Hypergraph matchings and designs
Peter Keevash
我们调查超图的完美匹配问题的一些方面，特别强调稠密超图的存在性问题的结构特征和设计的存在性。
We survey some aspects of the perfect matching problem in hypergraphs, with particular emphasis on structural characterisation of the existence problem in dense hypergraphs and the existence of designs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the spectral radii of the unicyclic hypergraphs with fixed matching number
在所有匹配数至少为$z$的连通$k$ -均匀（$k\geq 3$）单圈超图和所有匹配数为给定的连通$k$ -均匀（$k\geq 3$）单圈超图中，分别确定了具有最大谱半径的唯一超图.
Matchings in balanced hypergraphs
本文给出了König定理的一个新的证明，并将Gallai-Edmonds分解以两种不同的方式推广到平衡超图上。在此基础上给出了平衡超图的两个新的刻画，并给出了平衡超图的匹配和点覆盖的一些性质。
Fractional matching in hypergraphs
当$sn$为整数时，给出了保证基数$s$分数匹配的超图的最小边数的精确公式。
Counterexamples on matchings in hypergraphs and full rainbow matchings in graphs
如果存在一个匹配的$M$，它恰好包含每种颜色的一条边，则边被着色（不一定正确）的图$G$包含全彩虹匹配。我们驳斥了Aharoni和Berger等人关于超图中的匹配和图中的全彩虹匹配的几个论点。
Matching criticality in intersecting hypergraphs
超图$H$中的一个匹配是$H$中的一组成对顶点不相交的边，$H$的匹配数是$H$中一个匹配的最大基数。$H$中的断面是$H$中顶点的子集，它与$H$的每条边都有非空交集。$H$的断面数$τ(H)$是$H$中断面的最小基数。一个超图$H$是一个交超图，如果$H$的每两个不同的边有一个非空的交集。等价地，$H$是相交超图当且仅当它有匹配数1。本文研究了匹配临界交超图的极值性态。部分解决了Henning和Yeo提出的临界交超图匹配问题。对于相交的$r$ -一致超图，我们也证明了这个结果的一个加强.
Large 2-coloured matchings in 3-coloured complete hypergraphs
本文证明了关于3色完全3一致超图中大2色匹配的一个推广的Ramsey型结果，支持了A. Gyárfás。
On the Maximum Number of Edges in a Hypergraph with a Unique Perfect Matching
本文给出了$k$ -一致超图$k\ge 3$在唯一完美匹配下的最大边数.这解决了Snevily提出的一个猜想。
Perfect fractional matchings in k-out hypergraphs
推广了（随机）$k$ -out图的概念，考虑了当$k$ -out超图可能有完美分数匹配时的情形。特别地，我们证明了对于每个$r$，存在一个$k=k(r)$，使得在$n$顶点上的$k$ -out $r$ -uniform超图具有高概率的完美分数匹配（即，概率趋于$1$为$n\to \infty$），并证明了$r$ -一致$r$ -部超图的一个类似结果.这是基于一个新的概念超图扩展和观察，充分膨胀超图承认完美的分数匹配。作为进一步的应用，我们给出了一个简短的证明停止时间的结果最初由于Krivelevich。
Larger matchings and independent sets in regular uniform hypergraphs of high girth
本文分析了两种算法，分别用于在大围长的 $k$-一致 $d$-正则超图上生成匹配和独立集，从而获得了此类超图中最大匹配或独立集大小的新下界。
A note on perfect matchings in uniform hypergraphs
当完美分数匹配的阈值显著小于$\frac{1}{2} \binom{n}{k- \ell}$时，我们确定了$k$ -一致超图中完美匹配的\emph{exact}最小$\ell$ -度阈值.这扩展了我们以前的结果，确定最小$\ell$度阈值完美匹配的$k$ -均匀超图的所有$\ell\ge k/2$，并提供了两个新的（确切的）阈值：$(k,\ell)=(5,2)$和$(7,3)$。
On Erdos' extremal problem on matchings in hypergraphs
1965年Erdans证明了n阶k-一致超图中最大匹配有s条边的边数对于两种特殊类型之一的超图是最大化的。当k=3并且n足够大时，我们肯定地解决了这个猜想。
Pseudorandom hypergraph matchings
Pippenger的一个著名定理指出，任何具有小余度的几乎正则超图都有几乎完美匹配。我们表明，可以找到这样一个几乎完美的匹配，这是“伪随机”，这意味着，例如，匹配包含尽可能多的边缘从一个给定的一组边缘预测的启发式参数。
On hypergraph Turán problems with bounded matching number
针对匹配数有界的超图场景，本文开展类似Turán问题的研究，得到若干精确结果，拓展了Alon、Frankl与Gerbner在普通图领域的相关研究。
Perfect matchings in 3-partite 3-uniform hypergraphs
设$H$是一个$3$ -分$3$ -一致超图，即一个$3$ -一致超图，使得每条边与每个划分类相交于恰好一个顶点，每个划分类的大小为$n$。我们确定了$3$ -部$3$ -一致超图中完美匹配的Dirac型顶点度阈值。
Minimal Number of Edges in Hypergraph Guaranteeing Perfect Fractional Matching and MMS Conjecture
证明了Ahlswede-Khachatrian猜想.从这个猜想得出其他几个猜想，包括Manickam-Miklós-Singhi猜想。
On the Maximum Number of Edges in a Hypergraph with Given Matching Number
证明了n阶3-一致超图的最大边数为max{ \binom（3s+2，3），\binom（n，3）-\binom（n-s，3）}，其中n，s，n ≥ 3s+2.
Rainbow matchings in properly-colored hypergraphs
一个超图$H$是适当着色的，如果对于每个顶点$v\in V(H)$，所有关联到$v$的边都有不同的颜色。本文证明了如果$H_{1}$，\cdots，$H_{s}$是$n$顶点上的适当着色的$k$ -一致超图，其中$n\geq3k^{2}s$，和$e(H_{i})>{{n}\choose {k}}-{{n-s+1}\choose {k}}$，则存在大小为$s$的彩虹匹配，包含来自每个$H_i$的一条边.这推广了Erdans匹配猜想的一些结果。
Exact minimum degree thresholds for perfect matchings in uniform hypergraphs II
给定正整数k \geq 3和r，其中k/2 \leq r \leq k-1，我们给出了k-一致超图中保证完美匹配的最小r-度条件.这个条件是最好的可能和改进的工作Pikhurko谁给了一个渐近精确的结果。我们的方法利用了吸收方法，并建立在“均匀超图中完美匹配的精确最小度阈值”的基础上，在那里我们证明了k可被4整除的结果。
Perfect Matchings in Hypergraphs and the Erdős matching conjecture
本文证明了当$d$.因此，这确定了当$0.42k \le d < k/2$或当$(k,d)=(12,5)$或$(17,7)$时阈值的精确值。我们的方法是给出一个上界的Erdés匹配猜想和转换的结果的最小$d$度设置的Kühn，Osthus和Townsend的方法。为了获得精确的阈值，我们还应用Treglown和Zhao的结果。
Near Perfect Matchings in $k$-uniform Hypergraphs II
设$k\nmid n$和$H$是一个$n$ -点$k$ -一致超图. $H$中的接近完美匹配是大小为$\lfloor n/k\rfloor$的匹配。我们给出了一个整除障碍的结构，以防止在$H$中存在的近完美匹配。这推广了完美匹配的可分性障碍。我们给出了一个猜想的最小$d$度阈值迫使（近）完美匹配$H$，推广了一个著名的猜想完美匹配。我们还验证了我们的猜想在各种情况下。我们的证明利用了作者最近使用的基于格的吸收方法来解决超图的匹配和平铺的其他两个问题。
Fractional and integer matchings in uniform hypergraphs
我们的主要结果改进了Markstrom和Rucinski关于n阶k-一致超图的最小d-度的界，使得n阶k-一致超图中的最小d-度是完美匹配。通过渐近地确定n阶k-一致超图中匹配大小为t < n/2（k-1）的最小顶点度，推广了Bollobas，Daykin和Erdos的界.进一步渐近紧的结果，迫使大匹配的d度也得到了。我们的方法是证明上述结果的分数版本，然后将其转换为整数版本。
Co-degree threshold for rainbow perfect matchings in uniform hypergraphs
令$k$和$n$是两个整数，其中$k\geq 3$、$n\equiv 0\pmod k$和$n$足够大。我们确定了$n$ -顶点$k$ -一致超图中彩虹完美匹配存在的$(k-1)$ -度阈值.这意味着Rödl，Ruciski和Szemerédi关于$n$ -顶点$k$ -一致超图中完美匹配存在的$(k-1)$ -度阈值的结果。在我们的证明中，我们确定了封闭性的极值配置，并考虑超图是否接近极值配置。此外，我们还发展了一种新的吸收装置，并推广了Rödl，Rucibrski和Szemerédi的吸收引理。
A note on colour-bias perfect matchings in hypergraphs
该研究将2着色图中保证显著色偏完美匹配存在的最小度阈值结果推广至k一致超图，确定了r着色k一致超图中对应最小ℓ度阈值。
Decision problem for Perfect Matchings in Dense k-uniform Hypergraphs
Keevash，Knox和Mycroft构造了一个多项式时间算法来判定最小余度至少为$n/k+γn$的$n$ -顶点$k$ -一致超图中完美匹配的存在性.本文证明了一个结构定理，它使我们能够确定任何最小余度至少为$n/k$的$k$ -一致超图的完美匹配的存在性。这完全解决了Karpienski，Rucienski和Szymaenska的问题。我们的证明使用了基于格的吸收方法。
The maximal spectral radius of the uniform unicyclic hypergraph with perfect matchings
设$\mathcal{U}(n,k)$和$Γ(n,k)$分别是与$n$顶点具有完美匹配的$k$ -一致线性和非线性单圈超图的集合，其中$n\geq k(k-1)$和$k\geq 3$ .利用变换技巧和构造超图的关联矩阵，得到了三类超图中具有最大谱半径的超图，即具有$n= 2k(k-1)$和$n\geq 9k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)$，具有$n\geq k(k-1)$的$Γ(n,k)$，以及具有$n\geq 2k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)\cup Γ(n,k)$，其中$k\geq 3$ .
The size of a hypergraph and its matching number
40多年前，Erdegan证明了对任意T <= N/K，N个顶点上的K一致超图中不存在T条不相交边，最多有{ \binom{KT-1}{K}，\binom{N}{K} - \binom{N-T+1}{K} }条边.虽然这似乎是超图图兰问题的一个基本实例（用T边匹配作为排除超图），但这个问题的进展仍然难以捉摸。在本文中，我们证明了这一猜想对所有T < N/（3K^2）。这改进了先前已知的最佳范围T = O（N/K^3），该范围可以追溯到20世纪70年代。
Note on power hypergraphs with equal domination and matching numbers
本文通过构造反例反驳了幂超图与广义幂超图中支配数等于匹配数的两个近期结论，指出原证明缺陷并提出修正思路。
The Maximum Number of Cliques in Hypergraphs without Large Matchings
设$[n]$表示集合$\{1, 2, \ldots, n\}$，$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,a}$是顶点集$[n]$上的$r$ -一致超图，其边集由$[n]$的所有$r$ -元素子集组成，其中$[n]$的所有$r$ -元素子集至少包含$[ak+a-1]$中的$a$顶点.对于$n\geq 2rk$，Frankl证明了$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,1}$使$n$上的$r$ -一致超图的边数最大化，且匹配数至多为$k$ . Huang，Loh和Sudakov考虑了Erdés匹配猜想的多色版本，并提供了多色超图包含大小为$k$的彩虹匹配的边数的充分条件。本文证明了$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,a}$使得$r$ -一致超图中$s$ -团的个数在$n$顶点上最大化，并且对于足够大的$n$，匹配数至多为$k$，其中$a=\lfloor \frac{s-r}{k} \rfloor+1$ .我们还得到了多色$r$ -均匀超图中含有$k$大小的彩虹匹配的$s$ -类个数的一个条件，当$s=r$ .
On the Matching Problem in Random Hypergraphs
本文研究随机超图中 Erdős 匹配问题的变体，证明在适当参数条件下，匹配数为 s 的子超图最大边数由平凡构造取得，从而刻画了极值结构。
Rainbow matchings for 3-uniform hypergraphs
Kühn，Osthus，Treglown和独立，汗证明，如果$H$是一个$3$ -均匀超图与$n$顶点，使$n\in 3\mathbb{Z}$和大，和$δ_1(H)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$，那么$H$包含完美匹配。本文证明了对充分大的$n\in 3\mathbb{Z}$，如果$F_1, \ldots, F_{n/3}$是具有公共顶点集的3-一致超图，而$δ_1(F_i)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$是$i\in [n/3]$的3-一致超图，则$\{F_1,\dots, F_{n/3}\}$允许彩虹匹配，即，由来自每个$F_i$的一个边缘组成的匹配。这是通过将彩虹匹配问题转换为一类特殊的均匀超图中的完美匹配问题来实现的。
Exact minimum degree thresholds for perfect matchings in uniform hypergraphs
给定正整数k和r，其中4整除k且k/2 \leq r \leq k-1，我们给出了k-一致超图中保证完美匹配的最小r-度条件.这个条件是最好的可能和改进的工作Pikhurko谁给了一个渐近精确的结果。我们的方法利用吸收的方法，以及超图删除引理和Keevash和Sudakov的结构结果有关的图兰数的扩展三角形。
Extremal hypergraphs for matching number and domination number
超图$\mathcal{H}$中的匹配是一组两两不相交的超边。$\mathcal{H}$的匹配数$ν(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$中的最大匹配的大小。$\mathcal{H}$的顶点子集$D$是$\mathcal{H}$的控制集，如果对于每个$v\in V\setminus D$，存在$u\in D$使得$u$和$v$位于$\mathcal{H}$的超边中。$\mathcal{H}$的最小控制集的基数是$\mathcal{H}$的控制数，记为$γ(\mathcal{H})$。证明了$r$-一致超图的$γ(\mathcal{H})\leq (r-1)ν(\mathcal{H})$和达到相等$γ(\mathcal{H})=ν(\mathcal{H})$的2-一致超图（图）的特征.本文将不等式$γ(\mathcal{H})\leq (r-1)ν(\mathcal{H})$推广到任意秩为$r$的超图，并完全刻画了秩为$3$的极超图$\mathcal{H}$达到等式$γ(\mathcal{H})=(r-1)ν(\mathcal{H})$.
Matchings in 3-uniform hypergraphs
我们确定了3-一致超图中保证完美匹配的最小顶点度。更精确地说，假设H是一个充分大的3-一致超图，其阶n可被3整除。如果H的最小顶点度大于\binom{n-1}{2} - \binom{2n/3}{2}，则H包含完美匹配。这个界是紧的，并且回答了Han，Person和Schacht的一个问题.更一般地，我们表明，H包含一个匹配的大小为d \le n/3，如果它的最小顶点度大于\binom{n-1}{2} - \binom{n-d}{2}，这也是最好的可能。这推广了Bollobas，Daykin和Erdos的一个结果.
Vertex degree sums for perfect matchings in 3-uniform hypergraphs
在无孤立点的3-图中，确定了保证完美匹配的两个邻顶点的最小度和。更准确地说，假设$H$是一个3-一致超图，其阶$n$足够大并且可被$3$整除。如果$H$不包含孤立顶点，并且对于包含在$H$的某条边中的任意两个顶点$u$和$v$，$deg(u)+ deg(v) > \frac{2}{3}n^2-\frac{8}{3}n+2$，则$H$包含完美匹配.这个界限很紧.
Near perfect matchings in uniform hypergraphs
本文研究了一致超图中存在大匹配的度条件。证明了对于$k\ge 3$，$k/2<l<k$，$n$大的整数$k,l,n$，如果$H$是$n$顶点和$δ_{l}(H)>{n-l\choose k-l}-{(n-l)-(\lceil n/k \rceil-2)\choose 2}$上的$k$ -一致超图，则$H$有一个匹配覆盖除常数个顶点外的所有顶点.当$l=k-2$和$k\ge 5$，这样的匹配是接近完美的，我们对$δ_l(H)$的界是最好的可能。当$k=3$，在Hán，Person和Schacht的吸收引理的帮助下，我们的证明也意味着$H$具有完美匹配，K uhn，Osthus和Treglown以及Kahn独立证明了这一结果。
Co-degrees resilience for perfect matchings in random hypergraphs
本文证明了二项$k$ -一致超图模型$H_{n,p}^k$关于完美匹配的最优余度弹性性质。也就是说，对于一个足够大的$n$是可分的$k$，和$p\geq C_k\log_n/n$，我们证明了，以高概率的每一个子图$H\subseteq H^k_{n,p}$与最小的co-degree（这意味着，超集的数量，每一组的大小$k-1$包含在）至少$(1/2+o(1))np$包含一个完美的匹配。
Packing perfect matchings in random hypergraphs
我们介绍了一个新的程序生成的二项随机图/超图模型，称为\emph{online sprinkling}。作为该方法的一个示例性应用，我们证明了对于任意固定的整数$k\geq 3$，二项式$k$ -均匀随机超图$H^{k}_{n,p}$包含$N:=(1-o(1))\binom{n-1}{k-1}p$边不相交的完美匹配，条件是$p\geq \frac{\log^{C}n}{n^{k-1}}$，其中$C:=C(k)$是只依赖于$k$的整数.我们的结果为$N$是渐近最佳的最佳和$p$是最佳的$polylog(n)$因素。
Near Perfect Matchings in $k$-uniform Hypergraphs
设$H$是一个关于$n$顶点的$k$ -一致超图，其中$n$是一个不能被$k$整除的足够大的整数.证明了如果$H$的最小$(k-1)$ -度至少为$\lfloor n/k \rfloor$，则$H$包含一个有$\lfloor n/k\rfloor$边的匹配.这证实了Rödl、Rucienski和Szemerédi的猜想，他们证明了最小的$(k-1)$ -度$n/k+O(\log n)$就足够了。更一般地说，我们表明，$H$包含匹配的大小$d$，如果其最小的codegree是$d<n/k$，这也是最好的可能。
Rainbow perfect matchings for 4-uniform hypergraphs
设$n$是一个足够大的整数，其中$n\equiv 0\pmod 4$和$F_i \subseteq{[n]\choose 4}$，其中$i\in [n/4]$。我们证明了如果$F_i$的每个顶点包含在多于${n-1\choose 3}-{3n/4\choose 3}$的边中，则$\{F_1, \ldots ,F_{n/4}\}$允许彩虹匹配，即，由每个$F_i$的一条边组成的一组$n/4$边。这推广了Khan关于4-一致超图中完美匹配的一个深入结果。
Discrepancies of perfect matchings in hypergraphs
该研究确定了 r 边着色 k-一致超图中高差异度完美匹配的最小度阈值，并借助新的多色超图族回答了关于 3-一致超图的开放问题。
The $r$-coloring and maximum stable set problem in hypergraphs with bounded matching number and edge size
受图中类似问题的启发，我们研究了具有禁止子结构和有界边的超图的着色和独立集问题的复杂性。设$ν(G)$表示$H$中匹配的最大尺寸，我们得到了以下问题复杂性的完全二分法：$r$ -边尺寸至多为$k$和$ν(G) \leq s$的超图$G$的着色，$r$ -$k$中的预着色扩展-$G$和$ν(G) \leq s$的一致超图$G$; $r$ -边长至多为$k$和$ν(G) \leq s$的超图$G$的预着色扩充; $k$ -具有$ν(G) \leq s$的一致超图$G$的最大独立集; $k$ -具有$ν(G) \leq s$的一致超图的最大权独立集;以及$k$ -一致超图$ν(G) \leq s$中$r$ -着色的部分结果。然后，我们把我们的注意力转移到PDMATHAMT-着色的3-一致超图与禁止诱导子超图，并给出了一个多项式时间的算法时，限制输入的超图不包括一个固定的单边超图。最后，我们考虑线性3-一致超图（其中每两条边最多共享一个顶点），并证明了在$G$中排除一个诱导匹配意味着$ν(G)$有界于一个常数;以及具有$ν(G) \leq 532$的$3$ -着色线性$3$ -一致超图$G$是NP-困难的。
Degree versions of the Erdos-Ko-Rado Theorem and Erdos hypergraph matching conjecture
我们用代数方法证明了著名的Erd \H os-Ko-Rado定理的一个度版本：给定$n>2k$，每个相交的$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上包含一个顶点，该顶点位于至多$\binom{n-2}{k-2}$边上。这个结果可以看作是一个特殊的情况下的度版本的一个著名的猜想Erdens超图匹配。改进了1976年Bollobás，Daykin和Erd \H os的工作，证明了给定整数$n, k, s$和$n\ge 3k^2 s$，每个$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上的最小顶点度大于$\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-s}{k-1}$，包含$s$不交边.
The Tight Cut Decomposition of Matching Covered Uniformable Hypergraphs
完美匹配多面体，即图的完美匹配（的关联向量）的凸包，在许多组合算法中被使用。Kotzig，Lovász和Plummer发展了一个分解理论，用于具有完美匹配的图及其对应的多面体，称为紧切分解，它将每个图分解为许多不可分解的图，所谓的砖块。对于具有完美匹配的图的许多感兴趣的性质，包括完美匹配多面体的描述，考虑这些砖块就足够了。Lovász关于紧割分解的一个关键结果是，在紧割分解过程中，获得的砖列表是相同的，与紧割的选择无关。这意味着找到一个紧割分解是多项式时间等价于找到一个单一的紧割。我们推广的概念，紧切，紧切收缩和紧切分解超图。通过一个例子，我们证明了一般超图的紧割分解的结果不再是唯一的。然而，我们能够证明的唯一性的紧割分解保持轻微的推广均匀超图。此外，我们展示了如何紧割分解导致分解的完美匹配多面体的均匀超图和识别问题的紧割均匀超图是多项式时间可解的。
The size of $3$-uniform hypergraphs with given matching number and codegree
确定具有给定图参数的$r$ -图的大小是一个有趣的问题。Chvátal和Hanson（JCTB，1976）给出了具有限制最大度和匹配数的2-图的大小的紧上界; Khare（DM，2014）研究了具有限制匹配数和最大度的线性$3$ -图的相同问题。本文给出了具有有界余度和匹配数的$3$ -图的大小的一个紧上界。
Colour-bias perfect matchings in hypergraphs
研究边着色超图含多于平凡保证数量单色边的子结构条件，在最小度条件下解决完美匹配问题，回答了相关近期问题。
Domination, matching and transversal numbers for Berge-$G$ hypergraphs
该研究定义了图G的膨胀这一非均匀Berge-G超图子族，探究其控制数、匹配数与横贯数及参数间关系，推广了广义幂超图的已有结果。
Conflict-free hypergraph matchings
Pippenger、Frankl和Rödl的一个著名定理指出，每个最大余度小的几乎正则一致超图$\mathcal{H}$都有一个几乎完美匹配。我们通过获得"无冲突"匹配来扩展这个结果，其中冲突通过子集$C\subseteq E(\mathcal{H})$的集合$\mathcal{C}$来编码。如果$\mathcal{M}$不包含$\mathcal{C}$的元素作为子集，则我们说匹配的$\mathcal{M}\subseteq E(\mathcal{H})$是无冲突的。在对$\mathcal{C}$的自然假设下，证明了$\mathcal{H}$具有无冲突的几乎完美匹配.这有许多应用，其中之一产生新的渐近结果为所谓的“高围长”施泰纳系统。我们的主要工具是一个随机的贪婪算法，我们称之为"无冲突匹配过程"。
A natural barrier in random greedy hypergraph matching
设$r \ge 2$为固定常数，$ {\mathcal H}$为$N$上的$r$ -一致，$D$ -正则超图.进一步假设$ D \to \infty$为$N \to \infty$，并且${\mathcal H}$中的顶点对的度数至多为$L$，其中$L \ = D/ (\log N)^{ω(1)}$。我们考虑在$ \mathcal{H}$中形成匹配的随机贪婪算法。我们通过迭代地随机均匀选择匹配中的边，并删除与所选边共享至少一个顶点的所有边，然后继续进行下一个选择，来随机选择匹配。当图中没有剩余的边时，该过程终止。我们表明，以高概率的$ {\mathcal H}$的顶点的比例不饱和的最终匹配是最多$ (L/D)^{ \frac{ 1}{ 2(r-1) } + o(1) } $。这一点是分析随机贪婪超图匹配过程的一个天然障碍。
On the rainbow matching conjecture for 3-uniform hypergraphs
Aharoni和Howard，以及Huang、Loh和Sudakov分别提出了Erdabos匹配猜想的彩虹版本：对于正整数$n,k,m$和$n\ge km$，如果每个$F_1,\ldots, F_m\subseteq {[n]\choose k}$族的大小都大于$\max\{\binom{n}{k} - \binom{n-m+1}{k}, \binom{km-1}{k}\}$，则存在两两不相交的子集$e_1,\dots, e_m$，使得对于所有$i\in [m]$都有$e_i\in F_i$。我们证明了存在一个绝对常数$n_0$，使得这个彩虹版本对$k=3$和$n\geq n_0$成立。我们将彩虹匹配问题转化为一个特殊超图$H$上的匹配问题。然后，我们结合了几个现有的技术匹配均匀超图：找到一个吸收匹配$M$在$H$ ;使用阿隆等人的随机化过程。找到一个几乎正则子图的$H-V(M)$ ;并找到一个几乎完美的匹配在$H-V(M)$。为了完成这个过程，我们还需要证明一个关于3-一致超图中匹配的新结果，这个结果可以被看作是Jumuczak和Mieczkowska的结果的稳定性版本，并且可能是独立的。
Vertex degree sums for matchings in 3-uniform hypergraphs
令$n, s$是正整数，使得$n$足够大，并且$s\le n/3$。设$H$是一个3-一致的阶为$n$的超图.如果$H$不包含孤立的顶点，并且对于包含在$H$的某个边中的任何两个顶点$u$和$v$，有$deg(u)+ deg(v) > 2(s-1)(n-1)$，则$H$包含大小为$s$的匹配。这种度和条件是最好的可能性，并证实了作者的猜想[电子。25（3），2018]，谁证明了案件时，$s= n/3$ .
Polynomial-time perfect matchings in dense hypergraphs
设$H$是$n$顶点上的$k$ -图，对于某个固定的$c > 0$，其最小余度至少为$n/k + cn$.在本文中，我们构造了一个多项式时间算法，找到一个完美的匹配$H$或证书，不存在。这基本上解决了Karpienski，Rucienski和Szymaenska的问题; Szymaenska以前证明了这个问题对于$n/k - cn$的最小余度是NP困难的。我们的算法依赖于一个理论结果的独立利益，在其中，我们将任何这样的超图没有完美的匹配使用一个家庭的基于格的建设。
The terminal leave in random greedy hypergraph matching
针对随机去三角过程的终端图，该研究证明了其边数与n^(3/2)比值的极限结果，并推广到严格k-平衡k-超图，核心工具是近正则均匀超图中随机贪心匹配的相关定理。
Conflict-free Hypergraph Matchings and Coverings
研究在超图中构造无冲突几乎完美匹配，并扩展为覆盖特定顶点子集的匹配，为广义拉姆齐理论提供简化证明的黑箱工具。
The Matching Process and Independent Process in Random Regular Graphs and Hypergraphs
在本文中，我们分析了稀疏随机图和具有给定度序列的超图上的两个随机贪婪过程。首先我们分析匹配过程，它一次建立一个不相交的边的集合;然后我们分析独立过程，它一次建立一个独立集的顶点。我们使用微分方程的方法和应用一般定理的Warnke。我们的主要贡献是显着减少了相关的系统的微分方程和简化的匹配或独立集的最终大小的表达式。
Tensor Spectral Stability for Uniform Hypergraphs with Bounded Matching Number
研究具有有界匹配数的均匀超图的张量谱稳定性，通过建立定理证明匹配数至多为$\beta$且张量谱半径接近最大值的超图在结构上接近极值超图$S_{n,k,\beta}$，还应用此结果为厄尔多斯匹配猜想谱版本给出新证明。
Independence and Matchings in $σ$-hypergraphs
设$σ$是正整数$r$的一个划分。$σ$ -超图$H=H(n,r,q|σ)$是$nq$顶点上的$r$ -一致超图，这些顶点被划分为$n$类$V_1, V_2, \ldots, V_n$，每个类包含$q$顶点.如果由非零基数$|K\cap V_i|, 1\leq i \leq n,$形成的$r$的划分是$σ$，则顶点的$r$ -子集$K$是超图的边.在早期的作品中，我们已经考虑了着色的顶点$H$的约束，使任何边缘至少有$α$和最$β$顶点相同的颜色，我们已经表明，有趣的结果可以通过改变$α, β$和$H$的参数适当。在本文中，我们继续研究的通用性$σ$ -超图考虑两个经典的问题：独立性和匹配。我们首先证明了一个有趣的链接之间的约束着色和$k$ -独立数的超图，也就是说，最大的基数的顶点子集的超图不包含$k+1$顶点在同一条边。我们还给出了$σ$ -超图$H$的$k$ -独立数的精确计算.然后，我们提出的结果最大，有时完美，匹配$H$。这些结果往往取决于$H$的参数之间的可分性关系和$σ$的部分的最高公因子。
Full rainbow matchings in graphs and hypergraphs
设$G$是一个单图，它的边用$m$颜色着色，$\M=\{M_1,\ldots, M_m\}$是由$G$中的颜色诱导的$m$匹配的集合。假设$m\le n-n^{c}$（其中$c>9/10$）和$\M$中的每个匹配的大小为$n$。则$G$包含完整的彩虹匹配，即\对于每个$1\le i\le m$，包含来自$M_i$的恰好一个边缘的匹配。这回答了Pokrovskiy的一个公开问题，并对Aharoni和Berger猜想的特殊情况的概括给出了肯定的回答。相关的结果也被发现与边的有界重，超图。最后，我们提供了反例的几个完整的彩虹匹配Aharoni和Berger。
Entropy Bounds for Perfect Matchings in Bipartite Hypergraphs
本文研究了双图超图中完美匹配的数量上限，证明了在最大余度较小的均匀超图中，A-完美匹配的数量上限，并利用该结果证明了当n为奇数且n≡0 mod 3时，存在阶数为n的拉丁方，其至多有(n/e^{2.117})^n个transversals，同时展示了k-均匀D-正则超图的proper q-边着色数量上限。
A Spectral Confirmation of the Erdős Matching Conjecture
研究埃尔德什匹配猜想的谱对应问题，通过移位方法、超图分解等确定匹配数小于\(s\)的\(n\) - 顶点\(r\) - 均匀超图最大谱半径，刻画极值超图，推广结果到一般超图，得出相关定理及推论。
Reconstructing hypergraph matching polynomials
利用Godsil等式的超图类比，本文证明了可从特定大小导出子超图多重集重构任意一致超图的匹配多项式，推广了Godsil的图结论，并证明了所需顶点数的下界最优性。
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