了两个（主要是）组合证明的一个新的计数公式的分拆函数的PASEP。除了其他解释外，这个公式给出了给定大小的排列相对于模式13-2的上升和出现次数的生成函数，根据弱双曲性和交叉的生成函数，以及某些q-拉盖尔多项式的n阶矩。
2008-11-27 cond-mat.stat-mech math.CO
Domination Polynomial of the Rook Graph
本文针对车图的控制问题，推导了n×m车图的控制多项式（即对应生成函数）的表达式，以此计算n×m棋盘上k枚车的控制布局数量。
2024-03-10 math.CO
Rook theoretic proofs of some identities related to Spivey's Bell number formula
利用车的位置证明了Spivey的Bell数公式及与之相关的一些恒等式，特别是涉及Stirling数的卷积恒等式和Bell数的关系式.为了涵盖尽可能多的特殊情况下，我们工作的广义斯特林数所产生的车模型的高盛和Haglund。另一种组合解释的第二型广义$q$ -Stirling数的Remmel和Wachs也介绍了该方法用于获得早期的身份可以很容易地适应。
2016-01-11 math.CO
Partitions, rooks, and symmetric functions in noncommuting variables
令$Π_n$表示$\{1,2,\ldots,n\}$的所有集合划分的集合。我们考虑$Π_n$的两个子集，一个连接到车理论和一个与非交换变量的对称函数。令$\cE_n\sbeΠ_n$为上三角形棋盘上对应于可扩展车（布局）的所有分区的子集，$\cT_{n-1}$。给定$π\inΠ_m$和$\si\inΠ_n$，将它们的{ \it斜杠乘积\/}定义为$π|\si=π\cup(\si+m)\inΠ_{m+n}$，其中$\si+m$是通过将$m$添加到$\si$的每个块的每个元素而获得的分区。如果$τ$不能写成非平凡的斜杠积，则调用$τ$ { \it atomic\/}，并让$\cA_n\sbeΠ_n$表示原子分区的子集。原子划分首先由Bergeron、Hohlweg、Rosas和Zabrocki在研究非交换变量中的对称函数$NCSym$时定义。我们表明，尽管他们非常不同的定义，$\cE_n=\cA_n$的所有$n\ge0$。此外，我们把一个代数结构的形式向量空间生成的所有车放置在上三角板，使它同构于$NCSym$。最后，我们提出一些意见和一个悬而未决的问题。
2010-08-17 math.CO
Rook placements and orbit harmonics
UC San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文通过轨道调和方法研究有限矩阵领域中的车轮放置问题，推导出分层模的特征公式，并探讨其在模结构中的应用。
2026-02-17 math.AC math.CO math.RT
An extension of Viennot's shadow to rook placements via orbit harmonics
本文通过轨道调和与Viennot阴影线方法，构造并分析了与大小至少为r的车放置相关的矩阵商环，给出其标准单项式基及对称群模结构。
2025-11-06 math.AC math.CO math.RT
Rook poset equivalence of Ferrers boards
一个自然的结构，由于K。丁从费勒斯板产生舒伯特变种。这些簇中Schubert胞腔的偏序集结构等于Bruhat序下Ferrers板上最大车位置的偏序集。我们确定了两个Ferrers板有同构的rook偏序集。同样地，我们给出了两个Ding Schubert簇具有相同Schubert胞腔结构的一个精确分类。这也产生了一个完整的分类同构类型的较低的间隔312-避免排列在布鲁哈特秩序。
2005-02-05 math.AG math.CO
On the Gonality of Ferrers Rook Graphs
本文研究 Ferrers 车图的亏度，提出猜想公式，并对若干无限族及所有规模不超过 8 的 Ferrers 图予以证明。
2024-05-13 math.CO
Notes on simplicial rook graphs
单纯车图${\rm SR}(m,n)$是这样的图，其顶点是长度为$m$和$n$的非负整数序列，其中两个这样的序列在恰好两个位置不同时相邻。我们发现，${\rm SR}(m,n)$有积分特征值，和最小的特征值$s = \max (-n, -{m \choose 2})$，这个图有很大一部分的频谱与约翰逊图$J(m+n-1,n)$。我们确定了自同构群和其他几个性质。
2014-08-24 math.CO
The Smith and Critical Groups of the Square Rook's Graph and its Complement
设$R_{n}$表示顶点集由一个$n \times n$网格的正方形组成的图，当两个正方形位于同一行或列时，它们相邻。这是方车图，也可以被认为是两个$n$阶完全图的笛卡儿积，或者是完全二部图$K_{n,n}$的线图。本文计算了图$R_{n}$及其补图的Smith群和临界群。这等价于确定这些图中的每一个的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的史密斯标准形。在这样做，我们验证了1986年的Rushanan猜想。
2015-07-23 math.CO
$3$-tuple total domination number of rook's graphs
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点集$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻. $k$ TDS的最小尺寸被称为$k$元组全控制数，并且它被表示为$γ_{\times k,t}(G)$。给出了$γ_{\times 3, t}(K_n \Box K_m)$的一个一般公式的构造性证明.
2018-07-21 math.CO
On the Spectra of Simplicial Rook Graphs
\emph{simplicial rook graph} SR（d，n）是其顶点是$\mathbb{R}^d$中标准单形的$n$次扩张中的格点的图，如果两个顶点恰好在两个坐标上不同，则它们相邻。证明了SR（3，n）的邻接矩阵和Laplacian矩阵对每个$n$都有整谱.通过计算一个显式特征基来进行证明。我们猜想SR（d，n）对所有的$d$和$n$都是可积的，并给出了支持这一猜想的证据.对于$n<\binom{d}{2}$，证据表明邻接矩阵的最小特征值是$-n$，并且相应的特征空间具有由Mahonian数给出的维数，Mahonian数通过反转数来枚举排列。
2014-05-05 math.CO
On xD-Generalizations of Stirling Numbers and Lah Numbers via Graphs and Rooks
本文研究了Weyl代数$W=\langle x,D|Dx-xD=1\rangle$中两类Stirling数和与正规序问题相关的Lah数的推广.任何带有$m$ $x$ 's和$n$ $D$ 's的单词$ω\in W$都可以用正常有序形式$ω=x^{m-n}\sum_{k\ge 0} {ω\brace {k}} x^{k}D^{k}$表示，其中${ω\brace {k}}$被称为单词$ω$的第二类斯特林数。本文研究了限制词$ω$在$W$中在序列$\{(xD)^{k}\}_{k\ge 0}$和$\{xD^{k}x^{k-1}\}_{k\ge 0}$上的扩展。有趣的是，个别展开式中的系数原来是第一类斯特林数和拉数的推广。这些系数将通过列举一些与$ω$相关的组合结构来确定，这些结构涉及准阈值图的森林分解和费勒斯板上的非攻击车位置。扩展到$q$ -类似物，加权的组合解释的改进也调查的$q$ -变形的Weyl代数的话。
2017-01-03 math.CO
Saved by the rook: a case of matchings and Hamiltonian cycles
本文研究车图中任意完美匹配可扩展为哈密顿圈的条件，通过将棋盘格子配对问题转化为完全图笛卡尔积的图论问题，确定了正整数 m1 和 m2 的取值。
2021-04-04 math.CO
The inverse rook problem on Ferrers boards
自1946年以来，鲁克多项式被广泛研究，主要是作为一种枚举限制排列的方法。然而，它们也被证明与其他数学领域有许多富有成效的联系，包括图论，超几何级数和代数几何。众所周知，任何电路板的车多项式都可以递归计算。自然产生的逆问题-给定一个多项式，什么板（如果有的话）与它相关联？仍然开放。本文完全解决了一类Ferrers板的反问题，证明了由多项式构造的递增Ferrers板是唯一的。
2004-07-01 math.CO
The Gonality of Rook Graphs
二维车图是两个完全图的笛卡儿积。本文证明了这类图的度是$(n-1)m$的期望值，其中$n$是较小的完全图的尺寸，$m$是较大的完全图的尺寸.此外，我们计算了这些图的2和3角性。我们还研究了这类图的扰码数，它是一种新的图不变量，也是关于图的一致性的一个下界。
2022-05-20 math.AG math.CO
Attacks and alignments: rooks, set partitions, and permutations
我们考虑均匀随机集分区的大小$n$与$k$块，和均匀随机排列的大小$n$与$k$圈，在该制度下，$n-k \sim t\sqrt{n}$，$t>0$。在这种情况下，有一个简单的近似的组件计数的整个过程，特别是，大小为3的组件的数量收敛于泊松分布的平均值$\frac{2}{3}t^2$的集合分区和平均值$\frac{4}{3}t^2$的排列，并与高概率的所有其他组件的大小为1或2。这些近似证明，与前渐近误差界，使用组合双射的放置$r$车的三角形的一半的$n\times n$棋盘，连同陈-斯坦方法的指示随机变量的过程。
2021-07-04 math.CO math.PR
Classification of Ding's Schubert varieties: finer rook equivalence
K. Ding研究了A型部分旗流形中的一类Schubert簇X_λ，它对应于整数分拆λ，且是具有支配置换的双射.他观察到X_λ的Schubert胞腔结构是由Ferrers板B_λ上的最大rook位置来表示的，并且当Ferrers板B_λ，B_μ满足rook等价的组合条件时，整上同调群H^*（X_λ; Zz），H^*（X_μ; Zz）是加性同构的。我们对簇X_λ进行同构分类，用它们的整系数分次上同调环来区分它们.本文的核心是研究上同调环中线性型的零阶。
2004-09-08 math.AG math.CO math.GT
Simplicial Complexes of Triangular Ferrers Boards
我们研究了单纯复形，从非攻击车的位置上的一个子类的费勒斯板，具有$a_i$行的长度$i$，其中$a_i>0$和$i\leq n$的一些正整数$n$。特别是，我们将调查他们的方面，他们的同伦类型和同源性的枚举性质。
2012-09-26 math.CO
On the maximum number of non attacking rooks on a high-dimensional simplicial chessboard
单纯车图${\rm \mathcal{SR}}(m,n)$是这样的图，其顶点是$ \mathbb{N}^m$中的向量，使得对于每个向量，其坐标的和是$n$，并且如果它们对应的向量恰好在两个坐标上不同，则两个顶点相邻。马丁和瓦格纳（图表组合。（2015）31：1589--1611）询问了${\rm \mathcal{SR}}(m,n)$的独立数，该独立数是可以放置在边长为$n+1$的$(m-1)$维单纯棋盘上的非攻击车的最大数量。在这项工作中，我们解决了这个问题，并表明，$α({\rm \mathcal{SR}}(m,n))=\big(1-o(1)\big)\frac{\binom{n+m-1}{n}}{m}$。我们还证明了对于车图的控制数，我们有$γ({\rm \mathcal{SR}}(m, n))= Θ(n^{m-2})$。此外，我们还证明了这些图是Hamilton图。循环单纯车图${\rm \mathcal{CSR}}(m,n)$是这样的图，其顶点是$\mathbb{Z}^{m}_{n}$中的向量，使得对于每个向量，其坐标模$n$的和是$0$，并且如果它们对应的向量恰好在两个坐标上不同，则两个顶点是相邻的。在本文中，我们确定了这些图的一些性质，如独立数，色数和自同构群。在其他结果中，我们还证明了计算给定的${\rm \mathcal{CSR}}(m,n)$的两个顶点之间的距离…
2021-01-31 cs.DM math.CO
The 3x3 rooks graph is the unique smallest graph with lazy cop number 3
在普通版本的追逃对策“警察和强盗”中，一队警察和一个强盗占据一个图的顶点，并沿着图的边缘交替移动，彼此都有完美的信息。如果一个警察落在劫匪身上，警察就赢了;如果劫匪能无限期地躲避警察，他就赢了。在“懒警察和强盗”的变体中，警察只能选择他们班的一名成员在轮到他们时采取行动。最低数量的警察（分别懒惰的警察）需要抓住强盗被称为“警察号码”（分别。“惰性拷贝数”），并表示为$c(G)$（分别为$c_L(G)$）。Beveridge等人的工作证明了Petersen图是唯一的具有$c(G)=3$的10个顶点的图，而所有具有$c(G)\leq 2$的9个或更少顶点的图都具有$c(G)\leq 2$。(This是贝尔德和博纳托通过计算搜索发现的一个结果的完备的数学证明。）在这篇文章中，我们证明了一个类似的结果，即3 × 3车图（$K_3\square K_3$）是唯一的9个顶点的图，需要3个懒惰的警察，和8个或更少的顶点的图需要最多两个懒惰的警察。
2016-06-27 cs.DM math.CO
Chained permutations and alternating sign matrices - inspired by three-person chess
我们定义并列举了两个新的双参数置换家庭，即，放置的最大数量的非攻击车$k$链在一起的$n\times n$棋盘，在一个圆形或线性配置。具有$k=1$的线性情况对应于$n$的标准排列，具有$n=4$和$k=6$的圆形情况对应于三人棋盘。我们给双射这些车安置矩阵形式，单线符号，并在某些图匹配。最后，我们定义链的线性和循环交替符号矩阵，列举它们的某些值的$n$和$k$，并给出双射类似物的单调三角形，方冰配置，和完全包装循环配置。
2017-09-07 math-ph math.CO math.MP
(Claw, C_3)-free digraphs with unbounded dichromatic number
Université Paris-Panthéon-Assas（巴黎先贤祠-阿萨斯大学）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF）
该研究通过构造特定有向图，证明了无爪图和无有向三角形的有向图具有无界的二色数，推翻了相关猜想并改进了先前结果。
2026-02-09 cs.DM math.CO
Cartesian product graphs and $k$-tuple total domination
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点的集合$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻; $k$ TDS的最小大小记为$γ_{\times k,t}(G)$ .本文给出了笛卡儿积图的一个类Vizing不等式，即当填充数为$γ_{\times k,t}(G) \leq 2kρ(G)$时，图的填充数为$γ_{\times k,t}(G) γ_{\times k,t}(H) \leq 2k γ_{\times k,t}(G \Box H)$.我们还给出了$γ_{\times k,t}(G \Box H)$的（开）包装数的界，并考虑了$γ_{\times k,t}(K_n \Box K_m)$的极值情况，即，Rook图，给出了$γ_{\times 2, t}(K_n \Box K_m)$的一个通式的构造性证明.
2016-10-04 math.CO
On the gonality of Cartesian products of graphs
本文研究了图的笛卡儿积及其除角性，它是代数曲线的除角性的一种热带形式。我们提出了一个上界上的任何两个图的笛卡儿积的角性，并提供实例，在此范围内持有与平等，包括$m\times n$车的图与$\min\{m,n\}\leq 5$。我们使用我们的上界证明，贝克的角猜想持有任何两个图的笛卡儿积的两个或两个以上的顶点，我们精确地确定哪些非平凡的产品图的角度等于贝克的代数上界。
2019-09-23 math.AG math.CO
The Power Domination Toolbox
Youngstown State University（杨斯敦州立大学）；Applied Research Solutions（应用研究解决方案）；Air Force Research Laboratory（空军研究实验室）
提出电力支配工具箱（PDT），通过图收缩、零强制堡垒、解空间排序和并行计算等方法，高效确定电力网络中相量测量单元（PMU）的最小数量和最优位置。
2024-04-19 math.CO
Flexible placements of periodic graphs in the plane
该研究引入NBAC-着色方法，刻画了固定晶格和可变晶格下不同周期图的平面柔性嵌入特性，为周期图的柔性分析提供了组合判定工具。
2024-01-26 math.CO math.MG
Flexible placements of graphs with rotational symmetry
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（约翰·拉德诺计算与应用数学研究所）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）；Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）；Research Institute for Symbolic Computation (RISC)（符号计算研究所）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
我们研究了平面上对称图的$n$ -折叠旋转对称放置的存在性，允许连续变形，保持对称性和邻顶点之间的距离。我们表明，这样一个灵活的位置存在当且仅当图有一个NAC着色满足一个额外的属性的对称性;一个NAC着色是满射边着色的两种颜色，使每个周期是单色的，或者有至少两个边缘的每种颜色。
2020-03-20 cs.RO math.CO math.MG
Optimal Input Placement in Lattice Graphs
University of New Mexico（新墨西哥大学）
研究晶格系统控制，推导无限晶格系统的可控性格拉姆矩阵闭式表达式，并分析最近邻晶格中控制能量指标与节点距离的指数关系。
2018-08-14 cs.SY eess.SY math.CO
