Patch bubbles for advection-dominated steady and unsteady problems
Friedrich-Alexander-University Erlangen-Nuremberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希·亚历山大大学）；Universidad Nacional del Litoral and CONICET（国立里奥斯特拉大学和阿根廷国家科学研究委员会）
本文提出一种改进的残差自由气泡方法，通过引入补丁气泡减少对流主导问题中的振荡和过冲，提升计算精度。
2025-12-27 cs.NA math.NA
A nonlinear weak constraint enforcement method for advection-dominated diffusion problems
我们设计了一个稳定化的方法来弱强制边界约束的对流主导的扩散问题的离散解。该方法将非线性罚函数公式与基于伽辽金的不连续残差最小化方法相结合。我们通过适当的数值例子说明了该方案的有效性的均匀和自适应网格。
2020-11-23 cs.NA math.NA
Discretization of Linear Problems in Banach Spaces: Residual Minimization, Nonlinear Petrov-Galerkin, and Monotone Mixed Methods
Pontificia Univ. Católica de Valparaíso（天主教教宗大学瓦尔帕莱索分校）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出了一种Banach空间中抽象线性算子方程的全面离散化理论，通过残差最小化和离散对偶范数的非精确版本，发展出非线性Petrov-Galerkin方法和等价的具有单调非线性的抽象混合方法，并证明了在Fortin条件下的离散稳定性及误差分析。
2018-07-29 cs.NA math.NA
A Residual Minimization approach for Nonlinear Partial Differential Equations set in Banach spaces
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（智利天主教庞蒂菲亚大学）；Monash University（蒙纳士大学）；Universidad Adventista de Chile（智利基督复临安息日会大学）
本文提出并分析了在Banach空间中求解非线性PDE的残差最小化策略，通过在离散对偶范数中最小化变分残差，得到非线性鞍点问题的解，并利用残差代表作为后验误差估计器实现自动网格自适应。
2026-04-01 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin methods for magnetic advection-diffusion problems
基于加权残值法，设计并分析了一类求解磁对流-扩散问题的原始间断Galerkin方法。除了迎风稳定，我们找到了一个新的机制下的向量的情况下，提供了更大的灵活性，在建设计划。对于更一般的Friedrichs系统，我们证明了稳定性和最优误差估计，这归结为两个核心成分-权函数和特殊的投影-包含平流的信息。数值实验验证了理论结果。
2022-08-02 cs.NA math.NA
A fitted space-time finite element method for an advection-diffusion problem with moving interfaces
针对含运动界面的抛物型对流-扩散问题，提出界面贴合时空有限元方法，证明连续问题适定性并建立全离散格式的最优误差估计。
2025-01-10 cs.NA math.NA
Preconditioned iterative methods for space-time fractional advection-diffusion equations
University of Macau（澳门大学）；National Chung Cheng University（国立中正大学）
本文提出了解决时空分数阶对流-扩散方程初值边界问题的数值方法，采用隐式方法和预条件GMRES、CGNR方法，利用快速傅里叶变换提高计算效率，通过数值实验验证了预条件器的有效性。
2015-10-17 cs.NA math.NA
Multilevel Isogeometric Projection Stabilization via Quasi-Interpolation for Advection-Dominated Problems
Mohammed VI Polytechnic University (UM6P)（穆罕默德六世理工大学）；Vanguard Center（先锋中心）
针对对流主导的对流扩散问题，提出一种基于连续B样条拟插值的多水平投影稳定化方法，通过提取和惩罚细尺度波动，避免残差型方法的参数敏感性和局部投影稳定化的不连续辅助空间，理论推导先验误差估计并数值验证稳定性，显著减少非物理振荡。
2026-05-25 cs.NA math.NA
A posteriori error analysis of a space-time hybridizable discontinuous Galerkin method for the advection-diffusion problem
本文为时间依赖对流扩散问题的时空HDG离散构造基于残差的后验误差估计子，证明其可靠性与局部效率，并通过含边界层和内部层的数值实验验证。
2024-04-05 cs.NA math.NA
Fortin operators for DPG advection discretizations
Portland State University（波特兰州立大学）
该研究针对任意空间维度和多项式次数的平流方程DPG离散化构造了Fortin算子，证明其相关性质并应用于全离散残差最小化方法，得到拟最优性等结论。
2026-09-01 cs.NA math.NA
A streamline upwind/Petrov-Galerkin method for the magnetic advection-diffusion problem
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出了一种用于磁流体输运-扩散问题的SUPG方法，通过引入提升算子和离散磁流体输运算子，建立了稳定化项并推导了最优误差估计。
2025-12-01 cs.NA math.NA
Stabilization of isogeometric finite element method with optimal test functions computed from $L_2$ norm residual minimization
本文在等几何分析框架下比较多种稳定化方法，推导了基于L2最优测试函数的最小二乘有限元法及Galerkin/最小二乘法，并通过Eriksson-Johnson模型验证：小Péclet数时最小二乘法最优，强对流占优时SUPG和Galerkin/最小二乘法更有效。
2024-11-23 cs.NA math.NA
A new approach to source conditions in regularization with general residual term
Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）
本文针对Banach或更一般的拓扑空间中非线性不适定算子方程，提出了一种结合近似源条件和变分不等式优势的收敛速率证明方法，能够处理一般非凸残差项和非光滑算子。
2009-06-18 cs.NA math.NA
Computing Residual Diffusivity by Adaptive Basis Learning via Super-Resolution Deep Neural Networks
在不可压混沌流动中，由于对流占优区会形成尖锐的内层，通过求解对流扩散方程来计算剩余扩散系数的计算代价很高。本征正交分解（POD）是一种经典的基于特定分子扩散系数$D_{0}^{*}$下完全解析解的快照构造少量自适应正交基向量的方法。POD基的质量如果被应用于$D_0\ll D_{0}^{*}$会恶化。为了改进POD，我们采用超分辨率生成对抗深度神经网络（SRGAN）来训练基于快照数据的非线性映射，该快照数据具有两个$D_{0}^{*}$值。当$D_0$变小时，映射对内部层上的锐化效果进行建模。我们通过数值实验表明，应用这样的映射快照后，残余扩散率的预测精度大大提高了标准POD。
2019-09-27 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Guaranteed and robust $L_2$-norm a posteriori error estimates for 1D linear advection problems
Université Paris-Est, CERMICS (ENPC)（巴黎东大学，CERMICS（国立桥路学校））；Inria（法国国家数字科学研究所）
本文提出了一种基于重构的后验误差估计方法，用于一维线性输运问题，通过建立误差L2范数与残差对偶图范数的等价性，证明了该方法在不同数值方法下的有效性，并展示了其在网格细化、多项式次数和输运速度方面的鲁棒性。
2019-04-23 cs.NA math.NA
A Machine Learning approach to enhance the SUPG stabilization method for advection-dominated differential problems
我们建议使用机器学习和人工神经网络（ANN）来增强对流主导微分问题的基于残差的稳定方法。具体而言，在有限元法的背景下，我们认为流线迎风彼得罗夫-伽辽金（SUPG）稳定方法，我们采用人工神经网络来优化选择的稳定参数的方法依赖。我们通过求解最优化问题来生成我们的数据集，以找到最佳稳定化参数，该参数使微分问题的不同数据的数值解和精确解之间的距离最小化，并且有限元法的数值设置，例如，网格步长和多项式次数。生成的数据集用于训练人工神经网络，我们使用后者“在线”预测最佳稳定参数，用于任何给定的数值设置和问题数据的SUPG方法。我们表明，通过一维和二维数值试验的对流主导的微分问题，我们的人工神经网络方法产生更准确的解决方案比使用传统的稳定参数的SUPG方法。
2022-07-08 cs.NA math.NA
An adaptive stabilized conforming finite element method via residual minimization on dual discontinuous Galerkin norms
设计并分析了一种新的自适应稳定化有限元法。我们构造了一个离散逼近的解决方案，在连续的试验空间，通过最小化的残差测量的对偶范数的不连续的测试空间，具有inf-sup稳定。我们制定这个残余最小化作为一个稳定的鞍点问题，提供了一个稳定的离散解决方案和残余表示，驱动自适应网格细化。对流反应模型问题的数值结果显示竞争力的误差减少率相比，间断Galerkin方法的均匀加细网格和光滑的解决方案。此外，该技术导致自适应网格细化和具有尖锐层的解决方案的最佳衰减率。
2019-12-22 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptivity for a conforming residual minimization method in a dual discontinuous Galerkin norm
本文提出了一种面向目标的网格自适应算法，用于求解对偶间断Galerkin范数下的残差最小化稳定的有限元法。通过解决鞍点问题，这种残差最小化提供了对每个网格实例上的解的稳定连续近似和到破碎多项式空间上的残差投影，这是一种鲁棒的误差估计器，通过自动网格细化来最小化离散能量范数。在这项工作中，我们提出并分析了一个面向目标的自适应算法，这种稳定的残差最小化。我们解决了原始和伴随问题，考虑相同的鞍点制定和不同的右手边。通过解决第三个稳定的问题，我们得到了两个有效的误差估计，以指导面向目标的自适应。我们说明了这种目标导向的自适应策略对流扩散反应问题的性能。
2020-12-17 cs.NA math.NA
Neural Network Dual Norms for Minimal Residual Finite Element Methods
本文提出用神经网络作为检验函数评估残差对偶范数的最小残差有限元方法，通过深度残差Uzawa算法交替更新有限元解与网络训练，并证明其稳定性、收敛性及先验误差估计，在奇异数据问题上表现稳健精确。
2025-09-21 cs.NA math.NA
PINNs error estimates for nonlinear equations in $\mathbb{R}$-smooth Banach spaces
Moscow Research Center（莫斯科研究中心）；Huawei Technologies Co., Ltd（华为技术有限公司）
本文在R-光滑Banach空间框架下，以算子形式刻画可进行PINN误差估计的非线性偏微分方程类，并针对L^p空间建立Bramble-Hilbert型引理，为PINN残差界定提供理论工具。
2024-06-05 cs.LG cs.NA math.FA
Perturbed saddle-point problems in $\mathrm{L}^p$ with non-regular loads
Monash University（蒙纳士大学）；Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University（伊玛目穆罕默德·本·沙特伊斯兰大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Universidad Adventista de Chile（智利联合 Adventist 大学）；Universidad de Los Lagos（洛斯拉戈斯大学）
本文研究了$\mathbf{L}^p$空间中扰动鞍点问题的离散可解性，通过正则化投影和Stenberg后处理分析了混合对流方程的收敛性。
2026-10-21 cs.NA math.NA
Convergence and adaptive discretization of the IRGNM Tikhonov and the IRGNM Ivanov method under a tangential cone condition in Banach space
本文研究了在Banach空间中在切线锥条件下，IRGNM Tikhonov和Ivanov方法的收敛性与自适应离散化，通过目标导向加权对偶残差估计器提供误差界。
2017-07-24 cs.NA math.NA
Stable time-stepping via residual minimization: finite-element and neural-network approximations for transient parabolic problems
The University of the Basque Country (EHU)（巴斯克大学）；IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊卡巴斯基奎科学基金会）；Monash University（莫纳什大学）
本文提出一种基于残差最小化的时间步进框架，用于瞬态抛物问题，统一支持有限元与神经网络逼近，并通过稳定性估计和残差分解保证可靠性，数值实验验证了收敛性与自适应细化效果。
2026-09-24 cs.NA math.NA
Variational multiscale modeling with discretely divergence-free subscales: Non-divergence-conforming discretizations
最近的一篇论文[J. A.埃文斯，D. Kamensky，Y. Bazilevs，“Variational multiscale modeling with discrete divergence-free subscales”，Computers & Mathematics with Applications，80（2020）2517-2537]介绍了一种用于不可压缩Navier-斯托克斯方程的新型稳定化有限元法，其组合了对流的基于残差的稳定化、能量稳定性和离散不可压缩性条件的满足。然而，所引用的工作的收敛性分析和数值试验受到限制性假设的发散一致的速度和压力空间的选择，其中压力空间必须包含每个速度函数的发散。目前的工作扩展的收敛性分析，以任意的inf-super-stable速度-压力对（同时保持鲁棒性的对流为主的政权），并证明了收敛的方法数值，使用传统的和等几何泰勒-胡德元素。
2021-12-18 cs.NA math.NA
Eliminating Gibbs Phenomena: A Non-linear Petrov-Galerkin Method for the Convection-Diffusion-Reaction Equation
本文考虑对流扩散反应方程的数值逼近。为该问题设计数值方法的主要挑战之一是，在对流占主导地位的情况下发生的边界层可能会导致数值逼近中的非物理振荡，通常称为吉布斯现象。本文的思想是把逼近问题看作是Lq-型索伯列夫空间中对偶范数的剩余极小化问题，其中1 < q < $\infty$。然后，我们应用一个非标准的，非线性PetrovGalerkin离散化，这是适用于自反巴拿赫空间，使空间本身及其对偶是严格凸。类似于间断Petrov-Galerkin方法，该方法基于对偶范数中的残差最小化。用一个合适的离散对偶范数代替这个难处理的对偶范数，得到一个非线性不精确混合方法。这推广的彼得罗夫-伽辽金框架开发的背景下，不连续彼得罗夫-伽辽金方法更一般的巴拿赫空间。对于对流-扩散-反应方程，这产生了从L2-设置到Lq-设置的类似方法的推广。考虑更一般的巴拿赫空间设置的一个关键优点是，在某些情况下，当q趋于1时，数值逼近中的振荡消失，我们将使用一些简单的数值例子来证明。
2019-08-02 cs.NA math.NA
A duality-based optimization approach for model adaptivity in heterogeneous multiscale problems
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Heidelberg University（海德堡大学）
本文提出了一种新的框架，通过将模型适应性视为局部误差指标的最小化问题，用于异质多尺度问题。该方法基于Dual Weighted Residual（DWR）方法，允许在不严格了解有效模型适用性和质量的情况下，系统地调整有效模型。
2017-12-01 cs.NA math.NA
Residual-based variational multiscale modeling in a discontinuous Galerkin framework
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本文提出了一种基于间断伽辽金框架的变分多尺度方法，通过分解真实解为粗尺度和细尺度部分，引入残差模型和新的界面模型，展示了其在一维泊松问题和对流扩散问题中的应用。
2017-09-19 cs.NA math.NA
Backward step control for Hilbert space problems
Interdisciplinary Center for Scientific Computing, Heidelberg University（海德堡大学跨学科科学计算中心）
研究通过广义牛顿流传播初始猜测，实现Banach空间到Hilbert空间映射的Gâteaux可微函数零点的全局收敛，提出高效数值方法并展示在非线性椭圆边界值问题中的应用。
2018-04-27 cs.NA math.NA
A high-order, meshless, Lagrangian--Eulerian RBF-FD method for advection--diffusion--reaction on moving manifolds
Kahlert School of Computing, University of Utah（犹他大学卡勒特计算机学院）；Department of Mathematics, Boise State University（博伊西州立大学数学系）
该研究提出一种高阶无网格拉格朗日-欧拉RBF-FD方法，用于求解三维移动流形上的平流-扩散-反应偏微分方程，通过多种策略提升稳定性与效率，数值实验验证了其收敛性、守恒性与长期积分稳定性。
2026-08-21 cs.NA math.NA
Residual-based stabilized reduced-order models of the transient convection-diffusion-reaction equation obtained through discrete and continuous projection
瞬态偏微分方程的基于Galerkin和Petrov-Galerkin投影的降阶模型（ROM）通常通过执行在空间连续或空间离散水平上定义的降维和投影过程来获得。在这两种情况下，它是共同的，以增加稳定性和方法的准确性得到的ROM;稳定的添加是特别常见的对流主导的系统时，ROM是欠解析。虽然这两种方法在某些情况下可能是等同的，但在这两种情况下出现了不同的技术。这项工作概述了这两种方法的设置内的有限元法（FEM）离散化（在这种情况下，一个连续和离散水平之间存在的对偶）的对流扩散反应方程，并比较残差为基础的稳定技术，已在这两种情况下开发。在空间连续的情况下，我们研究的Galerkin，流线迎风彼得罗夫-Galerkin（SUPG），Galerkin/最小二乘（GLS），和伴随（ADJ）稳定化方法。对于GLS和ADJ方法，我们研究了从“离散然后稳定”技术和时空技术构建的制剂。在空间离散的情况下，我们研究了伽辽金，最小二乘彼得罗夫伽辽金（LSPG），伴随彼得罗夫伽辽金（APG）方法。我们总结了现有的分析，这些方法，并提供数值实验，这表明，基于残差的稳定的方法，通过连续和离散的过程产生了显着的改进，标准的Galerkin方法时，底层的有限元模型是欠解决。
2023-02-21 cs.NA math.NA
Parametric Neural r-Adaptivity for Isogeometric Analysis via Residual Minimization
Universidad del Paı́s Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU)（巴斯克大学）；Basque Center for Applied Mathematics (BCAM)（巴斯克应用数学中心）；Basque Foundation for Science (Ikerbasque)（巴斯克科学基金会）
该研究针对等几何分析提出基于残差最小化的r自适应神经算法，利用物理信息神经网络的强形式残差加权得到能量误差估计器，通过反向模式自动微分获网格梯度，实验表明此方法能集中自由度提升精度。
2026-07-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis and adaptive computation of a Banach-space mixed finite element method for generalized bioconvective flows
Monash University（蒙纳士大学）；Universidad Adventista de Chile（智利基督复临安息日会大学）
本文提出了一种Banach空间混合有限元方法，用于分析广义生物对流流动的收敛性和自适应计算，通过引入辅助变量和自适应细化技术，验证了方法在复杂几何和奇异解中的有效性。
2026-01-13 cs.NA math.NA
IGA-ODIL: Optimizing DIscretre robust Loss with Isogeometric Analysis to solve forward and inverse problems faster using machine learning tools
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
提出IGA-ODIL框架，用B样条基函数替代神经网络参数化，结合等几何分析与鲁棒变分残差最小化，实现稀疏雅可比矩阵和高效高斯-牛顿优化，在多个基准问题上相比PINNs和CRVPINNs实现数量级加速。
2026-05-28 cs.NA math.NA
Application of adapted-bubbles to the Helmholtz equation with large wave numbers in 2d
本文提出了一种改进的无剩余气泡法（RFB），用于求解二维亥姆霍兹问题。本文提出了一种新的两层有限元法来近似泡函数。与对流-扩散方程等其它方程不同，RFB方法在求解Helmholtz方程时，不依赖于另一种稳定化方法来获得子问题解的近似。适应气泡（AB）是通过一个简单的修改的子问题。这一修正显著地提高了数值解的精度。AB方法能够在2D中有效地求解Helmholtz方程，直到ch = 3.5，其中c是波数，h是网格步长。我们提供分析，以显示如何AB方法减轻污染的错误。
2021-05-15 cs.NA math.NA
Goal oriented adaptivity in the IRGNM for parameter identification in PDEs I:\\ reduced formulation
本文研究了在每次牛顿步中使用后验（不相容原理）选择正则化参数的迭代正则化Gauss-Newton方法（IRGNM）的自适应离散化，证明了收敛性和收敛速率，并讨论了基于加权对偶残差方法计算误差估计器的算法，最终将结果扩展到Banach空间和一般Tikhonov函数的正则化。
2013-09-26 cs.NA math.NA
Robust Variational Physics-Informed Neural Networks
提出 RVPINNs，用残差离散对偶范数构造损失，在局部 Fortin 算子存在时可靠估计能量范数误差，并通过对流-扩散实验验证其鲁棒性与估计尖锐性。
2024-03-05 cs.NA math.NA
A Semi-Implicit Variational Multiscale Formulation for the Incompressible Navier-Stokes Equations via Exact Adjoint Linearization
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文提出了一种半隐式变分多尺度方法，通过精确伴随线性化简化了不可压缩纳维-斯托克斯方程的求解，提高了计算效率并保持了精度。
2026-09-09 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
FrFNO:Injecting the analytic Mittag-Leffler propagator into a resolution-robust neural operator for space-time fractional PDEs
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）
针对分数阶偏微分方程重复求解昂贵的问题，提出分数阶傅里叶神经算子，注入解析 Mittag-Leffler 传播子处理线性部分，仅训练残差网络，实现分辨率鲁棒且误差最低。
2026-09-21 cs.NA math-ph math.MP
Functional error estimators for the adaptive discretization of inverse problems
Faculty of Mathematics, Universität Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学数学学院）；Institute of Mathematics, Alpen-Adria Universität Klagenfurt（克拉根福阿尔卑斯-亚得里亚大学数学研究所）；Institute of Mathematics, Universität Würzburg（维尔茨堡大学数学研究所）
本文提出利用功能误差估计器对逆问题的自适应离散化进行可靠误差估计，适用于Tikhonov正则化及非光滑Banach空间惩罚项，通过椭圆逆源问题示例展示方法有效性。
2017-02-10 cs.NA math.NA math.OC
Adjoint-based goal-oriented implicit shock tracking using full space mesh optimization
本文提出一种目标导向的隐式激波跟踪方法，利用伴随加权残差和LNKS全空间优化，仅跟踪对评估特定泛函重要的激波段，在不使用人工耗散时实现高阶收敛。
2024-05-01 cs.NA math.NA
