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无穷维凸区域上扰动Ornstein-Uhlenbeck半群的梯度估计

Gradient estimates for perturbed Ornstein-Uhlenbeck semigroups on infinite dimensional convex domains

Luciana Angiuli, Simone Ferrari, Diego Pallara

发表信息：
Journal of Evolution Equations 19(3):677-715, 2019
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AI总结：

本文研究了无穷维凸区域上扰动Ornstein-Uhlenbeck半群的逐点梯度估计，推导出对数Sobolev不等式、Poincaré不等式及可和性改进性质，并分析了半群的渐近行为。

摘要：

设 $X$ 为装备非退化中心高斯测度 $γ$ 的可分 Hilbert 空间，$λ_1$ 为与 $γ$ 相关的协方差算子的最大特征值。相关的 Cameron--Martin 空间记为 $H$。对于充分正则的凸函数 $U:X\to\mathbb{R}$ 和凸集 $Ω\subseteq X$，令 $ν:=e^{-U}γ$，考虑由自伴算子生成的半群 $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$，该算子通过二次型 \\[ (φ,ψ)\mapsto \int_Ω\langle D_Hφ,D_Hψ\rangle_Hdν, \\] 定义，其中 $φ,ψ$ 属于 $D^{1,2}(Ω,ν)$，即在 $L^2(Ω,ν)$ 中 $D_H$（沿 $H$ 方向的梯度算子）闭包定义域的 Sobolev 空间。通过适当的逼近过程，我们证明了 $(T_Ω(t))_{t\ge 0}$ 的一些逐点梯度估计。特别地，我们证明了对任意 $p\in [1,+\infty)$ 和 $f\in D^{1,p}(Ω,ν)$，有 \\[ |D_H T_Ω(t)f|_H^p\le e^{- p λ_1^{-1} t}(T_Ω(t)|D_H f|^p_H), \qquad\\, t>0,\\ ν\textrm{ -a.e. in }Ω. \\] 由此推导出该估计的若干重要推论，包括测度 $ν$ 在 $Ω$ 上的对数 Sobolev 不等式和 Poincaré 不等式，以及 $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$ 的可和性改进性质。此外，我们证明若 $f$ 属于某 $p\in(1,\infty)$ 的 $L^p(Ω,ν)$，则 \\[|D_H T_Ω(t)f|^p_H \leq K_p t^{-\frac{p}{2}} T_Ω(t)|f|^p,\qquad \\, t>0,\\ ν\text{-a.e. in }Ω,\\] 其中 $K_p$ 为仅依赖于 $p$ 的正常数。最后我们研究了 $t$ 趋于无穷时半群 $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$ 的渐近行为。

英文摘要：

Let $X$ be a separable Hilbert space endowed with a non-degenerate centred Gaussian measure $γ$ and let $λ_1$ be the maximum eigenvalue of the covariance operator associated with $γ$. The associated Cameron--Martin space is denoted by $H$. For a sufficiently regular convex function $U:X\to\mathbb{R}$ and a convex set $Ω\subseteq X$, we set $ν:=e^{-U}γ$ and we consider the semigroup $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$ generated by the self-adjoint operator defined via the quadratic form \[ (φ,ψ)\mapsto \int_Ω\langle D_Hφ,D_Hψ\rangle_Hdν, \] where $φ,ψ$ belong to $D^{1,2}(Ω,ν)$, the Sobolev space defined as the domain of the closure in $L^2(Ω,ν)$ of $D_H$, the gradient operator along the directions of $H$. A suitable approximation procedure allows us to prove some pointwise gradient estimates for $(T_Ω(t))_{t\ge 0}$. In particular, we show that \[ |D_H T_Ω(t)f|_H^p\le e^{- p λ_1^{-1} t}(T_Ω(t)|D_H f|^p_H), \qquad\, t>0,\ ν\textrm{ -a.e. in }Ω, \] for any $p\in [1,+\infty)$ and $f\in D^{1,p}(Ω,ν)$. We deduce some relevant consequences of the previous estimate, such as the logarithmic Sobolev inequality and the Poincaré inequality in $Ω$ for the measure $ν$ and some improving summability properties for $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$. In addition we prove that if $f$ belongs to $L^p(Ω,ν)$ for some $p\in(1,\infty)$, then \[|D_H T_Ω(t)f|^p_H \leq K_p t^{-\frac{p}{2}} T_Ω(t)|f|^p,\qquad \, t>0,\ ν\text{-a.e. in }Ω,\] where $K_p$ is a positive constant depending only on $p$. Finally we investigate on the asymptotic behaviour of the semigroup $(T_Ω(t))_{t\geq 0}$ as $t$ goes to infinity.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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