对称香农容量是独立数减1
Symmetric Shannon capacity is the independence number minus 1
摘要:
香农容量的对称变量的定义和计算。
英文摘要:
A symmetric variant of Shannon capacity is defined and computed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Symmetric Shannon capacity is the independence number minus 1
Tamás Terpai
香农容量的对称变量的定义和计算。
A symmetric variant of Shannon capacity is defined and computed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
Spectral bounds for the independence number of graphs and even uniform hypergraphs
本文研究了图和偶均匀超图的独立数的谱界,扩展了霍夫曼界到偶均匀超图,并提出了确定图的独立数、香农容量和洛vasz数的简单谱条件。
Graph powers, Delsarte, Hoffman, Ramsey and Shannon
图$G$的$k$ -次$p$ -幂是顶点集$V(G)^k$上的图,其中两个$k$ -元组相邻当且仅当它们在$G$中相邻的坐标的个数不全等于0模$p$ . $G$的幂团数在顶点数上是多对数的,因此在其$p$ -幂中具有小独立数的图不包含大的齐次子集。我们提供了代数上界的渐近行为的独立数的权力,解决一个猜想的阿隆和Lubetzky高达2的因素。对于某些图的精确界,我们应用Delsarte的线性规划界和Hoffman的特征值界。最后,我们表明,对于任何非平凡的图$G$,可以指出特定的诱导子图的大$p$ -权力的$G$既没有一个大集团,也没有一个大的独立集。我们证明了$\bar{G}$的香农容量越大,这些子图也越大,如果$G$是完全图,那么$G$的某些$p$ -幂匹配Frankl-Wilson Ramsey构造的边界,并且实际上是该构造的变体的子图。
Bounds on Shannon Capacity and Ramsey Numbers from Product of Graphs
本文研究了经典Ramsey数下信道的Shannon容量。我们概述了一些结果的容量有噪信道建模的图形,以及如何一些建设可能有助于我们的知识,这种能力。本文对Abbott和Song的构造作了改进,从而建立了一类特殊的Ramsey数的新的下界.我们证明,我们的建设意味着香农容量的上确界的所有图的独立数为2不能实现任何有限的图的权力。这可以推广到具有任何有界独立数的图。
On the normalized Shannon capacity of a union
令$G_1 \times G_2$表示图$G_1$和$G_2$的强积,即如果对于每个$i=1,2$,我们有$u_i=v_i$或$u_iv_i \in E(G_i)$,则在$V(G_1) \times V(G_2)$上的图$(u_1,u_2)$和$(v_1,v_2)$相邻。$G$的香农容量为$c(G) = \lim_{n\to \infty} α(G^n)^{1/n}$,其中$G^n$表示$G$的$n$ -倍强幂,$α(H)$表示图$H$的独立数. $G$的归一化香农容量是$C(G) = \frac {\log c(G)}{\log |V(G)|}$。Alon问是否对于每个$ε> 0$都有图$G$和$G'$满足$C(G), C(G') < ε$但具有$C(G + G') > 1 - ε$。我们证明答案是否定的。
Unified bounds for the independence number of graphs
本文利用图矩阵的广义逆与特征值提出独立集及独立数的新界,统一 Lovász theta、Schrijver theta 与 Hoffman 型界,并给出达到条件及判定最大独立集、Shannon 容量等的结构与谱条件。
On a tracial version of Haemers bound
我们将图的量子独立数和量子香农容量的上界推广到交换算子模型中。我们引入了分数Haemers界(在$\mathbb{C}$上)的von Neumann代数推广,并证明了推广的上界是交换量子独立数.我们称这个界为迹Haemers界,并证明了它关于强积是乘法的。特别是,这使得它成为香农容量的上限。迹线Haemers界限与另一个著名的香农容量上限Lovász theta函数是不可比拟的。我们表明,分离的tracial和分数Haemers界将反驳Connes的嵌入猜想。在此过程中,我们证明了迹秩和迹Haemers界是图的(交换量子)渐近谱的元素(Zuiddam,Combinatorica,2019)。我们还表明,惯性界(上界的量子独立数)上界的交换量子独立数。
The homotopy type of the independence complex of graphs with no induced cycles of length divisible by $3$
我们证明了Engström的猜想,没有诱导圈长度可被$3$整除的图的独立复形是可收缩的或同伦等价于一个球。我们的结果加强了Zhang和Wu的一个结果,验证了Kalai和Meshulam的一个猜想,即这样的图的独立复形的总贝蒂数至多为$1$ . Chudnovsky、Scott、Seymour和Spirkl证明了一个较弱的猜想,他们证明了在这样的图中,偶数大小的独立集的个数减去奇数大小的独立集的个数的值为$0$、$1$或$-1$。
Chvátal-Erdős condition for 2-factors with at most two components in graphs
本文研究了连通图中2-因子的结构,证明了当独立数不超过连通度加一时,图具有最多两个连通分量的2-因子,且结果最优。
Antimagic orientations of graphs with given independence number
给定一个有向图$D$,它含有$m$弧和一个双射$τ: A(D)\rightarrow \{1, 2, \ldots, m\}$,如果$D$是$G$的定向,并且在$τ$下,$D$中没有两个顶点具有相同的顶点和,则称$(D, τ)$是图$G$的反魔定向,其中顶点-$τ$下的$D$中的顶点$u$的和是进入$u$的所有弧的标签的和减去离开的所有弧的标签的和$u$。Hefetz,Mütze,and Schwartz在2010年开始研究图的反魔定向,并证明了每个连通图都有反魔定向。这个猜想似乎很难,而且很少有相关的结果是已知的。然而,它已被证明是正确的正则图,双正则二部图,并与大的最大程度的图。本文通过研究独立数至少为$|V(G)|/2$或至多为4的图$G$的反魔定向,进一步证明了上述猜想.我们得到几个结果。我们在本文中开发的方法可能会对攻击上述猜想有所启发。
New Lower Bounds for the Shannon Capacity of Odd Cycles
图$G$的香农容量被定义为$c(G)=\sup_{d\geq 1}(α(G^d))^{\frac{1}{d}},$,其中$α(G)$是$G$的独立数。循环$C_5$在$5$顶点上的香农容量是由Lovász在1979年确定的,但是循环$C_p$对一般奇数$p$的香农容量仍然是信息论中最臭名昭著的公开问题之一。通过为$C_p^d$中的独立集指定稳定器并使用随机搜索方法,我们证明了$α(C_7^5)\geq 350$,$α(C_{11}^4)\geq 748$,$α(C_{13}^4)\geq 1534$和$α(C_{15}^3)\geq 381$。这导致$C_7$和$C_{15}$:$c(C_7)\geq 350^{\frac{1}{5}}> 3.2271$和$c(C_{15})\geq 381^{\frac{1}{3}}> 7.2495$的香农容量的改进的下界。
The Shannon capacity of graph powers
本文利用谱图理论与线性优化研究图幂的 Shannon 容量上界,推广 Lovász 的比值型结果,并提出可由简单算法计算的多项式所确定的秩型界,辅以实验验证其紧性。
On the Ratio of Shannon Numbers of Graphs
本文定义并研究图的相对分数独立数,证明其与两种构造方法等价,并给出图的 Shannon 容量等不变量之比的首个非平凡界及应用。
Improved lower bounds for the Shannon capacity of odd cycles
研究通过与大语言模型迭代交互,在奇数圈\(C_7^{10}\)、\(C_{11}^{6}\)、\(C_{13}^{6}\)中构造独立集,改进了这些图香农容量的已知下界,还改进了几个奇数圈单个强幂独立数的已知下界。
Advances in the Shannon Capacity of Graphs
本文研究了图的香农容量,推导了两类图的精确值和新界限,并提出了可数无限图族的构造,同时建立了多项式图的香农容量计算条件,为该领域研究提供了新的方法和视角。
Graph Entropy, Network Coding and Guessing games
我们介绍了有向图的(私有)熵(在新的网络编码意义上)以及许多相关概念。我们证明了一个有向图的熵与它的猜测数相同,并且可以用顶点数减去图的最短索引码的大小从下有界。我们表明,每个特定的多个单播网络的网络编码的可解性是完全确定的熵(以及由最短的索引代码)的有向图,通过识别每个源节点与每个相应的目标节点发生。香农信息不等式可以用来计算图的熵的上界以及计算最小索引码的大小。最近,一些新的所谓的非香农型信息不等式族已被发现。它已被证明,存在通信网络的能力严格小于所需的可解性,但这一事实不能使用香农的经典信息不等式。基于这一结果,我们表明,存在图的熵,不能只使用香农的经典信息不等式计算,并表明,更好的估计,可以通过使用某些非香农型信息不等式。
Quantum asymptotic spectra of graphs and non-commutative graphs, and quantum Shannon capacities
我们研究量子版本的香农容量的图和非交换图。我们介绍了图的量子和纠缠辅助同态的渐近谱,我们介绍了非交换图的纠缠辅助同态的渐近谱。我们应用Strassen的谱定理(J. Reine Angew.数学,1988),以获得相应的香农容量和渐近前序的渐近谱的对偶特征。这项工作将Zuiddam(Combinatorica,2019)发起的对图的渐近谱的研究扩展到量子领域。然后,我们展示了新的量子渐近谱中的谱点,并讨论了它们与图的渐近谱的关系。特别地,我们证明了(分数)实和复Haemers界上界量子香农容量,其被定义为量子独立数的正则化(Mančinska和Roberson,J. Combin.理论系列B,2016),分数实和复Haemers边界是图的量子渐近谱中的元素。这与在某些有限域上定义的Haemers界限形成对比,Haemers界限可以严格小于量子香农容量。此外,由于Haemers界可以严格小于Lovász θ函数(Haemers,IEEE Trans.Inf.Theory,1979),我们发现量子香农容量和Lovász θ函数不一致。因此,量子信息理论中两个著名的命题不可能同时成立。
A Recursive Construction Improving the Lower Bound on the Shannon Capacity of $C_7$
该研究通过递归构造与乘积引理,结合不同维度小装置,从$C_7^5$的367大小独立集得到$C_7^{200}$的独立集,改进了$C_7$的香农容量下界。
Privileged users in zero-error transmission over a noisy channel
图$G$的$k$ -次幂是其顶点集为$V(G)^k$的图,其中两个不同的$k$ -元组相邻当且仅当它们在$G$中的每个坐标上相等或相邻。$G$的香农容量$c(G)$是$\lim_{k\to\infty}α(G^k)^{1/k}$,其中$α(G)$表示$G$的独立数。当$G$是信道$\mathcal{C}$的特征图时,$c(G)$测量零错误协议中$\mathcal{C}$的有效字母大小。通道之和$\mathcal{C}=\sum_i \mathcal{C}_i$描述了当存在$t\geq 2$时的设置,每个$t\geq 2$都有自己的通道$\mathcal{C}_i$,并且单词中的每个字母都可以从任何一个通道中选择。这对应于特征图$G=\sum_i G_i$的不相交并集。我们发现,对于任何固定的$t$和任何家庭$F$的子集的$T={1,2,...,t}$,有$t$图$G_1,G_2, ...,G_t$,使每个子集$I$的$T$,香农容量的不相交的联盟$\sum_{i \in I} G_i$是“大”,如果$I$包含一个成员的$F$,否则是“小”。
Inertia, Independence and Expanders
本文研究了图的独立数、Lovász theta 函数、Shannon 容量与非负特征值最小数量之间的关系,证明了 Kwan 和 Wigderson 的猜想,并基于补图包含谱扩展图的新观察得出 $n_{\ge0}(G)$ 可以任意大的结论。
Exclusivity structures and graph representatives of local complementation orbits
我们描述了一个构造,它将任意三个或更多顶点上的连通图G映射到一个更大的图H(G),其独立数严格小于其Lovász数,该Lovász数等于其分数填充数。H(G)的顶点表示与G相关联的图状态的稳定器组一致的所有可能事件,并且互斥事件是相邻的。在数学上,图H(G)对应于G在局部补下的轨道。从物理上讲,这种构造将图态与被量子力学最大程度违反的贝尔不等式之间的联系转化为图论术语。在零错误信息理论的背景下,该结构提出了一种协议,该协议实现了每个H(G)的纠缠辅助容量的最大速率,这是香农容量的量子力学模拟。贝尔不等式的违反表示为该容量的单次版本严格大于独立数。最后,给定图和排他性结构之间的对应关系,我们能够计算的独立数与量子非局部性的使用某些无限族的图,因此突出了应用量子理论在证明一个纯粹的组合语句。
Treewidth versus clique number. III. Tree-independence number of graphs with a forbidden structure
该研究针对(tw,ω)-有界图类的独立集问题,刻画了六种图包含关系下使禁H图具有有界树独立数的H的特征,给出构造性证明并推导出无穷多图类的多项式时间算法,解决了1-完美可定向图相关的公开问题。
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