Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for line graphs of multigraphs
在本文中，我们证明了一个增强版本的Erdens-Lovász Tihany猜想的线图的多重图。也就是说，对于每个图$G$，其色数$χ(G)$大于它的团数$ω(G)$，并且对于非负整数$\ell$，任何两个整数$s,t \geq 3.5\ell+2$具有$s+t = χ(G)+1$，存在顶点集$V(G)$的一个划分$(S,T)$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t+\ell$。特别地，当$\ell=1$时，我们可以对任何$s,t\geq4$获得相同的结果。当$\ell=0$ .
2022-03-31 math.CO
Tomescu's graph coloring conjecture for $\ell$-connected graphs
令$P_G(k)$为有限简单图$G$的正确$P_G(k)$-着色数。Tomescu的猜想最近被Fox，He和Manners解决了，它指出$P_G(k) \le k!(k-1)^{n-k}$对所有的连通图$G$在$n$上的顶点具有色数$k\geq 4$ .在本文中，我们研究了同样的问题，并附加了$G$是$\ell$ -连通的约束。对于$2$ -连通图$G$，我们证明了一个紧界\[ P_G(k) \le (k-1)!((k-1)^{n-k+1} + (-1)^{n-k}), \]，并证明了只有当$G$是一个带耳的$k$ -团时才能达到相等.对于$\ell \ge 3$，我们证明了一个渐近紧上界\[ P_G(k) \le k!(k-1)^{n-\ell - k + 1} + O((k-2)^n), \]，并提供了一个匹配的下界建设。对于范围$k \geq \ell$或$\ell \geq (k-2)(k-1)+1$，我们进一步找到使$P_G(k)$最大化的唯一图。我们还考虑将$\ell$ -连通图推广到具有最小度$δ$的连通图。
2019-12-06 math.CO
Longest increasing subsequences and log concavity
令$π$是$[n]=\{1,\dots,n\}$的置换，并且用$\ell(π)$表示$π$的最长递增子序列的长度。令$\ell_{n,k}$为$[n]$与$\ell(π)=k$的排列数$π$。Chen证明了序列$\ell_{n,1},\ell_{n,2},\dots,\ell_{n,n}$对每个固定的正整数$n$都是对数凹的.我们猜想，同样是真的，如果一个是限制考虑对合，我们表明，这两个aceturtures密切相关。我们还证明了各种类似物，这些acetutures关于排列的输出tableaux下的罗宾逊-申斯特算法有一定的形状。此外，我们提出了一个证明Deift的极限分布的一部分是对数凹的。讨论了各种其他配置。
2015-11-27 math.CO
On a conjecture of polynomials with prescribed range
证明了对任意整数$\ell$与$q-\sqrt{p} -1 \leq \ell < q-3$，其中$q=p^n$和$p>9$，存在一个多重集$M$，满足$0\in M$具有最高的重数$\ell$和$\sum_{b\in M} b =0$，使得有限域$\fq$上的每个多项式具有指定的范围$M$，其次数大于$\ell$ .这意味着猜想5.1。对于$p > 9$和$k:=q-\ell -1 \geq 3$，在有限域$\fq$上，
2011-03-18 math.CO math.NT
On reconstruction of graphs from the multiset of subgraphs obtained by deleting $\ell$ vertices
Ulam的重构猜想断言，对于$n\geq 3$，每个$n$ -顶点图都由它的导出子图的多集决定，导出子图的顶点数为$n-1$.该猜想被认为适用于各种特殊类别的图，但仍然是开放的。我们调查的结果更一般的猜想凯利从1957年，对每一个正整数$\ell$存在$M_\ell$（与$M_1=3$），使当$n\geq M_\ell$每一个$n$ -顶点图是由它的诱导子图的多集与$n-\ell$顶点。
2020-04-12 math.CO
Proof of a Conjecture on Online Ramsey Numbers of Stars versus Paths
给定两个图$G$和$H$，在线Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$被定义为Builder在以下$(G, H)$ -Builder和Painter之间的在线Ramsey游戏中始终可以保证获胜的最小回合数。从一组无限的孤立顶点开始，在每一轮中，Builder在两个顶点之间绘制一条边，Painter立即将其着色为红色或蓝色。Builder的目标是在尽可能少的回合内强制$G$的红色副本或$H$的蓝色副本，而Painter的目标是尽可能多的回合延迟它。令$K_{1,3}$表示具有三条边的星形，$P_{\ell}$表示具有$\ell$顶点的路径。Bullp和Tan证实了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=(3/2+o(1))\ell$ [公牛。马来人。数学科学Soc.44（2021）3511- 3521]。我们证明了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=\lfloor 3\ell/2 \rfloor$对于$\ell\ge 2$，从而以更强的形式验证了猜想。
2023-02-17 math.CO
Advances on the Conjecture of Erdős-Sós for spiders
- 验证$e(G)>n(k-1)/2$ %且顶点的度大于或等于$k$的哈密顿图$G$包含任何$k$ -spider。- 如果$G$是一个平均度为$\bar{d} > k-1$的图，则每个大小为$k$的蜘蛛都包含在$k\le 10$的$G$中。- 具有平均度$\bar{d} > \ell_2+\ell_3+\ell_4$的$2$连通图包含$4$腿$S_{1,\ell_2,\ell_3,\ell_4}$的每个蜘蛛.我们还主张不需要$2$ -连接的条件，但是证明很长，并且不包括在本文中。
2017-06-11 math.CO
Proofs of four Takigiku--Tsuchioka conjectures on level $2$ principal characters of $A_{2\ell-1}^{(2)}$
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
本研究针对Takigiku与Tsuchioka提出的四个含Rogers-Ramanujan型恒等式的猜想，运用Bailey对方法、含高斯多项式的有限和恒等式及五重积恒等式，证明了与特定级主特征相关的恒等式。
2026-10-14 math.CO math.NT
Two counterexamples to a conjecture about even cycles
California Institute of Technology（加州理工学院）；Emory University（埃默里大学）
论文针对偶环猜想提出两个反例，展示当ℓ=4，k=5时，猜想不成立。
2026-03-25 math.CO
A Note on Partial List Colorings
设$G$是一个点数为$n$且列色数为$χ_\ell(G)=χ_\ell$的单图.假设为$0\leq t\leq χ_\ell$和$G$的每个顶点分配了一个$t$颜色列表。Albertson、Grossman和Haas [1]指出，至少$G$的$\frac{tn}{χ_\ell}$顶点可以从这些列表中着色。在本文中，我们发现了一些新的结果，有助于我们表明，猜想是正确的，至少有一半的号码集$\{1,2,...,χ_\ell(G)-1\}$的部分列表着色。此外，我们还引入了一个新的相关猜想，最后给出了关于这个猜想的一些结果。
2008-05-21 math.CO
A Completion of the Proof of the Edge-statistics Conjecture
对于给定的整数$k$和$\ell$与$0<\ell< {k \choose 2}$，Alon，Hefetz，Krivelevich和Tyomkyn提出了如下猜想：当从一个非常大的图$G$中随机均匀地抽样一个$k$ -顶点子集时，在抽样的$k$ -顶点子集中恰好有$\ell$边的概率至多为$e^{-1}+o_k(1)$ . Kwan，Sudakov和Tran在$Ω(k)\leq \ell\leq {k \choose 2}-Ω(k)$的例子中证明了这个猜想.在本文中，我们通过解决剩余的情况完成了证明的猜想。此外，我们给出了几乎紧的上界的情况下，上述概率$ω(1)\leq \ell\leq o(k)$。我们也将我们的一些结果推广到了边有界的超图。
2020-02-25 cs.DM math.CO
On the cross-product conjecture for the number of linear extensions
本文研究线性扩张数的叉积猜想，利用混合体积几何不等式与字组合数学证明其弱版本及反向不等式，并否定广义猜想。
2023-06-15 math.CO math.MG
On the Keevash-Knox-Mycroft Conjecture
Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
本文研究了完美匹配的存在性问题，证明了在特定条件下该问题可归约为研究分数完美匹配的最小度条件，解决了Keevash等人猜想中ℓ≥0.4k的情况，并给出了求解算法。
2026-03-27 cs.CC math.CO
New Partition Identities From $C_{\ell}^{(1)}$-Modules
本文猜想了与$C^{(1)}_\ell$，$\ell\geq2$型仿射李代数的标准表示有关的组合Rogers-Ramanujan型色划分恒等式，并猜想了与仿射李代数的表示论没有明显联系的类似的色划分恒等式.
2022-09-23 math.CO math.QA math.RT
