Packing and covering directed triangles
Jessica McDonald, Gregory J. Puleo, Craig Tennenhouse
我们证明了，如果有向多重图$D$最多有$t$对弧不相交的有向三角形，那么在$D$中存在一组小于$2t$的弧满足$D$中的所有有向三角形，除了平凡的情况$t=0$ .这肯定地回答了1990年图扎的一个问题。
We prove that if a directed multigraph $D$ has at most $t$ pairwise arc-disjoint directed triangles, then there exists a set of less than $2t$ arcs in $D$ which meets all directed triangles in $D$, except in the trivial case $t=0$. This answers affirmatively a question of Tuza from 1990.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Closing the Random Graph Gap in Tuza's Conjecture Through the Online Triangle Packing Process
Zsolt Tuza的一个长期存在的猜想断言三角形覆盖数$τ(G)$至多是三角形填充数$ν(G)$的两倍，其中三角形堆积数$ν(G)$是$G$中边不相交三角形集合的最大尺寸，三角形覆盖数$τ(G)$是与所有三角形相交的边集合的最小尺寸。在本文中，我们证明了Tuza的猜想成立的Erdens-Rényi随机图$G(n,m)$的所有范围的$m$，关闭了以前已知的差距。（最近，这一结果也被Jeff Kahn和Jinyoung Park独立证明。我们采用一个随机贪婪的过程，称为在线三角包装过程中产生的三角包装$G(n,m)$和分析这个过程中使用的微分方程方法。
Large triangle packings and Tuza's conjecture in sparse random graphs
图$G$的三角形堆积数$ν(G)$是图$G$中边不相交三角形集合的最大尺寸。Tuza证明了在任何图$G$中存在一组至多$2ν(G)$的边与$G$中的每个三角形相交.本文证明了当随机图$G=G(n,m)$满足$m \le 0.2403n^{3/2}$或$m\ge 2.1243n^{3/2}$ .这是通过分析一个贪婪算法在随机图中寻找大三角形包装。
Dense graphs with a large triangle cover have a large triangle packing
众所周知，具有$m$边的图可以通过移除（略小于）$m/2$边而成为无三角形的。另一方面，有许多类的图是很难使三角形自由的意义上说，它是必要的，以消除所有的三角形删除大致$m/2$边。证明了很难使之成为无三角形的稠密图具有大量的两两边不相交三角形。特别地，它们具有多于$m(1/4+cβ^2)$的成对边不相交三角形，其中$β$是图的密度，而$c$是绝对常数。这改善了以前的$m(1/4-o(1))$界，其中遵循的渐近有效性的Tuza的猜想稠密图。证明了这类图有一个大小为$m(1/3-o(1))$的渐近最优三角形填充.这个结果被推广到更大的集团和奇数圈。
Parallel packing a square with isosceles right triangles and equilateral triangles
研究将等腰直角三角形或等边三角形平行填充单位正方形的问题，证明了当总面积分别不超过1/2或√3/4时可行，且上界是紧的。
The fine triangle intersections for maximum kite packings
本文研究了一对极大kite填充的三角形求交问题。设$Fin(v)={(s,t):$ $\exists$是一对最大的$v$级风筝填充，它们相交于$s$块和$s+t$三角形$}$ .设$Adm(v)={(s,t): s+t\leq b_v, s,t$是非负整数$}$，其中$b_v=\lfloor v(v-1)/8\rfloor$ .证明了对于任意整数$v\equiv 0,1 ({\rm mod} 8)$和$v\geq 8$，有$Fin(v)= Adm(v)\setminus {(b_v-1,0),(b_v-1,1)}$;对于任意整数$v\equiv 2,3,4,5,6,7 ({\rm mod} 8)$和$v\geq 4$，有$Fin(v)=Adm(v)$.
Packing and Covering Triangles in Bilaterally-Complete Tripartite Graphs
本文利用 Menger 定理与 König 线着色定理，证明具有两个完全二部侧边的三部图中三角形装填数等于边覆盖数，推广了完全三部图的已有结论。
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
Steiner Type Packing Problems in Digraphs: A Survey
本文综述了有向图中几种Steiner类型打包问题的已知结果，包括有向Steiner树打包问题、有向Steiner路径打包问题等，并提出了若干猜想和开放问题。
Packing triangles in weighted graphs
Tuza证明了对于每个图$G$，边不相交三角形集合的最大尺寸$ν$和满足所有三角形的边集合的最小尺寸$τ$满足$τ\leq 2ν$ .我们考虑这个猜想的边加权版本，这相当于包装和覆盖多重图中的三角形。一些已知的结果，原来的问题被证明是正确的，在这种情况下，和一些改进。特别是，我们回答一个问题Krivelevich谁证明了$τ\leq 2ν^*$（其中$ν^*$是分数版本的$ν$），并询问这是否是紧。我们证明了$τ\leq 2ν^*-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{ν^*}$，并表明，这一界限基本上是最好的可能。
Packing and covering directed triangles asymptotically
Tuza的一个著名猜想断言，如果一个图最多有$t$成对边不相交的三角形，那么它可以通过删除最多$2t$边而成为无三角形的。如果是真的，那么系数2是最好的。在定向设置中，也被Tuza询问，类似的陈述最近被证明，然而，因子2不是最佳的。本文证明了：如果一个$n$ -顶点有向图至多有$t$个两两弧不相交的有向三角形，则存在一个至多有$1.8t+o(n^2)$条弧满足所有有向三角形的集合.我们补充我们的结果，提出了两个结构的大型有向图$t\inΩ(n^2)$的最小这样的集合有$1.5t-o(n^2)$弧。
Triangle packings and 1-factors in oriented graphs
有向图是一个有向图，它可以从一个简单的无向图通过定向它的边得到。本文证明了任何n阶定向图G的最小入度和出度至少为（1/2-o（1））n，都包含一个至多覆盖3个顶点的循环三角形填充.这几乎回答了Cuckler和Yuster的一个问题，并且是最好的可能，因为对于n = 3 mod 18，存在一个没有完美三角形填充且所有阶和外阶都是（n-1）/2或（n-1）/2 \pm 1的竞赛图。在同样的假设下，我们还证明了可以嵌入任何指定的几乎1-因子，即对于任何序列n_1，...，n_t，其中n_1 +...+ n_t <n-O（1）我们可以找到长度为n_1，.，n_t。此外，在n_i上的一般条件下，我们可以消除O（1）的加法误差，并找到一个指定的1-因子。
Triangle packings in randomly perturbed graphs
研究随机扰动图中近完美三角形打包问题，证明对于任意d>0和p>2d/(1+2d)，dn-正则图与随机图的并集以高概率包含覆盖几乎所有边的三角形打包，并确定p的阈值。
Sufficient Conditions for Tuza's Conjecture on Packing and Covering Triangles
给定一个简单图$G=(V,E)$，如果$E$的一个子集与$G$的每个三角形相交，则称它为三角形覆盖。令$ν_t(G)$和$τ_t(G)$分别表示$G$中两两边不相交三角形的最大数目和$G$的三角形覆盖的最小基数。Tuza在1981年证明了$τ_t(G)/ν_t(G)\le2$对所有图$G$成立。在本文中，使用超图的方法，我们设计了多项式时间的组合算法寻找小三角形覆盖。这些算法为Tuza关于覆盖和填充三角形的猜想提供了新的充分条件。更准确地说，假设三角形的集合$\mathscr T_G$覆盖$G$中的所有边。证明了当满足下列条件之一时，可以在多项式时间内找到基数至多为$2ν_t(G)$的$G$的三角形覆盖：（i）$ν_t(G)/|\mathscr T_G|\ge\frac13$，（ii）$ν_t(G)/|E|\ge\frac14$，（iii）$|E|/|\mathscr T_G|\ge2$ .关键词：三角形覆盖，三角形填充，线性3一致超图，组合算法
Packing, Counting and Covering Hamilton cycles in random directed graphs
有向图中的哈密尔顿圈是通过所有顶点的圈，其中所有弧都朝向相同的方向。在有向图中寻找哈密尔顿圈的问题已经得到了很好的研究，并且被认为是困难的。其中一个主要原因，是没有一个通用的工具，寻找汉密尔顿圈的有向图可比的所谓的位置？用于无向类似物的“旋转-延伸”技术。设${\mathcal D}(n,p)$表示顶点集$[n]$上的随机有向图，该图是通过以概率$p$独立地添加每个有向边而得到的.在这里，我们提出了一个一般的和一个非常简单的方法，使用已知的结果，攻击问题的包装和计数的随机有向图的Hamilton圈，每一个边概率$p>\log^C(n)/n$。我们的结果是渐近最优的所有参数，并同样适用于无向的情况。
A note on the random greedy triangle-packing algorithm
构造大部分Steiner三元系的随机贪婪算法定义如下。我们从$n$顶点上的完全图开始，然后一次移除一个三角形的边，其中每个被移除的三角形都是从所有剩余三角形的集合中随机均匀选择的。这个随机过程一旦到达无三角形图就终止。在这篇文章中，我们证明了在高概率的情况下，最终图中的边数至多为$ O\big( n^{7/4}\log^{5/4}n \big) $。
Packing Directed and Hamilton Cycles Online
考虑$n$顶点上随机图过程的有向模拟，其中$n(n-1)$边随机均匀排序，并且每次显示一个。众所周知，W. H. P.具有入度和出度$\geq q$的该过程中的第一个有向图具有$[q]$ -边染色，每种颜色具有Hamilton圈。我们表明，这种着色可以在线构建，每个边缘必须是可识别的颜色，只要它出现。以类似的方式，对于\emph{undirected}随机图过程，我们提出了一个在线的$[n]$ -边着色算法，该算法产生w. h. p.在包含$q$不相交的Hamilton圈的过程的第一个图中，存在$q$不相交的彩虹Hamilton圈。
Directed graphs without rainbow triangles
本文将 Mantel 定理的彩虹三角形问题推广到有向图，对任意颜色数确定了保证出现有向或传递彩虹三角形时每种颜色所需的最少边数，并进一步在有向图（oriented graphs）情形下解决了相应问题。
Strong connectivity and directed triangles in oriented graphs. Partial results on a particular case of the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta-Häggkvist猜想的一个特例是，一个最小出度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含一个长度至多为3的有向圈。最近，Kral，Hladky和Norine证明了最小出度至少为$0.3465n$的$n$阶有向图包含长度不超过3的有向圈（这是目前最好的结果）.一个较弱的特殊情况是，最小半度至少为$1/3n$的$n$阶有向图包含有向三角形。在最近的一篇文章中，作者利用Kral等人的结果证明了：对于$β\geq 0.343545$，任何阶为$n$且最小半度至少为$βn$的有向图$D$都包含一个长度至多为3的有向圈（这是目前最好的结果）.这意味着，对于给定的整数$d\geq 1$，每一个具有最小半度$d$且阶为$md$且阶为$m\leq 2.91082$的有向图都包含一个长度至多为3的有向圈。特别地，每一个具有最小半度$d$且阶$md$具有$m\leq 2.91082$的有向图都包含有向三角形。本文利用Kral等人的结果证明了：每一个半度为最小$d$，序为$md$且序为$2.91082< m\leq 3$，强连通度至多为$0.679d$的有向图都包含有向三角形.这将通过更一般和更精确的结果来暗示，不仅对$2.91082< m\leq 3$有效，而且对更大的$m$值也有效。作为应用，改进了已有的两个结果.第一个结果（作者Broersma和Li）涉及一个$n$阶且最小半度至少为…
Dense Packings of Equal Disks in an Equilateral Triangle: From 22 to 34 and Beyond
以前发表的等边三角形中的相等圆盘的填充处理了多达21个圆盘。我们使用一种新的离散事件模拟算法来产生多达34个磁盘的包装。对于22 =< n =< 34范围内的每一个n，我们给出了我们认为是n个相等圆盘在一个等边三角形中的绝对可能的堆积。对于这些n，我们还列出了我们发现的第二、常常是第三、有时是第四好的填充，在每种情况下，填充的结构意味着盘中心之间的最小距离d（n）是整数系数多项式P_n的根。在大多数情况下，我们不显式计算P_n，但在所有情况下，我们计算和报告d（n）到15个有效的十进制数字。等边三角形中的圆盘填料不同于正方形或圆形中的圆盘填料，因为对于三角形，有无穷多个n值，而d（n）的精确值是已知的，即当n的形式为Delta（k）：= k（k+1）/2时。在这种情况下，d（n-1）= d（n）也已被证明。在此基础上，我们给出了n = Delta（2k）+1，Delta（2k+1）+1，Delta（k+2）-2，Delta（2k+3）-3，Delta（3 k +1）+2，4 *Delta（k）和2*Delta（k+1）+2*Delta（k）-1等七个无穷大类的优化填充.我们还报道了在这些形式中，对于大于34的其他n值，即n=37，40，42，43，46，49，56，57，60，63，67，71，79，84，92，93，106，112，121和254，以及对于n=58，95，108，…
Packing directed circuits exactly
我们给出了有向图D的一个“排除子图”和一个“结构”特征，即对于D的每个子有向图H，H中不交圈的最大个数等于V（H）的子集T的最小基数，使得H \T是无圈的.
Walecki tournaments with an arc that lies in a unique directed triangle
本文研究含唯一有向三角形弧的 Walecki 竞赛图，证明标记为 * 的顶点被所有自同构固定且同构间相互对应，并给出至少 2^k 个适用签名。
Packing 4-cycles in Eulerian and bipartite Eulerian tournaments with an application to distances in interchange graphs
我们证明了$K_{m,n}$的每一个欧拉方向都包含$\frac{1}{4+\sqrt{8}}mn(1-o(1))$弧不相交的有向4-圈，改进了以前的下界。结合概率论证，证明了每一个$n$顶点的正则竞赛图都含有$\frac{1}{8+\sqrt{32}}n^2(1-o(1))$弧不交的有向4-圈.这个结果也被用来提供交换图中对映顶点间距离的一个上界。
On a square packing conjecture of Erdős
本文证明了埃尔多斯关于正方形包装的猜想等价于某个级数的收敛性，并探讨了正方形、三角形和平行四边形包装的相似性。
Directed Steiner tree packing and directed tree connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，$(S, r)$ -树是一个以$r$为根的外树$T$，其中包含$S\subseteq V(T)$。如果$A(T_1)\cap A(T_2)=\emptyset$，则两个$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为弧不相交。如果$V(T_1)\cap V(T_2)=S$，则两个弧不相交的$(S, r)$树$T_1$和$T_2$被称为内部不相交。令$κ_{S,r}(D)$和$λ_{S,r}(D)$分别是$D$中内部不相交和弧不相交的$(S, r)$ -树的最大数目。$D$的广义$k$ -顶点强连通性被定义为$$κ_k(D)= \min \{κ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。类似地，定义$D$的广义$k$ -弧强连通性为$$λ_k(D)= \min \{λ_{S,r}(D)\mid S\subset V(D), |S|=k, r\in S\}.$$。广义$k$ -顶点强连通性和广义$k$ -弧强连通性也称为有向树连通性，它扩展了$D$的良连通性，建立了无向图到有向图的树连通性，可以看作是有向图的经典连通性的推广。本文完全确定了一般有向图、对称有向图和欧拉有向图上的$κ_{S, r}(…
Almost-perfect packings and Tuza's conjecture in the random geometric graph
研究随机几何图中Tuza猜想成立的条件，并证明对于一大类密度该猜想成立；同时研究用固定图F的边不交副本覆盖几乎所有边的问题，对无限族F证明了几乎完美打包的存在性。
On directed versions of the Hajnal--Szemerédi theorem
我们称一个（di）图$G$有一个完美的$H$ -packing，如果存在一组$H$的顶点不相交的副本，它们覆盖了$G$中的所有顶点.开创性的Hajnal-Szemerédi定理刻画了确保图$G$包含完美$K_r$ -填充的最小度。本文证明了有向图的下列类比：设$T$是$r$顶点上的竞赛图，$G$是充分大阶$n$的有向图，其中$r$整除$n$ .如果$G$具有至少$ (1-1/r)n$的最小入度和最小出度，则$G$包含完美$T$ -填充。在$T$是循环三角形的情况下，这一结果验证了Czygrinow，Kierstead和Molla（关于大有向图）的一个猜想.此外，在$T$是传递的情况下，我们推测，它足以使$G$中的每个顶点有足够大的入度或出度。我们证明了这个猜想的传递三角形和渐近所有$r \geq 3$。我们的方法利用Keevash和Mycroft关于超图中几乎完美匹配的结果以及有向图移除引理。
Random greedy triangle-packing beyond the 7/4 barrier
构造大部分Steiner三元系的随机贪婪算法定义如下。从$n$顶点上的完全图开始，然后一次移除一个三角形的边，其中从所有剩余的三角形中随机均匀地选择移除的每个三角形。这个随机过程一旦到达一个无三角形图就终止了，一个长期存在的开放问题是估计最终的边数，或者等价地估计过程结束所需的时间。边缘分布在任何时候都是大致均匀的直觉导致了一个民间传说的猜想，即边缘的最终数量是$n^{3/2+o(1)}$，具有很高的概率，而最知名的上界是$n^{7/4+o(1)}$。各种方法在指数7/4处精确突破并不是巧合，因为它对应于固有的障碍，其中co度变得与过程中早期出现的值的变化相当。在这项工作中，我们显着改善了以前的界限，建立w. h. p.的边缘数在最终的图形是最多$ n^{5/3+o(1)} $。我们的方法依赖于用于控制关键图参数的鞅系统，其中关键的新思想是利用过程的自校正性质，以控制这些参数远远超出其早期变化与其预期顺序相匹配的点。
On the Chudnovsky-Seymour-Sullivan Conjecture on Cycles in Triangle-free Digraphs
对于一个不含有向三角形或对角形的简单有向图$G$，令$β(G)$是使得$G\setminus X$不含有向圈的最小子集$X \subseteq E(G)$的大小，令$γ(G)$是$G$中不相邻顶点的无序对的数目。2008年，Chudnovsky、Seymour和Sullivan证明了$β(G) \le γ(G)$，并证明了$β(G) \le γ(G)/2$。最近，Dunkum、Hamburger和Pór证明了$β(G) \le 0.88 γ(G)$。本文证明了$β(G) \le 0.8616 γ(G)$ .
Packing Directed Cycles Quarter- and Half-Integrally
本研究针对有向图的环装填与反馈顶点集问题，证明了四分之一积分和二分之一积分环装填数下反馈顶点集大小的多项式界，并得到高有向树宽子图四分之一积分装填的一般性结果。
Packing and covering a given directed graph in a directed graph
本文研究有向图中固定子图的打包与覆盖问题，通过引入图参数 f(H) 并证明弧覆盖和分数覆盖的紧界，得到了有向 k-圈覆盖问题改进的确定性多项式时间近似算法。
Directed Steiner path packing and directed path connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，一条有向$(S, r)$ -Steiner路径，或者简单地说，一条$(S, r)$ -路径是一条从包含$S\subseteq V(P)$的$r$开始的有向路径$P$.如果两个$(S, r)$ -路径没有公共弧，则称它们是弧不相交的。如果两条弧不相交的$(S, r)$ -路的公共顶点集恰好是$S$，则称它们是内部不相交的。令$κ^p_{S,r}(D)$（分别$λ^p_{S,r}(D)$）是内部不相交的最大数量（分别为arc-disjoint）$(S, r)$-$D$中的路径。$D$的有向路径$k$ -连通性被定义为$$κ^p_k(D)= \min \{κ^p_{S,r}(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k, r\in S\}.$$类似地，$D$的有向路径$k$ -弧连通性被定义为$$λ^p_k(D)= \min \{λ^p_{S,r}(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k, r\in S\}.$$有向路径$k$ -连通性和有向路径$k$ -弧连通性也被称为有向路径连通性，其将无向图上的路径连通性扩展到有向图，并且可以被视为有向图的经典连通性的推广。本文得到了欧拉有向图和对称有向图上的$κ^p_{S,…
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
Rainbow triangles in arc-colored digraphs
设$D$是弧着色有向图。$D$的弧数$a(D)$定义为$D$的弧数。$D$的颜色号$c(D)$被定义为分配给$D$的弧的颜色的数量。$D$中的彩虹三角形是一个有向三角形，其中每对弧都有不同的颜色。令$f(D)$为最小整数，使得如果$c(D)\geq f(D)$，则$D$包含彩虹三角形。本文得到了$f(\overleftrightarrow{K}_{n})$和$f(T_n)$，其中$\overleftrightarrow{K}_{n}$是$n$阶的完全有向图，$T_n$是$n$阶的强连通竞赛图.此外，我们还刻画了弧色完全有向图$\overleftrightarrow{K}_{n}$，它具有$c(\overleftrightarrow{K}_{n})=f(\overleftrightarrow{K}_{n})-1$且不含彩虹三角形。我们还证明了当$a(D)+c(D)\geq a(\overleftrightarrow{K}_{n})+f(\overleftrightarrow{K}_{n})$，这是无向情况的有向扩张时，$n$顶点上的弧色有向图$D$包含彩虹三角形。
On Reachability Mixed Arborescence Packing
作为Edmonds树形填充定理的推广，Kamiyama-Katoh-Takizawa（2009）给出了包含从每个根可达的顶点集的弧不相交树形的有向图的良好刻画。Fortier-Király-Léonard-Szigeti--Talon（2018）问，通过允许有向弧和无向边，是否可以将结果扩展到混合图。在本文中，我们解决了这个问题，通过开发一个多项式时间的算法，找到一个收集的边和弧不相交的树形图，从每个根在一个给定的混合图可达的顶点集。
Growth rates of groups associated with face 2-coloured triangulations and directed Eulerian digraphs on the sphere
设$\mathcal{G}$是球面的一个正确的面2-色（比如黑白）\break分段线性三角剖分，顶点集为$V$。考虑由集合$V$生成的阿贝尔群$\mathcal{A}_W$，对于顶点为$r$、$c$和$s$的所有白三角形，关系为$r+c+s=0$。组$\mathcal{A}_B$可以类似地使用黑色三角形来定义。这些群以下列方式相关：$\mathcal{A}_W\cong\mathcal{A}_B\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathcal{C}$，其中$\mathcal{C}$是有限阿贝尔群。有限挠子群$\mathcal{C}$被称为三角剖分的典范群。令$m_t$是所有真面双色球面三角剖分上的$\mathcal{C}$的最大阶，其中每种颜色都有$t$三角形。通过适当地将面双色球面三角剖分与交换沙堆群同构于$\mathcal{C}$的有向图的有向欧拉球面嵌入联系起来，我们给出了改进的$\lim \sup_{t\rightarrow\infty}(m_t)^{1/t}$的上下界.
Distributions of sparse spanning subgraphs in random graphs
本文给出了随机图$\G(n,p)$中生成子图的分布的一般判定方法。特别是，我们确定的某些给定的度序列，这是一个广义的$d$ -因子，生成的三角形的子图，（有向）Hamilton圈和生成子图是同构的顶点不相交（有向）三角形的集合的生成子图的分布。
Corrádi and Hajnal's theorem for sparse random graphs
本文将Corrádi和Hajnal的一个经典定理推广到稀疏随机图的情形。我们证明了如果$p(n) \gg (\log n / n)^{1/2}$，则渐近几乎必然$p(n) \gg (\log n / n)^{1/2}$的每个最小度至少为$(2/3 + o(1))np$的子图都包含一个三角形填充，该填充最多覆盖$O(p^{-2})$的所有顶点.此外，$p$的假设是最佳的$(\log n)^{1/2}$的因素和存在的$O(p^{-2})$未覆盖的顶点的集合是必不可少的。在证明的主要成分，这可能是独立的利益，是一个嵌入定理，它说，如果一个人施加一定的自然规律性条件的所有三对平衡3部图，那么这个图包含一个完美的三角形包装。
Packing Designs with large block size
本文研究了具有大块大小的 packing design，证明了在特定不等式条件下 packing number 的精确值，并基于块排序构造了 directed packing design 以产生 $(k-t)$-插入/删除码。
Chain--collider--fork Decompositions of Transitive Tournament
研究传递锦标赛中链、碰撞和叉三种两弧基序的分解与打包，给出最大弧不交拷贝数。
The Maker-Breaker directed triangle game
本文研究了定向三角制作者-破坏者游戏，分析了在奇数 tournaments 上的阈值和随机 tournaments 上的获胜策略，以及引入了翻转偏置机制。
Packing odd $T$-joins with at most two terminals
取图$G$、边子集$Σ\subseteq E(G)$和终端集$T\subseteq V(G)$，其中$|T|$是偶数。三重$(G,Σ,T)$称为有符号移植物。如果$T$ -join包含来自$Σ$的奇数条边，则它是奇数.令$ν$为边不相交的奇$T$ -连接的最大数目。签名是$Σ\triangle δ(U)$形式的集合，其中$U\subseteq V(G)$和$|U\cap T)$是偶数。令$τ$为$T$ -切割或签名可以实现的最小基数。然后$ν\leq τ$，我们说如果等式在这里成立，则$(G,Σ,T)$打包。我们证明了$(G,Σ,T)$包装，如果签署移植是欧拉，它排除了两个特殊的非包装未成年人。我们的结果证实了循环猜想类杂波的奇$T$ -加入最多有两个终端。这个结果的推论包括，弱和均匀二部图的特征，包装两个商品的道路，包装$T$ -连接与最多四个终端，和一个新的结果覆盖边与削减。
Packing nearly optimal Ramsey R(3,t) graphs
在1995年，Kim通过构造一个无三角形且独立数不超过C \sqrt{n \log n}的n-顶点图，证明了Ramsey界R（3，t）\ge c t^2/ \log t。通过将完全图K_n近似地分解为这种近似最优Ramsey R（3，t）图的一个packing，我们推广了这个著名的结果，这个结果最好是可能的，直到常数的值。更精确地说，对任意ε>0，我们找到一个n-顶点图G_i的边不交集合（G_i）_i，使得（a）每个G_i是无三角形的，且独立数至多为C_ε \subseteq，（b）所有G_i的并至少包含（1-ε）条\binom{n}{2}边.我们的算法证明通过经由半随机（即，Rodl nibble型）的三角形自由过程的变化。作为应用，我们证明了Fox，Grinshpun，Liebenau，Person和Szabo在拉姆齐理论中的一个猜想（关于Burr，Erdos，Lovasz在1976年引入的一个拉姆齐型参数）.也就是说，用s_r（H）表示H的r-Ramsey极小图的最小度，从而封闭了H=K_3的对数间隙，建立了s_r（K_3）= Θ（r^2 \log r）.
Counting and packing Hamilton cycles in dense graphs and oriented graphs
基于永久性估计，给出了稠密图和定向图中Hamilton圈的计数和填充的一般方法。我们利用这种方法来证明几个极值结果。特别地，我们证明了每一个在$n$顶点上的几乎$cn$ -正则有向图都含有$(cn/e)^n(1+o(1))^n$有向Hamilton圈.这是Cuckler的一个结果的延伸，Cuckler解决了一个关于Hamilton圈在定期锦标赛中的数量的老猜想。我们还证明了在$n$个顶点上的最小度至少为$(1/2+\varepsilon)n$的图$G$至少包含$(1-\varepsilon)\textrm{reg}_{even}(G)/2$边不交Hamilton圈，其中$\reg(G)$是$G$的生成正则子图的最大\emph{even}度.这建立了一个近似版本的猜想库恩，Lapinskas和Osthus。
Cycles of Well-Linked Sets I: an Elementary Bound for Directed Cycle Packing
本文提出了一种初等上界，证明了有向图中不包含k个不相交环时，存在大小受初等函数约束的反馈顶点集。
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
Khovanov-Rozansky homology and Directed Cycles
本文利用初等射影代数几何方法确定了有向图的圈堆积数。我们的想法植根于Khovanov-Rozansky理论。事实上，利用图的Khovanov-Rozansky同调，我们还得到了检测包含特定顶点或边的有向和无向圈的代数方法。
3-packings in Triangulations: Algorithms, bounds, and Complexity
研究平面三角剖分中三种三顶点图H的H-打包问题，给出P3-打包的下界并证明渐近紧性，利用哈密顿圈刻画4-连通三角剖分中的三角形因子，并证明诱导P2∪P1-打包的多项式时间可解性。
Packing 3-Vertex Paths in Claw-Free Graphs
图G的一个L-因子是G的一个生成子图，它的每个分支都是一条3-顶点路，设v（G）表示G的顶点数。一个图称为无爪图，如果它没有一个子图同构于具有4个顶点和3条边有一个公共顶点的图。我们的研究结果包括以下内容。设G$是一个3-连通无爪图，x是G中的一个点，e = xy是G中的一条边，P是G中的一条3-点路。则（c1）如果v（G）= 0 mod 3，则G有一个L-因子，（避免）e，（c2）如果v（G）= 1 mod 3，则G-x具有L-因子，（c3）如果v（G）= 2 mod 3，则G-x-y具有L-因子，（c4）如果v（G）= 0 mod 3并且G是立方的或4-连通的，则G-P具有L-因子，（c5）若G是三次图，且E是G中的一个三边集，则G-E有L -因子当且仅当E在G中导出的子图不是爪形图也不是三角形图.关键词：无爪图，三次图，L-填充，L-因子。
Combinatorial Games and the Golden Ratio on Digraphs
本文引入了名为三角游戏的新型组合游戏，探讨了有向3环图上的策略与misère玩法，并揭示黄金分割比在游戏分析中的关键作用。
Improved Bounds on Sidon Sets via Lattice Packings of Simplices
阿贝尔群$ G $中的$ B_h $集（或$ h $阶的Sidon集）是$ G $的任何子集$ \{b_0, b_1, \ldots,b_{n}\} $，具有所有和$ b_{i_1} + \cdots + b_{i_h} $直到被加数的阶都不同的性质。令$ ϕ(h,n) $表示包含基数为$ n + 1 $的$ B_h $集的最小阿贝尔群的阶。证明了\[ \lim_{h \to \infty} \frac{ ϕ(h,n) }{ h^n } = \frac{1}{n! δ_L(\triangle^n)} , \]，其中$ δ_L(\triangle^n) $是欧氏空间中$ n $ -单形的格填充密度.这确定了渐近的情况下，这个密度是已知的（$ n \leq 3 $），并在其余情况下，$ ϕ(h,n) $的改进的界限。给出了有限阿贝尔群中$ h $阶基的单形格覆盖的相应几何刻画。
(Arc-disjoint) cycle packing in tournament: classical and parameterized complexity
给定一个锦标赛$T$，MaxCT问题包括寻找$T$的最大（弧不相交）圈填充。以相同的方式，MaxTT对应于循环的集合是三角形（即有向3-循环）的特定情况。虽然MaxCT可以看作是竞赛图中最小反馈弧集的LP对偶，但令人惊讶的是，关于前者似乎没有算法结果。在本文中，我们证明了NP-硬度的MaxCT和MaxTT。我们还表明，决定一个锦标赛是否有一个循环包装和反馈弧集具有相同的大小是一个NP完全问题。有鉴于此，我们表明，MaxTT承认顶点线性内核时，参数化的解决方案的大小。最后，我们提供多项式算法的MaxTT和MaxCT时，比赛是稀疏的，也就是说，当它承认一个FAS这是一个匹配。
Two characterizations of simple circulant tournaments
\textit{acyclic disconnection} $\overrightarrow{ω}(D)$（分别有向图$D$的\textit{directed triangle free disconnection } $\overrightarrow{ω}_{3}(D)$）被定义为$D\setminus A(D^{\ast })$的基础图的连通分量的最大可能数目，其中$D^{\ast }$是无环的（分别为$D$的有向无三角形）子图。本文推广了已有的一些结果，解决了V. Neumann-Lara（The acyclic disconnection of a digraph，Discrete Math.197/198（1999），617-632）提出的一些问题.设$\overrightarrow{C}_{2n+1}(J)$是一个循环竞赛图。证明了$\overrightarrow{C}_{2n+1}(J)$分别是$\overrightarrow{% ω}$ -keen和$\overrightarrow{ω_{3}}$ -keen，并且对每个$\overrightarrow{C}% _{2n+1}(J)$都是$% \overrightarrow{ω}(\overrightarrow{C}_{2n+1}(J))=\overrightarrow{% ω}_{3}(\overrightarr…
Packing even directed circuits quarter-integrally
本文证明了一个关于偶数长度有向圈的四分之一整数打包定理，并给出相应的多项式时间算法，统一了Erdős-Pósa性质与偶有向圈问题的研究。
Regular packing of rooted hyperforests with root constraints in hypergraphs
本文研究无向图与超图中带根约束的森林正则打包问题，刻画了k个森林打包满足顶点出现次数、各森林连通分量数及总连通分量数约束的存在性条件，并推广了Bérczi和Frank的定理。
Packing 3-vertex paths in claw-free graphs and related topics
图G的一个L-因子是G的一个生成子图，它的每个分支都是一条3-顶点路，设v（G）是G的顶点数，d（G）是G的控制数。爪是一个有四个顶点和三条边关联到同一个顶点的图。一个图是无爪的，如果它没有与爪同构的诱导子图。我们的研究结果包括以下内容。设G是一个3-连通无爪图，x是G中的一个顶点，e = xy是G中的一条边，P是G中的一条3-顶点路.则（a1）如果v（G）= 0 mod 3，则G有一个L-因子，（避免）e，（a2）如果v（G）= 1 mod 3，则G-x具有L-因子，（a3）如果v（G）= 2 mod 3，则G - {x，y}具有L-因子，（a4）如果v（G）= 0 mod 3并且G是立方或4-连通的，则G-P具有L-因子，（a5）若G是三次图，且v（G）> 5，E是G中的三条边的集合，则G - E有L-因子当且仅当G中由E导出的子图不是爪形也不是三角形，（a6）若v（G）= 1 mod 3，则G - {v，e}对G中的每个顶点v和每条边e都有L-因子，（a7）若v（G）= 1 mod 3，则G中存在4-顶点路N和爪Y，使得G-N和G-Y具有L-因子，且（a8）d（G）< v（G）/3 + 1.另外，若G不是圈且v（G）= 1 mod 3，则d（G）< v（G）/3.本文研究了图的填充问题与线图的填充问题之间的关系，得到了关于不同类型填充的一些结果。我们还讨论了L-填充和控制问题…
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