通过残差最小化实现稳定时间步进：瞬态抛物问题的有限元与神经网络逼近
Stable time-stepping via residual minimization: finite-element and neural-network approximations for transient parabolic problems
- The University of the Basque Country (EHU)（巴斯克大学）
- IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊卡巴斯基奎科学基金会）
- Monash University（莫纳什大学）
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中文总结 AI 辅助
本文提出一种基于残差最小化的时间步进框架，用于瞬态抛物问题，统一支持有限元与神经网络逼近，并通过稳定性估计和残差分解保证可靠性，数值实验验证了收敛性与自适应细化效果。
中文摘要 AI 辅助
我们提出了一种针对瞬态强制变分问题的时间步进最小残差（MinRes）框架，适用于有限元和神经网络试验逼近。对于向后欧拉格式，我们在每个时间层上，以稳态试验空间范数（按时间步长缩放）所诱导的对偶范数来度量残差。这一选择产生了稳定性估计，可控制离散抛物能量量，直至时间离散缺陷。我们发展了协调和破碎试验公式，并将分析专门应用于扩散-对流-反应问题。对于有限维试验空间，我们通过将可计算的离散残差与一个补充贡献相结合，推导出完全离散的可靠性估计，该补充贡献考虑了试验空间无法解析的残差分量。随后，我们将该框架扩展到神经网络试验类别，并为协调和破碎多项式试验空间获得可计算的残差分解。数值实验证实了预期的有限元收敛速率，考察了试验空间细化对全局时空神经网络逼近的影响，并展示了针对具有移动局部特征的瞬态问题的残差驱动空间细化。
英文摘要
We propose a time-stepping minimum-residual (MinRes) framework for transient coercive variational problems, applicable to finite-element and neural-network trial approximations. For the Backward Euler scheme, we measure the residual at each time level in the dual norm induced by the steady test-space norm, scaled by the time step. This choice yields stability estimates controlling a discrete parabolic energy quantity, up to the time-discretization defect. We develop conforming and broken-test formulations and specialize the analysis to diffusion-advection-reaction problems. For finite-dimensional test spaces, we derive fully discrete reliability estimates by supplementing the computable discrete residual with a complementary contribution that accounts for residual components the test space does not resolve. We then extend the framework to neural-network trial classes and obtain computable residual decompositions for conforming and broken polynomial test spaces. Numerical experiments confirm the expected finite-element convergence rates, examine the effect of test-space refinement for a global space-time neural approximation, and demonstrate residual-driven spatial refinement for a transient problem with a moving localized feature.
