Exponential Objects in Categories of Generalized Uniform Hypergraphs
Martin Schmidt
我们构造指数对象的广义均匀超图的类别和使用神经实现推理的嵌入，以显示为什么传统的类别的图和超图没有指数对象。
We construct exponential objects in categories of generalized uniform hypergraphs and use embeddings induced by nerve-realization adjunctions to show why conventional categories of graphs and hypergraphs do not have exponential objects.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Injectives Hulls and Projective Covers in Categories of Generalized Uniform Hypergraphs
在广义一致超图范畴中构造了内射壳和投射覆盖，推广了箭图范畴和无向图范畴中的构造。虽然这些结构不是函子的，但它们是“子函子的”，这意味着它们是函子内射和投射加细的子分支。
Incidence hypergraphs: The categorical inconsistency of set-systems and a characterization of quiver exponentials
本文考虑了集合系统方法推广图论的困难。这些困难出现的范畴集系统超图被证明是不是carling-closed和缺乏足够的投射对象，不像有向多重图（即箭图）。关联超图的类别被引入作为一个“图样”的补救措施的集合系统的问题，使超图可以研究他们的本地图形的行为，通过同态，允许域的边缘被映射到一个子集的边缘在codomain。此外，它表明，范畴的箭图嵌入到范畴的关联超图通过一个逻辑函子，这是逆像的本质几何态射之间的topoi。因此，该指数是简单地表示使用关联超图同态。
Incidence Hypergraphs: Box Products & the Laplacian
本文刻画多类图与超图范畴的盒积及盒指数，通过关联对偶封闭推广修正不对称性，并将路径求值联系到有向超图无符号拉普拉斯矩阵半次幂。
Treewidth via Spined Categories (extended abstract)
树宽是一个著名的图不变量，在组合数学中有许多有趣的应用。实际上，许多NP完全问题在有界树宽的图上是多项式时间（有时甚至是线性时间）可解的。在理论方面，树宽在著名的罗伯逊-西摩图子定理的证明中发挥了重要作用。在定义图上的树宽不变量和其他类型的组合对象（包括）上的树宽类似物时，超图，有向图）已经是一个富有成效的研究途径，一个直接的，类别描述捕捉多个树宽一样的不变量尚未出现。在这里，我们报告我们最近的工作spined范畴（arXiv：2104.01841）：范畴配备了额外的结构，允许定义一个函子类似的树宽，三角形函子。通常的概念树宽恢复作为一个特殊的情况下，三角形函子的spined范畴与图作为对象和图的单态箭头。超图的树宽通常是由一个类似超图的三角化函子产生的。
Minimum degrees and codegrees of minimal Ramsey 3-uniform hypergraphs
一个均匀超图$H$称之为$k$ -Ramsey，对于一个超图$F$，如果无论如何用$k$给$H$的边着色，总有一个$F$的单色副本.如果$H$是$k$ -Ramsey for $F$，但$H$的每个真子超图不是，则称$H$是极小$k$ -Ramsey for $F$. Burr，Erdensys和Lovasz研究了极小Ramsey图的各种参数。本文主要研究极小Ramsey $3$ -一致超图的极小度和余度。证明了$K_t^{(3)}$的所有极小$k$ -Ramsey $3$ -一致超图的最小顶点度在$k$和$t$的某些多项式中是指数的.我们还研究了极小$2$ -Ramsey $3$ -一致超图上的最小可能最小余度.
A note on the Erdős-Hajnal hypergraph Ramsey problem
我们证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得下列成立。对于每个$n > 1$，存在一个在至少$2^{2^{cn^{1/4}}}$顶点上的5-一致超图，其独立数至多为$n$，其中每6个顶点的集合至多导出3条边.顶点数的双指数增长性是急剧的。利用前两个作者建立的一个阶上引理，对$k$ -一致超图证明了类似的尖锐结果。这回答了倒数第二个开放的情况下，一个猜想在拉姆齐理论所提出的埃尔德什和Hajnal在1972年。
Multicolor Ramsey numbers for triple systems
给定一个$r$ -一致超图$H$，Ramsey数$r_k(H)$是最小$n$，使得完全$r$ -一致超图$K_n^r$的边的每个$k$ -着色产生$H$的单色副本。当$k$增长而$H$固定时，我们研究$r_k(H)$。对于非平凡3-一致超图$H$，函数$r_k(H)$的范围是从$\sqrt{6k}(1+o(1))$到$k$中的双指数.我们观察到，$r_k(H)$是多项式的$k$时，$H$是$r$ -partite和至少单指数的$k$，否则。Erdés、Hajnal和Rado给出了大集团$K_s^r$与$s\ge s_0(r)$的界限，显示了它正确的指数塔增长。我们给出了一个证明集团的所有大小，$s>r$，使用轻微的修改著名的加强引理的Erdés和Hajnal。对于3-一致超图，我们给出了一个具有次双指数上界的无限族，并给出了图与超图Ramsey数之间的联系。具体来说，我们证明了$$r_k(K_3)\le r_{4k}(K_4^3-e)\le r_{4k}(K_3)+1,$$，其中$K_4^3-e$是从$K_4^3$删除一个边缘。我们提供了一些其他的界限，包括$F_5=\{abe,abd,cde\}$的单指数界限以及$H$是弓$\{abc,ade\}$，风筝$\{abc,abd\}$，紧路径$\{abc,bcd,cde\}$或风车$\{abc,bde,cef,bce\}$时$r_k(…
Explicit Bounds for Nondeterministically Testable Hypergraph Parameters
本文给出了一致超图参数的可测性与不确定可测性概念等价性的一种新的有效证明方法。我们提供了第一个有效的上限上的样本复杂性的任何非确定性可测试的$r$ -一致超图参数作为一个函数的样本复杂性的证人参数为任意$r$。这种依赖关系是一个指数塔函数的形式与高度线性$r$。我们的论证主要依赖于采样$r$ -一致超图的$r$ -割范数的新上界。我们也采用我们的方法对其他一些限制类的超图参数，并提出了一些应用。
Hypergraph Ramsey numbers of cliques versus stars
设$K_m^{(3)}$表示$m$顶点上的完全$3$ -一致超图，$S_n^{(3)}$表示$n+1$顶点上的$3$ -一致超图，它由所有与给定顶点关联的$\binom{n}{2}$边组成.而许多超图Ramsey数增长要么最多多项式或至少指数，我们表明，非对角Ramsey数$r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)})$表现出一个不寻常的中间增长率，即\[ 2^{c \log^2 n} \le r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)}) \le 2^{c' n^{2/3}\log n} \]的一些积极的常数$c$和$c'$。这些界限的证明带来了一个新的拉姆齐问题网格图可能是独立的利益：什么是最小$N$，使任何$2$ -边着色的笛卡尔产品$K_N \square K_N$包含一个红色矩形或蓝色$K_n$？
A family of extremal hypergraphs for Ryser's conjecture
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r{-}1$倍.这个猜想只对一般的$r\leq 3$成立，对$r\leq 5$在超图相交时成立。也有相当大的努力，寻找超图是极端的Ryser猜想，即$r$ -部超图的覆盖数是$r-1$倍，其匹配数。除了一些零星的例子，一组一致性$r$，其中Ryser的猜想是已知的紧是有限的，这些整数的顺序$r-1$的射影平面存在。本文构造了一类新的无穷族$r$ -一致超图，它是Ryser猜想的极值，只要有$r-2$阶的射影平面，它就存在.我们的构造是灵活的，足以产生大量的非同构的极值超图。特别地，我们定义了极交$r$ -部$r$ -一致超图的{ \em Ryser偏序集}，并证明了$\sqrt{r}$中极大和极小元的个数是指数的.这进一步证明了Ryser猜想的困难性。
Hypergraph Ramsey numbers with quasipolynomial growth rate
研究提出首个准多项式增长的超图Ramsey数实例，揭示其既非多项式也非指数增长的特性。
Separable and Equatable Hypergraphs
我们考虑一类{ \em可分} $k$ -超图和一类{ \em可等} $k$ -超图.我们证明了每个$k$ -超图要么是可分的，要么是可等的，但不是两者都是。我们提出了几个问题，问哪些类的可等（和可分）超图享有一定的吸引力的特征属性，这可以被看作是统一的类似物的$2$ -summable和$2$ -单调布尔函数的属性。特别是，我们介绍了{ \em交换矩阵}的属性，并表明所有这些有疑问的特征保持图，多部$k$超图的所有$k$，铺路$k$拟阵和二元$k$拟阵的所有$k$，和$3$拟阵，这都是等价的当且仅当它们是可交换的。我们还讨论了决定超图是否可分的复杂性，特别是，它需要指数时间铺设拟阵的独立预言机，并可以在多项式时间内这样的预言机提出的二元拟阵。
Hedgehogs are not colour blind
我们证明了一类$3$ -一致超图的性质：它们的$2$ -色Ramsey数以顶点数的多项式增长，而它们的$4$ -色Ramsey数以指数增长.这是第一个例子一类超图的拉姆齐数表现出强烈的依赖于颜色的数量。
Polynomial to exponential transition in Ramsey theory
给定$s \ge k\ge 3$，设$h^{(k)}(s)$是最小的$t$，使得存在任意大的$k$ -一致超图$H$，其独立数至多为顶点数的多对数，且其中每个$s$顶点至多跨越$t$边. Erd \H os和Hajnal（1972）证明$h^{(k)}(s)$可以用递归公式精确计算，Erd \H os提供了500美元的证明。对于$k=3$，这已经解决了许多$s$值，包括3的幂，但对于任何$k\geq 4$和$s\geq k+2$都不知道。这里我们解决了所有$s \ge k \ge 4$的猜想。我们还回答了Bhat和Rödl的一个问题，构造，为每个$k \ge 4$，一个拟随机序列的$k$ -一致超图的正密度和上密度至多$k!/(k^k-k)$。这个结果是尖锐的。
The growth rate of multicolor Ramsey numbers of $3$-graphs
本文研究了3-一致超图的多重色Ramsey数在颜色数趋于无穷时的增长行为，确定了其塔高并给出了多项式、指数或双指数增长的具体条件，回答了Axenovich等人提出的问题。
Bootstrap percolation in random $k$-uniform hypergraphs
我们研究了在$n^{-1}\ll n^{k-2}p \ll n^{-1/r}$范围内的二项$k$ -均匀随机超图$H_k(n,p)$上，当从给定大小的所有集合中均匀随机地选择初始感染点集时，具有感染阈值$r> 1$的自举渗流问题.我们建立了一个阈值，如果有较少的顶点在初始的一组感染的顶点，那么只有少数额外的顶点被感染，而如果初始的一组感染的顶点超过阈值，那么几乎所有的顶点被感染。此外，对于$k=2$，我们表明，失败的概率呈指数下降。
Additive induced-hereditary properties and unique factorization
我们证明了色超图的加法诱导遗传性质可以唯一分解为不可约因子。我们的建设和证明是如此普遍，它们可以用于任意具体类别的组合对象，我们提供了一些这样的组合对象的例子。
Percolation on hypergraphs and the hard-core model
本文通过凸松弛优化方法证明了两类最大度受限的k-均匀超图的点渗流阈值紧界，并结合分歧渗流改进硬核模型的唯一性阈值，进而为高效近似计数与采样算法提出新的计算阈值猜想。
3-uniform monotone paths and multicolor Ramsey numbers
本文研究3-均匀单调路径超图，建立三角形多色拉姆齐数与相应超图拉姆齐数之间的指数级上下界关系，从而将Erdős关于三角形多色拉姆齐数是否指数增长的经典问题等价转化为超图拉姆齐数的指数增长问题。
Waiter-Client and Client-Waiter colourability games on a $k$-uniform hypergraph and the $k$-SAT game
服务员-客户和客户-服务员博弈是两个玩家的完全信息博弈，没有机会移动，在有限集（板）上进行，具有称为获胜集的特殊子集。每一轮有偏见的$(1:q)$游戏开始时，服务员提供$q+1$以前无人认领的棋盘元素给客户，客户认领一个。剩余的$q$元素然后由Waiter声明。如果客户在所有棋盘元素都被提供时完全声称获胜，他在客户-服务员游戏中获胜，在服务员-客户游戏中失败。我们给出了一个估计的阈值偏差的$(1:q)$服务员-客户端和客户端-服务员版本的两个不同的游戏：非2-colourability游戏，发挥完整的$k$ -均匀超图，和$k$ -SAT游戏。特别是，我们表明，唯一的价值$q$的赢家的客户端-服务员版本的非2-colorability游戏的变化是$\frac{1}{n}\binom{n}{k}2^{-k(1+o_k(1))}$和，对于服务员-客户端版本，相应的价值$q$是$\frac{1}{n}\binom{n}{k}2^{Θ_k(k)}$。此外，我们表明，阈值偏差的服务员-客户端和客户端-服务员版本的$k$ -SAT游戏是$\frac{1}{n}\binom{n}{k}$的一个因素，是指数和多项式分别在$k$。这表明，这些游戏表现出“概率直觉”。
Spanning trees in random regular uniform hypergraphs
本文研究了随机正则均匀超图中生成树的存在性，建立了阈值结果，并给出了生成树数量的渐近分布，填补了此前仅知于特殊情形的空白。
Polynomial-to-exponential transition in 3-uniform Ramsey numbers
本文证明了Erdős和Hajnal于1972年提出的关于3-一致超图Ramsey数从多项式到指数转变的猜想对所有参数s成立，通过求解一个关于所有紧密分支均为三部图的超图的新型Turán型极值问题解决了所有剩余情形。
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