We study approximations of compact linear multivariate operators defined over Hilbert spaces. We provide necessary and sufficient conditions on various notions of tractability. These conditions are mainly given in terms of sums of certain functions depending on the singular values of the multivariate problem. They do not require the ordering of these singular values which in many cases is difficult to achieve.
On the power of standard information for tractability for $L_2$-approximation in the average case setting
我们研究多元近似的平均情况下设置的加权$L_2$规范测量的错误。我们考虑使用标准信息$Λ^{\rm std}$组成的函数值或一般线性信息$Λ^{\rm all}$组成的任意连续线性泛函的算法。我们调查的等价性的各种概念的代数和指数的易处理性$Λ^{\rm std}$和$Λ^{\rm all}$的绝对误差准则，并表明，权力的$Λ^{\rm std}$是相同的$Λ^{\rm all}$的所有概念的代数和指数的易处理性没有任何条件。具体地说，我们解决了开放问题116-118，并几乎解决了E.Novak和H. Woecomniakowski在书中提出的开放问题115：Tractability of Multivariate Problems，Volume III：Standard Information for Operators，EMS Tracts in Mathematics，Zürich，2012。
On the power of standard information for tractability for $L_2$-approximation in the randomized setting
本文研究了随机环境下多元函数在可分希尔伯特空间中的逼近问题，其误差在加权$L_2$范数下度量。我们考虑使用标准信息$Λ^{\rm std}$组成的函数值或一般线性信息$Λ^{\rm all}$组成的任意线性泛函的算法。我们使用加权最小二乘回归算法来获得最小随机误差的上估计，使用$Λ^{\rm std}$。我们调查的各种概念的代数和指数的易处理性$Λ^{\rm std}$和$Λ^{\rm all}$的归一化或绝对误差标准的等效性。我们表明，在随机设置的归一化或绝对误差准则，权力的$Λ^{\rm std}$是相同的$Λ^{\rm all}$的指数和代数的易处理性的所有概念，没有任何条件。具体地说，我们解决了E.Novak和H. Woerenniakowski在书中提出的四个开放问题98，100-102：Tractability of Multivariate Problems，Volume III：Standard Information for Operators，EMS Tracts in Mathematics，Zürich，2012。
Notes on $(s,t)$-weak tractability: A refined classification of problems with (sub)exponential information complexity
University of Warsaw, Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics（华沙大学数学、信息学与力学学院）；Philipps-University Marburg, Faculty of Mathematics and Computer Science（马尔堡菲利普斯大学数学与计算机科学系）
