Sharp threshold phenomena in statistical physics
Hugo Duminil-Copin
本文介绍了作者2017年在京都举行的高木讲座的内容。讲座提出了一些方面的理论，尖锐的阈值布尔函数和它的应用研究相变统计物理。
This text describes the content of the Takagi lectures given by the author in Kyoto in 2017. The lectures present some aspects of the theory of sharp thresholds for boolean functions and its application to the study of phase transitions in statistical physics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Threshold phenomena on product spaces: BKKKL revisited (once more)
我们回顾了Bourgain，Kahn，Kalai，Katznelson和Linial（1992）的工作--在标题中被称为"BKKKL“--关于布尔函数的影响，以给出积空间$\{1,..., r\}^\NN$上的阈值现象的精确陈述，推广了Talagrand（1994）的一篇论文的主要结果之一。
Influence and sharp-threshold theorems for monotonic measures
离散空间{0，1}^N上积测度的影响定理可以推广到具有单调性（等价于“强正结合”）的概率测度.相应的结果对于立方[0，1]^N上关于勒贝格测度绝对连续的概率测度是有效的.这些结果导致了一个尖锐的阈值定理的随机集群类型的措施，这可能适用于盒交叉的二维随机集群模型。
Sharp threshold for the Ising perceptron model
考虑离散立方体$\{-1,1\}^N$和半空间的随机集合，该半空间的随机集合以概率$p$独立地包括$x \in \{-1,1\}^N$的每个半空间$H(x) := \{y \in \{-1,1\}^N: x \cdot y \geq κ\sqrt{N}\}$。这两个半空间的交点是空的吗？这被称为伯努利无序下的伊辛感知器模型。我们证明，这一事件有一个尖锐的阈值，也就是说，交叉口是空的概率迅速增加，从$ε$ $1- ε$时，$p$增加只有一个因素的$1 + o(1)$为$N \to \infty$。
Sharp threshold for percolation on expanders
研究了任意大的有限图G=（V，E）的随机子图中巨连通分支的出现，证明了若G是一个顶点度有界的扩张子，则对任意c ∈ [] 0，1 [，随机子图中含有大小为c的巨连通分支|V|的性质有一个明显的阈值.
Sharp metastability transition for two-dimensional bootstrap percolation with symmetric isotropic threshold rules
本文证明二维临界自举渗流中所有具有凸对称邻域的各向同性阈值规则均发生尖锐亚稳态相变，推广了此前仅对特定规则成立的结果。
Sharp thresholds for the random-cluster and Ising models
本文证明了正方形格上过盒概率的一个锐阈值定理。所讨论的模型是自对偶点$p_{\mathrm {sd}}(q)=\sqrt{q}/(1+\sqrt{q})$附近的随机团簇模型、外场作用下的Ising模型和有色随机团簇模型。主要技术是单调概率测度的影响定理的扩展，适用于增加事件，没有对称性的假设。
Sharp thresholds for Gibbs-non-Gibbs transition in the fuzzy Potts model with a Kac-type interaction
研究了具有Kac相互作用的d维环面上模糊Potts模型的Gibbs性质。我们使用变分方法的配置文件的启发，费尔南德斯，登霍兰德和马丁内斯为他们的研究吉布斯-非吉布斯过渡的动态Kac-伊辛模型的环面。作为我们的主要结果，我们表明，平均场阈值划分吉布斯从非吉布斯行为是尖锐的模糊Kac-Potts模型与类大小不等于2。在这个结果的方式，我们证明了一个大偏差原则的颜色配置文件与稀释的总质量密度和使用monotocity参数。
Sharp threshold for two-dimensional majority dynamics percolation
在这项工作中，我们考虑的二维渗流模型所产生的多数动力学过程在一个给定的时间$t\in\mathbb{R}_+$。我们发现在临界概率参数$p_c(t)$处，窗口大小为多项式的越箱事件出现了一个尖锐的阈值现象。然后，我们使用这个结果，以获得拉伸指数界的单臂事件概率在亚临界阶段。我们的结果是基于微分不等式来自OSSS不等式，灵感来自Ahlberg，Broman，Griffiths，和Morris和Duminil-Copin，Raoufi，和Tendon最近的发展。我们还提供了类似的结果渗流的选举模型。
Sharp Thresholds for Constraint Satisfaction Problem and Graph Homomorphisms
我们确定在哪些条件下，某些自然模型的随机约束满足问题有尖锐的阈值满足。这些模型包括图和超图同态，$(d,k,t)$模型，和域大小为3的二元约束满足问题。
Another look at threshold phenomena for random cones
在随机几何中有几个例子的阈值现象在高维：行为的限制，一些期望突然改变，当一些参数通过一个临界值。本文继续研究了当周围空间的维数增加到无穷大时，多面体随机锥的期望面数。重点是观察到的阈值现象的临界值，以及差异而不是一致性的阈值现象。
On The Sharp Threshold Interval Length of Partially Connected Random Geometric Graphs During K-Means Classification
在$K$均值分类中，如果数据点（或每个类中的某个公共点）之间的测量距离低于某个阈值，则一组数据将形成聚类，即类。假设数据点是按照一定的概率分布在某个有界区域中随机生成的，我们估计了以高概率形成的类的平均数量。
Sharp thresholds for constraint satisfaction problems and homomorphisms
我们确定在哪些条件下，某些自然模型的随机约束满足问题有尖锐的阈值满足。这些模型包括图和超图同态，$(d,k,t)$模型，和二进制约束满足问题的域大小为3。
On Sharp Thresholds of Monotone Properties: Bourgain's Proof Revisited
本文的目的是给出布尔甘定理的证明，并提供一些额外的细节和更新的符号。这个定理最初是作为Friedgut的突破性论文\emph{Sharp Thresholds of graph properties and the $k$-SAT Problem}的附录出现的。在整个过程中，我们使用类似于O'Donnell的书\emph{Analysis of Boolean Functions}中的符号和定义。
On Sharp Thresholds in Random Geometric Graphs
本文给出了Poisson随机几何图或超图的具有尖阈值的点单调性的一个刻画。作为一个应用程序，我们表明，随机k-SAT的几何模型表现出尖锐的阈值可满足性。
Sharp threshold sequence and universality for Ising perceptron models
研究了一类具有$\{0,1\}$值激活函数的Ising感知机模型.这包括经典的半空间模型，以及最近的作品中考虑的一些对称模型。对于这些模型中的每一个，我们表明，自由能是自平均的，有一个尖锐的阈值序列，和自由能是普遍的相对于无序。Xu（2019）之前的工作使用了非常不同的方法来显示具有Bernoulli无序的半空间Ising感知器中的尖锐阈值序列。Perkins-Xu（2021）和Abbe-Li-Sly（2021）最近的工作确定了对称感知器模型中的锐阈值和极限自由能。本文的结果适用于更一般的设置，并基于新的“添加一个约束”估计，扩展了Talagrand对半空间模型的估计（1999，2011）。
The sharp threshold for the Duarte model
Bollobás，Smith和Uzzell最近提出了二维临界自举渗流模型，本文作者确定了所有这类模型的临界渗流阈值，直到常数因子。在这里，我们开发和完善该文件中介绍的技术，以确定一个尖锐的杜阿尔特模型的阈值。这解决了Mountford在1995年提出的一个问题，也是第一个关于漂移模型的结果。
The Property of Having a $k$-Regular Subgraph Has a Sharp Threshold
证明了随机图模型$G(n,p)$中含有$k$ -正则子图的性质对$k\ge3$有一个尖锐的阈值。我们还展示了如何使用类似的方法来获得一个简单的证明（已知的事实）的清晰度有一个非空的$k$核心$k\ge3$。
Threshold phenomena for high-dimensional random polytopes
设$X_1,\ldots,X_N$、$N>n$是$\mathbb{R}^n$中的独立随机点，分别按照所谓的β或β-素数分布分布。我们建立阈值现象的体积，内在体积，或更一般的措施，这些随机点集的凸包，作为空间维度$n$趋于无穷大。研究了由随机半空间生成的多面体的对偶集。
Sharp Threshold for the Convergence of Nonstationary Averaging
研究非平稳平均过程的收敛性，证明在权重被两个包络限制的 regime 中，当 α + β/2 ≤ 1 时序列必然收敛，否则可能不收敛；在固定形状 regime 中，证明在温和正则性假设下序列收敛。
Sharp Thresholds for Monotone Non Boolean Functions and Social Choice Theory
布尔函数$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$理论中的一个关键事实是它们经常经历尖锐的阈值。举例来说：如果函数$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$是单调的并且在传递作用下与$\E_p[f] = \eps$和$\E_q[f] = 1-\eps$对称，则$q-p \to 0$为$n \to \infty$。这里$\E_p$表示$\{0,1\}^n$上的乘积概率测度，其中每个坐标以概率$p$独立地取值$1$。对称函数具有锐阈值的事实在随机图、约束满足问题以及社会选择问题的研究中都很重要.本文证明了取值于任意有限集的单调函数具有锐阈值.我们还提供了社会选择和随机图问题的结果的应用程序的例子。其中的应用是一个类似的孔多塞的陪审团定理和一个不确定性的结果一大类社会选择功能。
Sharp thresholds for spanning regular graphs
设$d\geq 3$为常数，$F$为$[n]$上的$d$ -正则图，对称性不多.根据并界，同构于$F$的$G(n,p)$中存在生成子图的概率阈值至少为$p^*(n)=(1+o(1))(e/n)^{2/d}$ .我们给出了一个严格的边界上的$F$的边缘扩展，保证$F$的副本的出现的概率阈值具有相同的数量级的$p^*$。我们还证明，在这个界限的轻微加强，概率阈值是渐近等于$p^*$。特别地，它证明了Kahn，Narayanan和Park关于Hamilton圈的平方包含的尖锐阈值的猜想。这也意味着，对于$d\geq 4$和（渐近地）几乎所有的$[n]$上的$d$ -正则图$F$，$p(n)=(e/n)^{2/d}$是$F$ -包含的一个尖锐的阈值。
Sharp thresholds for NAC-colourings and stable cuts in random graphs
本文通过精确命中时间结果，给出了随机图无稳定割和无NAC着色的尖锐阈值，即每个顶点都在三角形中的时刻，补充了刚性阈值研究。
A Sharp Threshold for Bootstrap Percolation in a Random Hypergraph
给定一个超图$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$引导过程从$\mathcal{H}$的初始感染顶点集开始，并且在每一步中，如果存在$\mathcal{H}$的超边，其中$v$是唯一的健康顶点，则健康顶点$v$被感染。如果$\mathcal{H}$的每个顶点最终都被感染，则我们说最初被感染的顶点的集合被感染。当$\mathcal{H}$是一个从满足一定温和度和余度条件的近似$d$ -正则$r$ -一致超图中随机抽取超边得到的超图时，我们证明了这个过程具有一个尖锐的阈值，这证实了Morris的一个猜想.作为推论，我们得到了一个尖锐的阈值严格$2$ -平衡图的图引导过程的一个变种，推广Korándi，Peled和Sudakov的结果。我们的方法涉及应用的微分方程方法。
Sharp threshold for $K_4$-percolation
本文确定了通过迭代补全缺边$K_4$副本从Erdős-Rényi图${\cal G}_{n,p}$得到完全图$K_n$的临界阈值$p_c$，改进了此前仅能将阈值界定在相差乘积常数范围内的相关工作。
Sharp threshold for rigidity of random graphs
我们考虑随机图的Erdens-Rényi演化，其中在每一步中，一个新的均匀分布的边被添加到图中。对于每一个固定的$d\ge 1$，我们表明，以高概率，图成为刚性在$\mathbb R^d$的时刻，它的最小程度成为$d$，它成为全球刚性在$\mathbb R^d$的时刻，它的最小程度成为$d+1$。
The sharp threshold for maximum-size sum-free subsets in even-order abelian groups
研究偶阶阿贝尔群的稀疏随机子集上的和-自由集。特别是，我们确定了以下属性的尖锐阈值：最大的这样的集合包含在一些最大大小的和自由子集的组。这个定理扩展了Balogh，Morris和Samotij最近的工作，他们解决了G = Z_{2n}的情况，并且得到了一般较弱的阈值（直到常数因子）。
Random cliques in random graphs and sharp thresholds for $F$-factors
我们表明，对于每个$r\ge 4$，在一个密度范围内延伸到，并稍微超过，阈值的$K_r$ -因子，$K_r$的副本在随机图$G(n,p)$随机分布，在（单侧）的意义上说，他们形成的超图包含一个副本的二项式随机超图几乎完全正确的密度。因此，Jeff Kahn最近在Shamir的超图匹配问题中给出的阈值的渐近锐界意味着$G(n,p)$的阈值包含一个$K_r$ -因子。案件$r=3$是更困难的，并已解决了安妮卡海克尔。我们还证明了相应的结果$K_r^{(t)}$ -因素随机$t$ -一致超图，以及（在某些情况下较弱）的推广，取代$K_r$由某些其他（超）图。
Sharp vanishing thresholds for cohomology of random flag complexes
对于每个$k \ge 1$，随机标志复体$X \sim X(n,p)$的第$k$次上同调群$H^k(X, \Q)$经过两个相变：一个在它出现的地方，另一个在它消失的地方。我们描述了消失阈值，并表明它是尖锐的。使用相同的谱方法，我们也发现了基本群$π_1(X)$具有Kazhdan性质（T）的一个尖锐的阈值。结合以前的结果，我们得到的推论是，对于每一个$k \ge 3$有一个政权，其中的随机标志复杂的合理同伦等价于一束$k$维领域。
Discrete log-concavity and threshold phenomena for atomic measures
本文研究了原子测度生成的随机多面体的阈值现象，揭示了离散超立方体阈值论证的缺陷，并比较了连续与离散对数凹设置中的阈值驱动机制，最终提出了离散对数凹设置中阈值不成立的反例。
Threshold phenomena for random discrete structures
本文通俗介绍了Erdős-Rényi随机图的阈值现象，并通过直观示例简要讲解了Kahn-Kalai猜想，主要面向普通读者。
Sharp thresholds and percolation in the plane
最近，作者证明了平面上随机Voronoi渗流的临界概率是1/2。该方法的一个副产品是一个简短的证明哈里斯-凯斯滕定理有关债券渗流在平面正方形晶格。本文的目的是表明，同样的技术可以应用到许多其他平面渗流模型，既要获得短的证明已知的结果，并证明新的。
The sharp threshold for making squares
考虑$N$整数的随机序列，每个整数从集合$\{1,\dots,x\}$中均匀且独立地选择。出于应用因式分解算法，如狄克逊的算法，二次筛，和数域筛，Pomerance在1994年提出了以下问题：多大应该$N$是这样的，以高概率，这个序列包含一个子序列，其产品的元素是一个完满平方？Pomerance渐近地确定了该事件的阈值对数，并证实它实际上在$N$中表现出明显的阈值。最近，Croot、Granville、Pemantle和Tetali确定了高达$4/π+ o(1)$的因子的阈值为$x \to \infty$，并对锐阈值的位置进行了推测。在本文中，我们证明了这两个命题，通过确定尖锐的阈值，使广场。我们的证明结合了组合数学，概率论和解析数论的技术，特别是，我们使用所谓的自校正鞅方法，以控制随机超图的2-核心的大小，编码我们的随机数的素因子。我们的方法也给出了一个新的（和完全不同的）证明的上界的主要定理的Croot，Granville，Pemantle和Tetali。
One-sided sharp thresholds for homology of random flag complexes
本文研究随机旗复形同调与基本群的概率阈值，证明存在同调不消失概率介于零与一之间的中间区间，并给出基本群为自由群的锐阈值新界，同时构造出基本群既非自由群也不具有 Kazhdan 性质 (T) 的概率区间。
Sharp concentration phenomena in high-dimensional Orlicz balls
本文针对高维Orlicz球的交集给出精确偏差公式，并建立临界情形下的中心极限定理、强大数定律及薄壳集中公式，方法结合调和分析与指数测度变换。
Sharp Thresholds for Factors in Random Graphs
本文将 Riordan 和 Heckel 的耦合方法扩展至任意严格 1-平衡图，获得了随机图中存在 $F$-因子的锐阈值，并证实了 Rucínski 三十年前的猜想。
Sharp Low-Degree Thresholds for Planted-vs-Planted Testing
针对植入vs植入设置，建立了低度多项式测试的首个尖锐阈值，并证明在植入子矩阵和植入稠密子图模型中计数社区的匹配上下界，测试阈值与已知低度恢复阈值精确一致。
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
Monotone properties of random geometric graphs have sharp thresholds
随机几何图形的结果是在单位立方体$[0,1]^d$中取$n$均匀分布的点，并连接两个点，如果它们的欧氏距离至多为$r$，对于某些指定的$r$。我们表明，这类图的单调属性有尖锐的阈值，通过减少问题的边界上的两组$n$点均匀分布在$[0,1]^d$的瓶颈匹配。我们提出的阈值宽度的上界，并表明，我们的界限是尖锐的$d=1$和最多的亚对数因子远离$d\ge2$。有趣的是，阈值宽度是更尖锐的随机几何图比伯努利随机图。此外，一个随机几何图被证明是一个子图，具有高概率，另一个独立绘制的随机几何图具有稍大的半径，这个属性被证明是没有类似的伯努利随机图。
Sharp thresholds for half-random games I
我们研究两个玩家之间的有偏见的Maker-Breaker位置游戏，其中一个玩家随机与对手进行最优策略的比赛。本文考虑Maker随机博弈而Breaker“聪明”的情形，确定了经典图博弈的临界偏差，如连通性、Hamilton性和最小度- $k$ .我们在另一篇论文中处理另一种情况，即断路器随机播放的情况。传统的，确定性版本的这些游戏，有两个最佳的球员玩，是众所周知的服从所谓的概率直觉。也就是说，这些博弈的阈值偏差渐近等于随机博弈的阈值偏差，其中参与者只是随机均匀地取边。我们发现，尽管确定性和随机游戏的结果非常精确，但随机对抗最佳对手并不是一个好主意：阈值偏差变得更加倾向于随机玩家。然而，概率直觉的一个重要的定性方面仍然存在：Maker占据连通图的瓶颈仍然是避免图中孤立顶点的能力。
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold
许多NP完全约束满足问题在约束密度超过临界阈值时会出现从可解到不可解的“相变”。在所有这些情况下，很容易推导出阈值位置的上限，方法是证明在一定密度以上，解的个数的一阶矩（期望值）趋于零。我们表明，在一定的对称约束的情况下，考虑到解决方案的数量的二阶矩产生几乎匹配的阈值的位置的下限。特别地，我们证明了随机超图2-可染性（性质B）和随机不全等k-SAT的阈值都是2^{k-1} ln 2 -O（1）.作为推论，我们确定随机k-SAT的阈值为Theta（2^k）阶，解决了一个长期存在的开放问题。
Sharp threshold for universality of cokernels of random matrices over finite fields
该研究确定有限域上随机矩阵余核普适性的尖锐阈值，证明满足特定元素概率条件的随机矩阵余核依分布收敛到均匀随机矩阵余核的极限律，解答了Wood的公开问题。
Sharp Thresholds in Adaptive Random Graph Processes
本文研究$\mathcal{D}$-过程中的锐阈值问题，证明了图性质存在锐阈值的充分条件，并在半随机过程中对哈密顿性和完美匹配性质给出了肯定性结论，回答了相关开放问题。
Threshold phenomena for random cones
考虑$d$维欧几里得空间上的一个偶概率分布，它具有将测度零赋给通过原点的任何超平面的性质。给定具有这种分布的$N$独立随机向量，在它们不正跨越整个空间的条件下，这些向量的正壳是一个随机多面体圆锥（并且它与单位球面的交点是一个随机球面多面体）。它首先由Cover和Efron研究。我们考虑这些随机锥的期望面数，并描述了一个阈值现象时，尺寸$d$和随机向量的数量$N$趋于无穷大。以类似的方式，我们处理立体角，以及更一般的格拉斯曼角。我们进一步考虑了当$k$趋于无穷大时，$k$ -面和指数$d-k$的格拉斯曼角的期望数.
Universality and sharp thresholds for ellipsoid fitting
该研究针对随机向量的椭球拟合问题，确定了依赖四阶矩的显式可满足阈值，标准高斯数据下阈值为1/4，解决了椭球拟合猜想并揭示了普适性现象。
Searching for (sharp) thresholds in random structures: where are we now?
本文综述了随机结构中阈值与尖锐阈值研究的现状，重点介绍 Kahn--Kalai 猜想和大 k 可满足性猜想的最新证明，并展望未来挑战。
Sharp Threshold Asymptotics for the Emergence of Additive Bases
{0，1，.，n}被称为是{1，2，.，n}如果{1，2，.，n}可以写成j=x+y，x，y在A中，x<=y。如果我们在{0，1，.}中选取每个整数，n}独立地以概率p=p_n趋于0，从而得到一个随机集A，那么我们得到一个2-可加基的概率是多少？当目标和集是[（1-alpha）n，（1+alpha）n]（或等价地[alpha n，（2-alpha）n]）时，我们解决这个问题，其中0<alpha<1。在这两种模型下，使用Poisson近似的Stein-Chen方法，结合Janson不等式，梳理出一个非常尖锐的阈值，出现一个2-加性基。然后给出了k-可加基的推广。
Sharp quasi-invariance threshold for the cubic Szegő equation
研究发现立方塞格ő方程在特定参数下高斯测度的传输行为从准不变转变为奇异，揭示了哈密顿PDEs流下测度传输的阈值特性。
Critical population and error threshold on the sharp peak landscape for a Moran model
这项工作的目标是提出一个有限的人口对应本征模型，其中包括随机效应。我们考虑一个Moran模型，它描述了一个由长度为$\ell$的染色体组成的$m$种群在基数为$κ$的字母表上的演化。每个位点的突变概率是$q$。我们只处理尖峰景观：复制率为$σ>1$的主序列和1的其他序列。本文研究了在$\ell, m\to +\infty$，$q\to 0$，$\ell q \to a$，$m/\ell\toα$的区域中过程的平衡分布.我们得到了一个方程$αϕ(a)=\lnκ$在参数空间$(a,α)$分离政权的平衡人口是完全随机的政权准物种形成。我们观察到一个准物种出现所需的临界人口规模的存在，我们恢复有限人口对应的错误阈值。这些结果得到了计算机模拟的支持。
Sharp Threshold for the Frechet Mean (or Median) of Inhomogeneous Erdos-Renyi Random Graphs
我们解决以下基本问题：什么是人口，样本，弗雷歇平均（或中位数）图的合奏的非均匀Erdos Renyi随机图？我们证明了如果我们使用汉明距离来计算图之间的距离，那么非齐次随机图的集合的Frechet均值（或中值）图是通过对集合的期望邻接矩阵进行阈值化来获得的。我们表明，当用样本均值邻接矩阵代替总体期望邻接矩阵时，结果也适用于样本均值（或中位数）。因此，非齐次Erdos-Renyi随机图的Frechet均值（或中值）图存在一个明显的阈值：它要么是空图，要么是完全图.这个新的理论结果有一些重要的实际后果;例如，稀疏非均匀随机图的集合的Frechet平均总是空图。
Sharp Metastability Threshold for Two-Dimensional Bootstrap Percolation
在自举逾渗模型中，$L$乘$L$正方形中的站点最初以概率$p$独立地被宣布为活跃的。在每个时间步，如果一个非活动站点的四个邻居中至少有两个是活动的，则该非活动站点变为活动站点。我们研究的行为作为$p \to 0$和$L \to \infty$同时的概率$I(L,p)$，整个广场最终是活跃的。我们证明了$I(L,p) \to 1$如果$\liminf p \log L > λ$，和$I(L,p) \to 0$如果$\limsup p \log L < λ$，其中$λ= π^2/18$。我们证明了相同的行为，具有相同的阈值$λ$，概率$J(L,p)$，一个网站是活跃的时间$L$在无限晶格上的过程。同样的结果也适用于所谓的修改的自举渗滤模型，但具有阈值$λ' = π^2/6$。$λ,λ'$阈值的存在解决了Aizenman和Lebowitz的猜想，而它们的值的确定纠正了Adler，Stauffer和Aharony的数值预测。
Sharp thresholds in inference of planted subgraphs
研究Erdens-Rényi随机图的一个主要问题是了解它包含给定子图的概率。这项研究起源于Erdés和Rényi（1960）的经典工作。最近的工作研究了这个问题，建立了一个关于尖锐与粗糙转变的一般理论（Friedgut和Bourgain，1999; Hatami，2012），以及关于转变位置的结果（Kahn和Kalai，2007; Talagrand，2010; Frankston，Kahn，Narayanan，Park，2019; Park和Pham，2022）。在推理问题中，人们经常研究作为噪声量的函数的推理的最佳精度。在各种稀疏恢复问题中，已经观察到“全有或全无（AoN）现象”：非正式地，随着噪声量逐渐增加，在某个临界阈值处，推理问题经历了从接近完美恢复到接近零精度的急剧跳跃（Gamarnik和Zadik，2017; Reeves，Xu，Zadik，2021）。我们可以把AoN看作随机图中锐阈值现象的自然推理模拟。与随机图形属性的尖锐阈值的一般理论相比，AoN现象迄今为止只在特定的推理设置中进行了研究。在本文中，我们研究的一般问题，推断一个图$H=H_n$种植在一个Erdens-Rényi随机图，从而自然连接两条线的研究上述。我们发现，问题的AoN是密切相关的第一时刻阈值，并推广所谓的卡恩-卡莱期望阈值，扫描子图的$H$的边缘密度至少$q$。在各种设置中，我们表征AoN，通过…
Sharp Fuss-Catalan thresholds in graph bootstrap percolation
本文研究了图bootstrap渗透中的精确Fuss-Catalan阈值，通过分析K_r-树见证图确定了r≥5时的临界阈值及边密度变化规律。
Sharp dimension threshold for unique FKPP steady states and BBM recurrence
该研究确定了Fisher-KPP方程平稳解唯一性的尖锐维数阈值：维数≤6时解唯一且仅超临界时存在，维数≥7时存在非唯一解，还揭示了分支布朗运动存活性的对应转变。
Sharp threshold for the FA-2f kinetically constrained model
针对FA-2f动力学约束模型的特征时间尺度问题，推导得到原点首次空置时间的尖锐阈值公式，为临界KCM首个尖锐结果，解决物理界长期争议并推动相关普适性研究。
Optimal single threshold stopping rules and sharp prophet inequalities
本文研究了一个有限时间 horizon 的最优停止问题，针对独立同分布随机变量序列，旨在设计能够选择序列中最大值的停止规则。通过与拥有完美先知能力的先知进行比较，通常以先知不等式形式表述性能。本文提出了一种博弈论特征化方法，支持从单阈值停止规则中推导出尖锐非渐近先知不等式。我们证明了比率型和差型先知不等式中的尖锐常数由在单位正方形上的无限两人零和博弈的最优值决定，而博弈的解提供了最优停止规则和最不利分布。此外，该方法还允许系统地处理受限分布类别。所提出的框架导致了一个数值高效算法范式，允许以任意指定的精度计算先知不等式中的尖锐常数。
A very sharp threshold for first order logic distinguishability of random graphs
本文确定了区分两个大小为 $n$ 的独立均匀分布随机图的一阶语句最小变量数所属的极小整数集合，为该可区分性问题确立了非常尖锐的阈值。
Sharp Large Deviations and Gibbs Conditioning for Threshold Models in Portfolio Credit Risk
本文针对相依三角阵列阈值模型，推导了超阈值概率的尖锐大偏差估计，建立了Gibbs条件化原理，并给出了风险价值与期望损失的二阶近似，提供了一套可转移的稀有事件分析技术。
The sharp threshold for bootstrap percolation in all dimensions
在图G上的r-邻居自举渗流中，最初“感染”顶点的（通常是随机的）集合A通过感染（在每个时间步）至少r个已经感染的邻居的顶点来传播。这一过程可以看作是伊辛模型的Glauber动力学的单调版本，并且已经在d维网格$[n]^d$上得到了广泛的研究。集合A的元素通常是独立选择的，具有一定的密度p，主要问题是确定$p_c([n]^d,r)$，在这个密度下，渗透（感染整个顶点集）变得可能。本文证明了对于每一对$d \ge r \ge 2$，存在一个常数L（d，r）使得$p_c([n]^d,r) = [(L(d,r) + o(1)) / log_(r-1) (n)]^{d-r+1}$为$n \to \infty$，其中$log_r$表示r次重对数.因此，我们证明了存在一个尖锐的阈值渗透在任何（固定）数量的层面。此外，我们确定L（d，r）的每一对（d，r）。
Sharp threshold for universality of cokernels of classical random matrix models over the $p$-adic integers
本文证明了$\frac{\log n}{n}$是经典随机矩阵模型在$p$-adic整数上余核分布universality的尖锐阈值，改进了之前的结果，并应用于沙堆群的泛化。
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