The integer group determinants for the symmetric group of degree four
Christopher Pinner
对于对称群$S_4$，当矩阵元素为整数时，我们确定了它的群行列式所取的所有整数值。
For the symmetric group $S_4$ we determine all the integer values taken by its group determinant when the matrix entries are integers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Integer group determinants for small groups
对于任意阶不超过14的群，我们确定了当其变量为整数时，其群行列式所取的值。
The integer group determinants for the non-abelian groups of order 18
本研究针对18阶非阿贝尔群的整群行列式问题，完成了对该类群整群行列式的完整描述，填补了相关数论研究的空白。
Integer circulant determinants of order 15
当$n$是两个不同的奇素数$p,q$的乘积时，我们考虑整数元的$n\times n$循环行列式的取值.这些对应于$\mathbb Z_{pq}$的整数群行列式，即$pq$阶循环群。我们表明，$p^2$和$q^2$是不是决定因素（更一般地说，我们表明，经典的必要整除条件是从来没有充分时，$n$包含至少两个奇素数）。我们得到了$\mathbb Z_{15}$（最小不可分辨群）的整数群行列式的完整描述和一般$n=3p.$的部分结果
The integer group determinants for the abelian groups of order 18
本文完整描述了18阶两个阿贝尔群的整数群行列式，包括循环行列式情形，从而完成了对小于20阶群的研究。
A uniform formula on the number of integer matrices with given determinant and height
本文针对行列式为Δ且元素绝对值不超过H的2×2整数矩阵，得到了其数量的渐近公式，且该公式对Δ相对于H的大范围取值具有一致性。
The Integer group determinants for the Heisenberg group of order $p^3$
建立了$p^3$阶非交换Heisenberg群的整群行列式所满足的一个同余.我们刻画了所有行列式值与$p$互质，给出了$p$的倍数的可整除性条件，并确定了当$p=3$ .我们还为$\mathbb Z_p^2$的$p$划分群行列式的幂提供了新的尖锐条件.对于有限群，整群行列式可以理解为对应于Lind推广的Mahler测度。我们推测的Lind-Mahler措施的离散海森堡群和其他两个无限的非阿贝尔群所产生的对称性的平面和3-空间。
Factorization of and Determinant Expressions for the Hypersums of Powers of Integers
我们推导出用于计算和因式分解超和多项式S^{（L）}_k（N）\equiv \sum_{n_1=1}^N.. \sum_{n_{L+1}=1}^{n_{L}}（n_{L+1}）^k，用变量N（N+L+1）表示
Counting $2\times2$ integer matrices with fixed trace and determinant
该研究利用二次根的Weyl和的和的界，对带固定特征多项式的2×2整数矩阵数目做带光滑权的计数，给出主项与误差项。
Counting integer matrices with square-free determinants
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
A determinantal formula for the hyper-sums of powers of integers
对于非负整数$r$和$m$，令$S_m^{(r)}(n)$表示在初始条件为$S_m^{(0)}(n) =n^m$的情况下，在第一个$n$正整数的$m$次幂上的$r$倍和（或超和）。本文导出了$S_m^{(r)}(n)$的一个新的行列式公式。具体而言，我们表明，对于所有整数$r\geq 0$和$m \geq 1$，$S_m^{(r)}(n)$是成比例的$S_1^{(r)}(n)$倍的行列式的较低的Hessenberg矩阵的顺序$m-1$涉及伯努利数和变量$N_r = n + \frac{r}{2}$。此外，每当$r\geq 1$，评估这个行列式给我们$S_m^{(r)}(n)$作为$S_1^{(r)}(n)$倍的次数$m-1$的$N_r$中的偶数或奇数多项式，这取决于$m$是奇数还是偶数。
The integer group determinants for the semidihedral group of order 16
本文给出了SmallGroup(16,8)即16阶半二面体群的整数群行列式的完整描述，提供了一种与现有研究略有不同的方法。
Sums over Vanishing Determinants
本文研究了高斯整数上的算术函数的求和问题，这些算术函数的坐标是一个奇异系统。
Minimal Group Determinants For Dicyclic Groups
当$n$是奇数时，我们确定了$4n$阶双循环群的最小非平凡整数群行列式.我们还讨论了$4p$阶双循环群的所有整数群行列式的集合。
Permanents, Determinants, Weighted Isobaric Polynomials and Integer Sequences
本文构造了两类Hessenberg矩阵，它们的性质是：每个加权等压多项式都是其中一类矩阵的行列式，而另一类矩阵的积和式.每个线性常返的整数序列都可以用一类线性常返的WIPs序列表示。WIP是在基本对称多项式基础上写出的对称多项式。其中有广义Fibonacci多项式和广义Lucas多项式，它们已经具有这些广泛的表示性质。讨论的整数序列包括第二类切比雪夫多项式、第一类和第二类斯特林数、卡塔兰数和三角数，以及所有乘法算术函数或加法算术函数的序列。
The Vandermonde Determinant of the Divisors of an Integer
研究针对整数正因子有序序列定义的 Vandermonde 行列式型算术函数 $V(n)$，核心问题是对其进行估计。
The $5$-divisible integer group determinants for the elementary abelian group of order 25
本文针对25阶初等阿贝尔群C₅×C₅，证明其5-可整除群行列式的反向包含关系，结合已有结果完成25阶群的Taussky-Todd整数群行列式问题分类。
The integer group determinants for $Q_{16}$
我们得到了16阶双循环或广义四元数群$Q_{16},$的整数群行列式的完整描述。
Integer group determinants for ${\rm C}_{2}^{4}$
我们确定了${\rm C}_{2}^{4}$的整数群行列式的所有可能值，其中${\rm C}_{2}$是$2$阶循环群.
Integer group determinants for ${\rm C}_{2}^{2} \rtimes {\rm C}_{4}$
对于任何正整数$n$，令${\rm C}_{n}$是阶为$n$的循环群。我们确定了${\rm C}_{2}^{2} \rtimes C_{4}$的整数群行列式的所有可能值。
The integer group determinants for $\mathbb{Z}_p^n$
本文研究 $\mathbb{Z}_p^n$ 的整数群行列式，给出 $p$ 的允许幂次的新条件，证明 $n\leq 5$ 时精确，并完整刻画 $\mathbb{Z}_3^3$。
Integer circulant determinants of order 16
我们解决了Olga Taussky-Todd的循环问题的情况下，阶16。
Integer group determinants for abelian groups of order 16
对于任何正整数$n$，令${\rm C}_{n}$是阶为$n$的循环群。我们确定了${\rm C}_{4} \times {\rm C}_{2}^{2}$的整数群行列式的所有可能的值，这是唯一未解决的阿贝尔群的顺序$16$。
The integer group determinants for $GA(1,q)$
本文研究一次一般仿射群 $GA(1,q)$ 的整数群行列式，给出其形式 $D=AB^{q-1}$ 的刻画，并证明在特定条件下该条件充分必要，推广了已有结果。
Integer group determinants for ${\rm C}_{4} \rtimes {\rm C}_{4}$
设${\rm C}_{4}$是阶为$4$的循环群。我们确定了${\rm C}_{4} \rtimes {\rm C}_{4}$的整数群行列式的所有可能值。
A necessary and sufficient condition for a prime to be an integer group determinant of certain $p$-groups
本研究给出素数为${\ m C}_{p} \ imes H$型阿贝尔$p$-群整群行列式的充要条件，证明有限群素值整群行列式在特定条件下等于其阿贝尔化的整群行列式，并推导$p$-群的对应结论。
Integer group determinants for abelian groups of order 24
本文通过特征分解和有限检验，确定了三个24阶阿贝尔群的整数群行列式集合，并证明了奇行列式集合的包含关系及无限族差异。
Integer group determinants for ${\rm C}_{4}^{2}$
我们确定了${\rm C}_{4}^{2}$的整数群行列式的所有可能值，其中${\rm C}_{4}$是$4$阶循环群.
The integer group determinants for SmallGroup(16,13)
本文完整描述了 SmallGroup(16,13) 的整数群行列式，发现其与 SmallGroup(16,11) 相同，首次揭示了整数群行列式不能唯一确定群。
Proof of three conjectures on determinants related to quadratic residues
本文确定了Z. W.太阳的决定因素。我们首先证明了任何奇数$n>3$整除行列式$$\left|(i^2+dj^2)\left(\frac{i^2+dj^2}n\right)\right|_{0\le i,j\le (n-1)/2},$$，其中$d$是任何整数，$(\frac{\cdot}n)$是雅可比符号。然后证明了关于$|(i+dj)^n|_{0\le i,j\le n-1}$和$|(i^2+dj^2)^n|_{0\le i,j\le n-1}$的一些整除性结果，其中$d\not=0$和$n>2$是整数.最后，对任意奇素数$p$和整数$c$，$d$，以及$p\nmid cd$，我们完全确定了Legendre符号$(\frac{S_c(d,p)}p)$，其中$S_c(d,p):=|(\frac{i^2+dj^2+c}p)|_{1\le i,j\le(p-1)/2}$ .
Distribution of integer points on determinant surfaces and a $\text{mod-}p$ analogue
本文建立了形如 $xy-zw=r$ 的方程（$r$ 为非零整数）的整数解带光滑权重的计数渐近公式，给出显式主项和关于变量 $x,y,z,w$ 及 $r$ 的强误差界；同时建立了同余式 $xy-zw \equiv 1 \pmod{p}$（$p$ 为大素数）的整数解带光滑权重的计数渐近公式，并给出强误差界。
Generalized Dedekind's theorem and its application to integer group determinants
本文细化了广义Dedekind定理，证明了群与其Abel子群的整数群行列式取值关系，并据此确定了阶为8与2的循环群直积群的所有整数群行列式可能取值。
The integer group determinants for GA(1,p) and related semidirect products
本文研究 Z_p 与 Z_n 半直积群的整数群行列式，完整刻画若干 GA(1,p) 及相关群，并证明自然整除与同余条件在特定情形下既必要又充分。
Minimal group determinants and the Lind-Lehmer problem for dihedral groups
我们找到了阶数小于$3.79\times 10^{47}$的任意二面体群的最小非平凡整数变量群行列式。我们认为这是二面体群的林-莱默问题。本文给出了包括$D_{2p}$和$D_{4p}$在内的二面体群的行列式的完整描述。
Integer group determinants for the elementary abelian group of order 49
本文通过分类能被7整除的取值，完整确定了$C_7\times C_7$的整数群行列式集合，给出赋值10和11的余因子条件，并求得最小正取值。
On certain determinants and the square root of some determinants involving Legendre Symbols
该数论研究针对孙智伟引入的两类含Legendre符号的行列式，推导了部分参数下T_m(d,p)与D_p^(m)平方根的性质，并证实了孙智伟提出的相关猜想。
Determinants with Bernoulli polynomials and the restricted partition function
本文研究由伯努利多项式构造的两个 rD 阶行列式，并建立其与受限分拆函数之间的内在联系。
Lattice points on determinant surfaces and the spectrum of the automorphic Laplacian
利用经典傅里叶分析和自守形式谱论，推导了扩张盒子[-X,X]^4中行列式方程ad-bc=r的整数解个数的渐近公式，并应用于加权和的研究。
The group determinants for $\mathbb Z_n \times H$
令$\mathbb Z_n$表示阶为$n$的循环群。我们展示了如何组行列式为$G= \mathbb Z_n \times H$可以简单地写在组行列式为$H$。我们使用它得到一个完整的描述的整数群行列式为$\mathbb Z_2 \times D_8$，其中$D_8$是二面角群的顺序8，和$\mathbb Z_2 \times Q_8$，其中$Q_8$是四元数群的顺序8。
Some determinants involving binary forms
本文研究含二元型幂的行列式的算术性质，证明满足特定条件的奇数n对应的雅可比符号矩阵行列式可被欧拉函数平方整除，证实了第二作者的猜想。
On the symmetric determinantal representations of the Fermat curves of prime degree
证明了素次Fermat曲线的定义方程不能写成三元有理系数线性型元素的对称矩阵的行列式.在证明中，我们使用了元素为线性型的对称矩阵与光滑平面曲线上的非有效theta特征之间的关系。我们还利用Gross-Rohrlich关于素次Fermat曲线的雅可比簇上的有理挠点的一些结果。
The Legendre determinant form for Drinfeld modules in arbitrary rank
对于每一个正整数$r$，我们构造一个无处消失，单尖点Drinfeld模形式的$\GL_r(\FF_q[θ])$，必须尽可能少的重量，通过行列式使用刚性分析平凡化的通用Drinfeld模块的秩$r$和变形的向量Eisenstein系列。在此基础上，我们证明了从de Rham上同调到Betti上同调的圈类映射是$\FF_q[θ]$上所有秩的Drinfeld模的同构.
Counting $2 \times 2$ integer matrices with a given determinant
本文研究了具有给定行列式的2×2整数矩阵的计数问题，提出了一个改进的计数公式，并在特定条件下提供了误差估计。
On the restricted partition function via determinants with Bernoulli polynomials
本文利用由 Bernoulli 多项式值构成的行列式 $Δ_{r,D}$，证明了在行列式非零条件下，限制分拆函数 $p_{\mathbf a}(n)$ 可通过 Bernoulli 多项式值与 Bernoulli Barnes 数进行计算。
Bernoulli numbers and the integer group determinants of $C_p \times C_p$
该研究针对素数$p\ge7$，结合伯努利数与圆单位，确定$C_p\times C_p$的整数群行列式集合的最小指数$e(p)$，给出其下界、等式成立条件及正则素数下的行列式性质。
Hankel Determinants of Zeta Values
本文研究了在等差数列中由黎曼ζ函数在正整数处的值$ζ(an+b)$构造的Hankel行列式的渐近性。我们的主要结果是一个丢番图应用的渐近性。
Evaluation of two determinants involving $q$-integers
本文通过离散傅里叶变换，推导出两个涉及q-整数的行列式恒等式，并给出了Jacobi符号的表达式。
Cameron's operator in terms of determinants, and hypergeometric numbers
通过对Cameron算子行列式的研究，引入了两类不完全数的“整数”序列。一个是受限数序列，包括$s$步斐波那契序列。另一个是相关数的序列，包括更高阶的拉梅序列。利用经典的Trudi公式和逆关系式，可以得到更多的表达式。这些关系和恒等式可以推广到负整数或有理数序列的关系和恒等式。作为应用，我们考虑了超几何Bernoulli数、Cauchy数和欧拉数，并作了一些修改。
Counting appearances of integers in sets of arithmetic progressions
通过行列式方法，研究了整数在由k个不同素数生成的等差数列余数类中的出现次数计数问题。
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