Combinatorial Proofs of Two Overpartition Theorems Connected by a Universal Mock Theta Function
在2015年，Bringmann、Lovejoy和Mahlburg考虑了某些类型的超划分，它们可以被看作是Schur划分的超划分类似物。他们工作的动机是舒尔经典划分的生成函数与排除最小部分的划分的生成函数之间的差异。这两个剖分生成函数的区别是Hickerson提出的“通用”模拟θ函数g_3的特殊化。Bringmann Lovejoy和Mahlburg用另一个通用的模拟θ函数g_2代替g_3，引入了两种超划分，它们满足某些同余条件和差分条件，但最小部分不同。他们用q-微分方程证明了这些定理。本文利用组合技巧给出了这两类超划分的生成函数。
2018-01-05 math.CO
Polynomization of the Liu-Zhang inequality for overpartition function
令$\overline{p}(n)$表示过配分函数。Liu和Zhang利用Engle的一个分析结果证明了$\overline{p}(a) \overline{p}(b)>\overline{p}(a+b)$对所有整数$a,b>1$.本文给出了Liu-Zhang不等式的一个组合证明。更确切地说，受多项式$P_{n}(x)$的启发，我们引入了多项式$\overline{P}_{n}(x)$，它以$n$的$k$ -色超划分数为特殊值.结合组合方法和分析方法，我们得到了除$(a,b,x)=(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1)$外的所有正整数$a,b$和实数$x \ge 1$的$\overline{P}_{a}(x) \overline{P}_{b}(x)>\overline{P}_{a+b}(x)$.
2022-06-30 math.CO
An overpartition analogue of Bressoud conjecture for even moduli
本文通过引入新的分拆函数 $\overline{B}_0$ 并构造其与 $B_1$ 之间的双射，证明了 $j=0$ 情形下 Bressoud 猜想的 overpartition 类比。
2023-12-01 math.CO
Asymptotics of higher order ospt-functions for overpartitions
本文给出了正曲柄矩和正秩矩的渐近公式。此外，我们证明了曲柄和秩矩是渐近相等的，而差是渐近正的。这表明，存在类似的更高的ospt函数的超分割，我们定义。
2014-03-26 math.CO math.NT
Overpartitions and Bressoud's conjecture, II
本文通过推广 Kim 的方法建立 $j=1$ 情形的过划分类比，并利用普通划分与过划分函数之间的联系，最终完整解决了 Bressoud 猜想在 $j=0$ 情形下的证明。
2024-02-22 math.CO
Strict Log-Subadditivity for Overpartition Rank
Bessenrodt和Ono最初发现了配分函数$p(n)$的严格对数次可加性，即$a,b>1$和$a+b>9$的$p(a+b)< p(a)p(b)$。许多其他重要的统计分区被证明享有类似的性质。Lovejoy从$q$系列的角度引入了过度分区等级，作为Dyson分区等级的模拟。令$\overline{N}(a,c,n)$表示秩与$a$模$c$全等的过划分的数目。Ciolan计算了$\overline{N}(a,c,n)$的渐近公式，并证明了对于$c\geq7$和$n$，$\overline{N}(a, c, n) > \overline{N}(b, c, n)$足够大。本文利用Ciolan的渐近性，对每个$c\geq3$，导出了$\overline{N}(a,c,n)$的上界和下界.因此，我们建立了严格的对数次加性的$\overline{N}(a,c,n)$类似的配分函数$p(n)$。
2022-06-26 math.CO
Overpartition pairs and two classes of basic hypergeometric series
研究了两类基本超几何级数的组合数学。我们首先证明这些级数是由零件频率条件定义的某些过划分对的母函数。然后，我们表明，当专门这些系列也是生成函数的overpartition对有界连续的行列，overpartition对的条件，其Durfee解剖，以及某些格路径。当进一步专门化时，级数变成无穷乘积，导致划分、超划分和超划分对的许多恒等式。
2007-09-11 math.CO math.NT
Overpartitions and Bressoud's conjecture, I
在1980年，Bressoud为$j=0$或$1$建立了一个组合恒等式$A_j=B_j$，其中函数$A_j$计算具有某些同余条件的划分的数目，函数$B_j$计算具有某些差分条件的划分的数目。Bressoud猜想是划分理论中一系列著名定理的特例。他的猜想的特殊情况已随后证明了Bressoud，安德鲁斯，金和Yee。最近，Kim解决了Bressoud对$j=1$的猜想。本文介绍了一种新的配分函数$\bar{B}_j$，它可以看作是Bressoud提出的配分函数$B_j$的过配分模拟.通过Gordon标记，我们建立了双射，得到了$\bar{B}_1$和$B_0$之间的关系以及$\bar{B}_0$和$B_1$之间的关系.在此基础上，我们进一步给出了许多经典的划分定理的过划分类似定理，包括Euler划分定理，Rogers-Ramanujan-Gordon恒等式，Bressoud-Rogers-Ramanujan恒等式，Andrews-Göllnitz-Gordon恒等式和Bressoud-Göllnitz-Gordon恒等式.
2022-05-08 math.CO
Laguerre inequalities and determinantal inequalities for the finite difference of the partition functions
该研究证明分拆函数与过划分函数一阶差分的 Turán、Laguerre 及行列式不等式，并对高阶情形提出阈值和正性猜想。
2023-12-18 math.CO
Overpartitions with parts separated by parity
University of Cologne（科隆大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）
本文研究了具有奇偶性间隔部分的超分拆的生成函数，并证明了与模形式、q-超几何级数和拟模形式相关的q-级数恒等式。
2025-07-22 math.CO math.NT
Higher order log-concavity of the overpartition function and its consequences
令$\bar{p}(n)$表示过配分函数。本文在侯和张关于分拆函数的类似框架下，研究了超配分函数的渐近高阶$\log$-渐近性质.这将使我们能够进一步证明$\log$-过划分的性质，明确地通过研究商$\bar{p}(n-1)\bar{p}(n+1)/\bar{p}(n)^2$到一定阶的渐近展开，以便通过遵循一种统一的方法，最终得到$2$-$\log$-过划分的性质和$\bar{p}(n)$的高阶图兰性质。
2022-04-17 math.CO math.NT
Restricted Overpartitions and concave compositions: their modularity and asymptotics
University of Cologne（科隆大学）；Indian Institute of Technology Gandhinagar（甘地纳加尔印度理工学院）
本文研究受限超分拆与凹分解，其生成函数涉及模形式、拟theta函数、拟Maass theta函数和假theta函数，揭示了受限分拆问题中的混合模结构，并获得其渐近主项。
2026-04-02 math.CO math.NT
Rank differences for overpartitions
1954年，阿特金和斯温纳顿-戴尔通过建立等差数列中秩差的生成函数的公式，证明了戴森关于分划秩的定理。在本文中，我们证明了公式的生成函数的秩差的超划分。这些是根据模函数和广义Lambert级数。
2007-05-28 math.CO math.NT
Plane overpartitions and cylindric partitions
利用不相交路径、RSK型算法和对称函数等方法得到了平面超划分的生成函数。我们将一些生成函数推广到圆柱分区。此外，我们表明，平面超划分对应于某些多米诺瓷砖，我们给出了这种对应关系的一些基本性质。
2010-09-03 math-ph math.CO math.MP
The Rogers-Ramanujan-Gordon Theorem for Overpartitions
设$B_{k,i}(n)$为$n$在某种差分条件下的划分数，设$A_{k,i}(n)$为$n$在某种同余条件下的划分数。Rogers-Ramanujan-Gordon定理指出，$B_{k,i}(n)=A_{k,i}(n)$。Lovejoy对$i=1$和$i=k$的情形得到了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过分割类比。在一般情况下，我们发现了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过度分割类似物。设$D_{k,i}(n)$为满足一定差分条件的$n$的超划分数，$C_{k,i}(n)$为满足一定同余条件的$n$的非上划线部分的超划分数.我们表明，$C_{k,i}(n)=D_{k,i}(n)$。利用Andrews引入的一个函数，我们得到了一个递推关系，它意味着$D_{k,i}(n)$的母函数等于$C_{k,i}(n)$的母函数.我们还发现了一个生成函数公式的$D_{k,i}(n)$通过使用戈登标记表示的超划分，它可以被认为是一个单位的安德鲁斯为普通分区的超划分模拟。
2011-08-30 math.CO math.NT
Overpartitions with repeated smallest non-overlined part
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文扩展了 Andrews 和 Bachraoui 关于重复最小部分的划分研究，研究具有最小非重叠部分恰好出现k次且每个重叠部分都比该部分大的划分，证明了这些划分的生成函数可表示为q-Pochhammer 符号的线性组合。
2026-03-28 math.CO math.NT
Combinatorial proofs of some identities on overpartitions with repeated smallest non-overlined part
Tezpur University（特普尔大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文通过组合方法证明了关于带有重复最小非重线部分的划分恒等式。
2026-02-01 math.CO
Ramanujan congruences for overpartitions with restricted odd differences
我们调查Ramanujan同余的功能，计数的超分区n限制奇差。特别是，我们证明了只有一个这样的同余存在。我们的方法涉及到使用理论的模形式证明了一个更一般的定理，该定理的界限的数量可能的Ramanujan同余在某些η-代数。这概括了Jonah Sinick所做的工作。我们还提供了这个函数的两个模5同余。
2022-04-05 math.CO math.NT
The Briggs inequality for partitions and overpartitions
本文基于Chern关于$η$-商的公式，证明了分拆函数、超分拆函数以及$2\le k\le 9$时的$k$-正则分拆与超分拆函数在特定偏移下均满足Briggs不等式。
2024-08-29 math.CO
An overpartition analogue of partitions with bounded differences between largest and smallest parts
我们研究了最大和最小部分之间有界差的超划分的生成函数，这类似于Breuer和Kronholm关于整数划分的结果。我们还连接这个问题与超过$q$ -二项式系数介绍了Dousse和Kim。
2017-02-11 math.CO math.NT
A conjecture of Baruah and Begum on the smallest parts function of restricted overpartitions
在2017年，Andrews、Diary、Schultz和Yee引入了函数$\overline{\textrm{spt}}_ω(n)$，它表示$n$的超分区中最小部分的数量，其中最小部分总是上划线，并且所有奇数部分都小于最小部分的两倍。最近，Baruah和Begum建立了$\overline{\textrm{spt}}_ω(n)$的$5$的几个内同余和模小幂同余。此外，还证明了$5$的模任意幂的一类内同余和$5$的模任意偶幂的两类同余.在本文中，我们确认了三个家庭的同余由于Baruah和Begum。
2022-01-05 math.CO math.NT
On an Overpartition Analogue of $SOME(n)$
B.M.S. College of Engineering（BM工程学院）；RV College of Engineering（RV工程学院）
本文研究了划分类比的过划分函数，推导了生成函数并获得模3、5及2的幂的同余式。
2026-03-13 math.CO math.NT
Arithmetic Properties of Andrews' Singular Overpartitions
本文扩展了 Andrews 关于奇异超划分模 3 的两个同余式结果，证明它们属于一个无限族同余式，并将此类算术性质的研究推广至其框架内的其他函数。
2014-06-06 math.CO math.NT
Two truncated identities of Gauss
给出了高斯三角级数与平方级数部分和的两个新的展开式。因此，我们得到了一族不等式的过划分函数$\bar{p}(n)$和分拆函数$p_1(n)$计数分区的$n$不同的奇数部分。作为证明，进一步提出了关于分拆函数变分的不等式.
2013-01-13 math.CO math.NT
Exact formula for 1-lower run overpartitions
本文证明了1-下游过划分的精确公式，其生成函数为总权重0的混合mock-modular类型，通过应用经典Circle Method的扩展版本并界定Kloosterman和与Mordell积分来实现。
2025-04-02 math.CO math.NT
Combinatorial identities associated with a bivariate generating function for overpartition pairs
我们得到了一个三参数$q$ -级数恒等式，推广了Chan和Mao的两个结果.通过专门化我们的身份，我们得出新的结果，组合的意义与$N(r, s, m, n)$，功能计数某些overpartition对最近推出的布林曼，洛夫乔伊和奥斯本。例如，我们的一个恒等式给出了二重级数在第二类切比雪夫多项式中的封闭形式的估值，从而导致了欧拉五边形数定理的模拟。我们的另一个结果表达了一个涉及$N(r, s, m, n)$的多重和，仅用分拆函数$p(n)$表示。利用Shimura的一个结果，我们还将某个二重级数与一个权7/2 θ级数联系起来。
2022-01-18 math.CO math.NT
Block-Separated Overpartitions: Fibonacci Structure and Euler Factorization
Mines Saint-Étienne（圣艾蒂安国立高等矿业学院）
本文研究了块分离的超划分，揭示其与斐波那契数列的关联，并通过生成函数和转移矩阵方法推导了相关递推关系和渐进行为。
2026-03-06 cs.DM math.CO math.NT
Proof of a Conjecture of Hirschhorn and Sellers on Overpartitions
令$\bar{p}(n)$表示$n$的过分区数。由Hirschhorn和Sellers证实，$\bar{p}(40n+35)\equiv 0\ ({\rm mod\} 40)$为$n\geq 0$。利用Ramanujan，Hirschhorn和Sellers关于θ函数的导数的2-剖分公式，得到了$\bar{p}(40n+35)$模5的生成函数.利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p, k)$参数化，给出了同余式$\bar{p}(40n+35)\equiv 0\ ({\rm mod\} 5)$的一个证明.将这个同余式与Hirschhorn和Sellers，以及Fortin，Jacob和Mathieu得到的同余式$\bar{p}(4n+3)\equiv 0\ ({\rm mod\} 8)$相结合，给出了Hirschhorn和Sellers猜想的一个证明.
2013-07-16 math.CO math.NT
Moments of the Crank Statistic for $t$-Core Partitions and Overpartitions
National Institute of Technology, Raipur（Raipur国家技术学院）
本文利用统一矩-迹框架，对$t$-核分拆和超分拆的曲柄统计量建立迹与逆迹公式，并借助完全Bell多项式导出分拆数的显式表达式。
2026-09-09 math.CO math.NT
Enumeration modulo 4 of overpartitions wherein only even parts can be overlined
本文为Munagi和Sellers关于仅偶数部分可加上划线的overpartition数量 $d_2(n)$ 的奇偶性特征提供了组合证明，并将其扩展至模4特征，结合经典对合与全新方法给出了生成函数和组合双重证明。
2024-11-05 math.CO math.NT
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
2017-07-18 math.CO math.NT
Distribution of Andrews' Singular Overpartitions $\overline{C}_{p,1}(n)$
安德鲁斯介绍了分区功能$\overline{C}_{k, i}(n)$，称为奇异overpartition，它计数的数量overpartition的$n$，其中没有部分是整除的$k$和只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可能是overlined。研究了$\overline{C}_{k,i}(n),$的奇偶性和分布结果，其中$k>3$和$1\leq i \leq \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$。更具体地说，我们证明了对于依赖于$k$和$i$的每个整数$\ell\geq 2$，间隔$\left[\ell, \frac{\ell(3\ell+1)}{2}\right]$ $\Big($分别为$\left[2\ell-1, \frac{\ell(3\ell-1)}{2}\right] \Big)$包含整数$n$，使得$\overline{C}_{k,i}(n)$为偶数（分别为\奇数）。最后研究了$\overline{C}_{p,1}(n)$的分布，其中$p\geq 5$是素数.
2023-03-09 math.CO math.NT
Some Comments on Regular Overpartitions modulo $2^k$
University of Tabuk（塔布克大学）；Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
研究\(\overline{R}_{\ell,\mu}(n)\)及单模类似物\(\overline{R}_{\ell}(n)\)，记录根据基础普通分割不同部分大小数量确定这两个函数模\(2\)各幂次的组合机制，还根据完全平方数推导其模\(4\)的简洁特征。
2026-07-09 math.CO math.NT
Elementary proofs of congruences modulo 5 for overpartitions with restricted odd differences
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文针对Hanson和Smith在2023年利用模形式证明的关于重分拆函数$\overline{t}(n)$的两个模5同余式，给出了一个完全初等的证明方法。
2026-09-16 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
2014-06-15 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
2014-08-07 math.CO math.NT
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
2023-07-03 math.CO math.NT
Finding Modular Functions for Ramanujan-Type Identities
本文研究了Radu引入的一类用η-因子定义的配分函数$a(n)$.利用Newman，Schoeneberg和Robins的变换律和Radu算法，给出了一个求$a(mn+t)$的Ramanujan型恒等式的算法.虽然这种算法不能保证成功，但它适用于许多情况。例如，我们推导出具有整数系数的$p(11n+6)$的见证恒等式。我们的算法还导致Ramanujan型身份的过度分区功能$\overline{p}(5n+2)$和$\overline{p}(5n+3)$和安德鲁斯-Paule的破碎$2$钻石分区功能$\triangle_{2}(25n+14)$和$\triangle_{2}(25n+24)$。它也可以扩展到更一般的一类配分函数上的拉马努金型恒等式。例如，它产生的Ramanujan型恒等式安德鲁斯的奇异超分割函数$\overline{Q}_{3,1}(9n+3)$和$ \overline{Q}_{3,1}(9n+6)$由于沈，$2$ -解剖公式的Ramanujan和$8$ -解剖公式由于Hirschhorn。
2019-11-17 math.CO math.NT
Proof of two conjectures on correlation inequalities for one class of monotone functions
证明了单峰布尔单调非减函数的线性组合的相关不等式的两个定理
2014-08-28 math.CO
Arithmetic properties of MacMahon-type sums of divisors
本文证明了MacMahon广义除数和函数扩展的生成函数$U_t(a,q)$系数满足新的Ramanujan型同余无限族，并得出关于几乎3-regular overpartitions数量的同余性质。
2025-04-02 math.CO math.NT
