Isometric embedding with nonnegative Gauss curvature under the graph setting
Xumin Jiang
研究了具有非负曲C4度量的2-球在R3中等距嵌入X：（B（O，r），g）->（R3，gcan）的正则性.在X可以用图的形式表示的假设下，我们证明了X在P附近是C2，1，这是Iaia例子中的最优解。
We study the regularity of the isometric embedding X: (B(O,r),g) -> (R3, gcan) of a 2-ball with nonnegatively curved C4 metric into R3. Under the assumption that X can be expressed in the graph form, we show X is C2,1 near P, which is optimal by Iaia's example.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Liouville equations on complete surfaces with nonnegative Gauss curvature
研究非负高斯曲率完备曲面上刘维尔方程的有限全曲率解，发现解的渐近行为区分两种极端情况：衰减不太快时曲面必为欧几里得平面，曲面为平坦圆柱时解线性衰减且可完全分类。
Isometric Immersions of Surfaces with Two Classes of Metrics and Negative Gauss Curvature
研究了二维黎曼流形或负Gauss曲率曲面在三维欧几里得空间中的等距浸入。利用粘性消失法和补偿紧性框架，在$L^\infty$中得到了大数据Gauss-Codazzi方程的整体弱解.通过对状态变量的变换和构造适当的不变域，得到了两类度量的$L^\infty$一致估计和$H^{-1}$紧性. Gauss-Codazzi方程的整体弱解在$L^\infty$中得到曲面在给定度量下的$L^\infty$等距浸入.
Isometric Immersion of Surface with Negative Gauss Curvature and the Lax-Friedrichs Scheme
通过第一和第二基本型的Gauss-Codazzi方程，研究了具有负Gauss曲率的二维黎曼流形在三维欧几里得空间中的等距浸入.得到了大的$L^\infty$解，这导致了$C^{1,1}$等距浸入。采用分数步长Lax-Friedrichs有限差分格式构造了近似解。通过研究Riemann不变量所满足的方程，并利用非线性部分的符号，建立了一致估计。还导出了$H^{-1}$紧性.在补偿紧性框架下得到了Gauss-Codazzi方程大$L^\infty$解的存在性.
Semilinear elliptic equations on manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文证明了具有非负里奇曲率的非紧流形上具有非负位势的次临界和临界半线性椭圆型方程解的分类结果。我们表明，在亚临界的情况下，所有的非负解消失相同。此外，在一些自然的假设下，在临界情形下，我们证明了一个强刚性结果，即我们对所有非平凡解进行了分类，表明它们的存在仅当位势为常数且流形与欧几里得空间等距.
Four-dimensional shrinkers with nonnegative Ricci curvature
本文通过Ricci曲率特征值演化渐近分析、带边界Gauss-Bonnet-Chern公式和分部积分，在截面曲率或数量曲率等几何条件下，将具有非负Ricci曲率的四维收缩孤立子分类为 R×S^3 或 R^2×S^2。
On the Local Isometric Embedding in $R^3$ of Surfaces with Zero Sets of Gaussian Curvature Forming Cusp Domains
研究二维黎曼流形等距嵌入三维欧氏空间的问题。证明了如果高斯曲率为有穷级且其零点集由两条相切于一点的平滑曲线组成，则存在局部充分光滑等距嵌入.
On the Local Isometric Embedding in R^3 of Surfaces with Gaussian Curvature of Mixed Sign
研究二维黎曼流形等距嵌入三维欧氏空间的老问题。证明了如果高斯曲率为有穷级，且其零点集由两条横向相交于一点的Lipschitz曲线组成，则存在局部足够光滑的等距嵌入。
Isometric Immersion of Complete Surfaces with Slowly Decaying Negative Gauss Curvature
二维黎曼流形或曲面在三维欧几里得空间中的等距浸入是微分几何中的一个基本问题。当Gauss曲率为负时，本文通过第二基本型的Gauss-Codazzi系统，研究了等距浸入问题.证明了当Gauss曲率满足可积性条件时，即使Gauss曲率在无穷远处衰减很慢，曲面在三维欧几里得空间中仍有全局光滑等距浸入.证明的新思想是基于对Gauss-Codazzi系统的Riemann不变量的衰变性质的新观察。加权黎曼不变量的介绍和比较原则适用于适当选择的控制功能。
The semi-global isometric embedding of surfaces with curvature changing signs stably
通过求解Darboux方程，得到了任意有穷级变号高斯曲率抽象曲面的半整体等距嵌入.
Interpolation between Brezis-Vázquez and Poincaré inequalities on nonnegatively curved spaces: sharpness and rigidities
研究了非负曲空间上Brezis-Vázquez不等式与Poincaré不等式（简称BPV不等式）之间的一个插值不等式.作为一个模型的情况下，我们首先证明了BPV不等式在任何Minkowski空间上成立，通过充分刻画其极值的存在性和形状。证明了如果一个完备的Finsler流形具有非负的里奇曲率，则它的旗曲率恒为零.特别地，我们证明了具有非负里奇曲率的Berwald空间支持BPV不等式当且仅当它与Minkowski空间等距.我们的论点探讨贝塞尔函数，比较原则，和各向异性对称Minkowski空间的优良性能。作为应用，我们刻画了涉及Finsler-Laplace算子和Minkowski空间上Hardy型奇异性的拟线性偏微分方程非零解的存在性，其中尖锐的BPV不等式起着至关重要的作用。结果也是新的黎曼/欧几里德设置。
Isometric Immersions via Compensated Compactness for Slowly Decaying Negative Gauss Curvature and Rough Data
本文利用补偿紧性方法研究了具有负Gauss曲率的二维黎曼流形到三维欧几里得空间的等距浸入问题。以前的应用程序的方法，这个问题需要衰减的顺序$t^{-4}$的高斯曲率。在这里，我们表明，红$t^{-2-δ/2}$的衰减，其中$δ\in(0,4)$足够。
Weak Continuity of the Gauss-Codazzi-Ricci System for Isometric Embedding
我们建立了Gauss-Coddazi-Ricci系统关于$p>2$的一致$L^p$ -有界解序列的等距嵌入的弱连续性，这意味着流形的等距嵌入的弱极限仍然是等距嵌入.更一般地，我们建立了Gauss-Codazzi-Ricci系统在微分几何中的补偿紧框架。也就是说，给定这个系统的任何序列的近似解是一致有界的$L^2$和有合理的界限的误差（误差被限制在一个紧凑的子集$H^{-1}_{\text{loc}}$），那么近似序列有一个弱收敛的子序列，其极限是一个解决方案的高斯Codazzi-里奇系统。此外，一个最小化的问题，提出了一个选择标准。对于这些，对黎曼曲率张量没有限制。
Counterexamples for Local Isometric Embedding
我们在具有非正高斯曲率的2-流形上构造了光滑度量，它不能（C^3）局部等距嵌入R^3中。此外，度量的高斯曲率除了一个点之外可以是负的。
Second-order Sobolev inequalities on a class of Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature
设$(M,g)$是$n-$维完备开黎曼流形，具有非负里奇曲率，证明了$ρΔ_g ρ\geq n- 5\geq 0$，其中$Δ_g$是$(M,g)$上的Laplace-Beltrami算子，$ρ$是到给定点的距离函数.如果$(M,g)$支持一个二阶Sobolev不等式，且其常数$C>0$接近于$\mathbb R^n$中二阶Sobolev不等式中的最优常数$K_0$，则证明了$(M,g)$的整体体积非坍缩性质.后者的财产连同一个佩雷尔曼型建设建立的Munn（J. Geom. Anal.，2010）给出了几个关于$(M,g)$高阶同伦群的刚性结果。进一步证明了$(M,g)$支持二阶Sobolev不等式且$C=K_0$为常数当且仅当$(M,g)$与欧氏空间$\mathbb R^n$等距.
The Local Isometric Embedding in R^3 of Two-Dimensional Riemannian Manifolds With Gaussian Curvature Changing Sign to Finite Order on a Curve
本文考虑了两个等价于Monge-Ampere型特殊方程的局部可解性的几何自然问题。这两个问题是：二维黎曼流形的局部等距嵌入问题，以及R^3中曲面的局部规定高斯曲率问题。证明了一类平面上Monge-Ampere方程的局部解的存在性，并作为推论得到了当高斯曲率在单个平滑曲线上为任意有穷级时，这两个问题正则解的存在性.
Quasilinear Liouville equation on manifolds with nonnegative Ricci curvature
研究非负Ricci曲率完备非紧Riemann流形上n-Laplace拟线性Liouville方程的刚性与分类，证明在尖锐对数下界条件下流形等距于欧氏空间且解为标准气泡，并构造非平坦流形上的解表明假设的尖锐性。
On the isolated singularities of the solutions of the Gaussian curvature equation for nonnegative curvature
对有界非负曲率函数$-k(z)$在孤立奇点附近，得到了二维曲率方程$Δu=k(z) e^{2 u}$ with $e^{2 u} \in L^1$解的精确渐近性态.
Sharp geometric inequalities for closed hypersurfaces in manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文考虑具有非负里奇曲率和欧氏体积增长的完备非紧黎曼流形$(M, g)$，维数为$n \geq 3$ .证明了$M$中闭超曲面$\partial Ω$的一个尖锐的Willmore型不等式，等式成立当且仅当$(M{\setminus}Ω, g)$等距于$\partialΩ$上的截锥.利用这个结果得到了$3$ -流形上Huisken等周不等式的一个最优形式.最后，利用我们的技术的一个自然的推广到抛物流形的情况下，我们还推出了一个加强版本的Kasue的不存在的结果，在流形上的非负里奇曲率的封闭极小超曲面。
The Isometric Immersion of Negatively Curved Surfaces with Finite Total Curvature
本文研究负高斯曲率完备曲面到R^3的全局光滑等距浸入问题，提出由有限全高斯曲率和适当振荡构成的充分条件，通过将Gauss-Codazzi方程重构为带部分阻尼的对称双曲系统，克服了曲率缓慢衰减与振荡的困难，证明了全局光滑解的存在性。
Rigidity of nonnegatively curved surfaces relative to a curve
证明了正曲黎曼曲面M到欧氏空间中的任何适当定向的$C^{2,1}$等距浸入，直到刚体运动，都是由它在M中任意曲线段上的值唯一确定的。在适当的条件下，将此结果推广到非负曲面的抛物点上。从而得到了凸曲面在Dirichlet条件下的Cohn-Vossen刚性定理的局部形式。该证明部分采用了霍曼德关于椭圆偏微分方程的独特延拓原理。我们的方法也产生了一个简短的证明科恩-Vossen定理。
Sharp isoperimetric and Sobolev inequalities in spaces with nonnegative Ricci curvature
利用最优质量输运理论，在体积在无穷远处渐近增长的假设下，证明了${\sf CD} (0,N)$度量测度空间中的一个尖锐的等周不等式.我们的结果将最近证明的赋范空间和黎曼流形上的等周不等式推广到非光滑框架下。在具有非负里奇曲率的$n$维黎曼流形的情形下，我们给出了S. Brendle（2021）.作为等周不等式的应用，在具有非负里奇曲率的黎曼流形中，利用适当的对称化技巧和最优体积的非坍缩性质，建立了Sobolev不等式和Rayleigh-Faber-Krahn不等式.在后面的不等式的等式情况下，其特征还在于，充分光滑，非零极值函数存在，当且仅当黎曼流形是等距的欧几里得空间。
Corrugated Versus Smooth Uniqueness and Stability of Negatively Curved Isometric Immersions
我们证明了嵌入到$\mathbb{R}^3$中的负曲波纹二维浸入类中的光滑等距浸入的唯一性。我们使用的主要工具是相对熵的方法在设置的Gauss-Codazzi系统的微分几何。结果使我们能够比较也两个解决方案的高斯-Codazzi系统，对应于一个光滑的和$C^{1,1}$等距浸入不一定是相同的度量和证明连续依赖的度量和初始数据在$L^2$方面的第第二基本型。
Curvature estimates for immersed hypersurfaces in Riemannian manifolds
通过对一般黎曼流形中退化的完全非线性曲率方程的正则性研究，建立了黎曼流形$(N^{n+1}, \bar g)$中具有非负外数量曲率的浸入超曲面的中曲率估计.该估计对$(\mathbb S^2, g)$在$3$维翘曲积空间$(N^3, \bar g)$中的Weyl等距嵌入问题有直接的结果.我们还讨论了广义相对论中具有视界的空间中的等距嵌入问题，如Anti-de Sitter-Schwarzschild流形和Reissner-Nordström流形。
Convexity of weakly regular surfaces of distributional nonnegative intrinsic curvature
本文证明了在 $C^{1,α}$（$α>2/3$）正则性及分布 Gaussian 曲率非零非负条件下，二维完备 Riemannian 流形等距嵌入 ${\mathbb R}^3$ 的像为凸曲面，其分析依赖于对极弱 Monge-Ampère 方程解的关键观察。
Global Weak Rigidity of the Gauss-Codazzi-Ricci Equations and Isometric Immersions of Riemannian Manifolds with Lower Regularity
研究了黎曼流形上Gauss-Codazzi-Ricci（GCR）方程的整体弱刚性以及相应的黎曼流形到欧几里得空间的等距浸入.我们发展了一个统一的内在方法来建立全局弱刚性的GCR方程和等距浸入的黎曼流形，独立于当地的坐标，并提供进一步的见解以前的本地结果和论点。并对临界情况进行了分析。为了实现这一点，我们首先在黎曼流形上重新表达了具有div-curl结构的GCR方程，并发展了一个整体的，内在版本的div-curl引理和其他非线性技术来解决流形上的整体弱刚性。特别地，在巴拿赫空间上建立了一个一般的泛函-解析补偿紧性定理，其中包含了黎曼流形上的内蕴div-curl引理作为特例.建立了低正则性黎曼流形上整体等距浸入、Cartan形式和GCR方程的等价性。我们还证明了一个新的弱刚性结果，属于Cartan形式主义，黎曼流形具有较低的正则性，并推广了弱刚性结果的黎曼流形与不固定的度量。
Extrinsic curvature of codimension one isometric immersions with Hölder continuous derivatives
证明了：如果$n$是偶数，$(M,g)$是紧致的$n$维黎曼流形，其Pfuman形式是体积形式的正倍数，且$y\in C^{1,α}(M;\mathbb{R}^{n+1})$是与$n/(n+1)< α\leq 1$的等距浸入，则$y(M)$是有界外曲率曲面.证明了这一点，表明外在曲率，定义通过一个适当的拉回的体积形式上的$n$ -球通过高斯映射，是相同的内在曲率，定义的Pfidian形式。后一个事实是以积分恒等式的形式陈述的布劳威尔度的高斯映射，这是经典的$C^2$功能，但新的$n>2$在目前的背景下，低的规律性。
Cartan's and Gauss's equations and rigidity theorems for isometric embeddings in low Sobolev regularity
本文证明在低正则性（C^0 ∩ H^{1/2}）下Cartan结构方程仍成立，并推导出Gauss方程在C^1 ∩ W^{1+2/3,3}或c^{1,1/2} ∩ BV^2正则性下成立，应用于闭曲面和凸帽的等距嵌入的正则性与凸性。
Heat Kernel on Smooth Metric Measure Spaces with Nonnegative Curvature
在完备光滑测度空间$(M,g,e^{-f}dv)$上得到了具有非负Bakry-Émery里奇曲率的$f$ -热核的局部高斯上界，推广了经典的Li-Yau估计.作为应用，我们得到了关于$f$ -下调和函数的一个精确的$L_f^1$ -Liouville定理和关于$f$ -热方程的非负解的一个$L_f^1$ -唯一性，假定$f$至多二次增长.特别地，梯度收缩孤子或定常Ricci孤子上的任何$L_f^1$ -可积$f$ -下调和函数必须是常数.我们还给出了高斯孤子的显式$f$ -热核。
Some recent developments on isometric immersions via compensated compactness and gauge transforms
本文通过补偿紧致性和规范变换技术，探讨了低正则性下等距浸入问题的分析发展，包括高斯-科达齐-里希方程的弱连续性和子流形理论基本定理。
Sharp rigidity for quasilinear Liouville equation on manifolds with nonnegative Ricci curvature
研究具有非负Ricci曲率流形上的拟线性Liouville方程，通过解的最优对数下界得出流形与欧氏空间等距且解为标准泡解，证明中关键是对数下界与总体积上界联系，还提出并证明了关于解与几何相互作用的猜想。
On the Existence of $C^{1,1}$ Isometric Immersions of Several Classes of Negatively Curved Surfaces Into $\mathbb{R}^3$
证明了曲面$(\mathcal{M},g)$上的几类度量到三维欧几里得空间$\mathbb{R}^3$中的$C^{1,1}$等距浸入的存在性，其中度量$g$具有严格负曲率.这些包括标准的双曲平面、广义螺旋线型度量和广义Enneper度量。我们的证明是基于双曲守恒律中的补偿紧性和不变区域的方法，以及对几何量（高斯曲率，度量分量等）的一些观察。负弯曲的表面。
Existence of semiglobal $W^{2,p}$-isometric immersions for negatively curved surface metrics with unbounded second fundamental form
研究具有负高斯曲率的曲面到三维欧氏空间等距浸入的存在性，将高斯 - 科达齐方程转化为双曲守恒律，运用相关理论建立\(W^{2,p}\)-等距浸入存在性，构造出的浸入第二基本形式无界但\(L^p\)可积。
Escobar's Conjecture on a sharp lower bound for the first nonzero Steklov eigenvalue
它是由埃斯科瓦尔[J. Funct。Anal. 165（1999），101- 116]证明了对于具有非负里奇曲率和边界主曲率的$n$维（$n\geq 3$）光滑紧致黎曼流形，其第一非零Steklov特征值大于或等于$c$，且等式仅在半径为$1/c$的等距欧氏球上成立.本文在截面曲率非负的情况下证实了这一猜想。证明是基于一个组合的Qiu-Xia的加权Reilly型公式与一个特殊的选择的权重函数取决于距离函数的边界，以及一个广义Pohozaev型恒等式。
From the Nash--Kuiper Theorem of Isometric Embeddings to the Euler Equations for Steady Fluid Motions: Analogues, Examples, and Extensions
本文通过构造映射，将等距嵌入的几何结构与稳态流体动力学联系起来，探讨了Chaplygin气体等特殊解及多维扩展。
Compatibility of Gauss maps with metrics
给出了黎曼流形$M^m$到球面$S^m$上的光滑局部映射是等距浸入$u:M^m \to R^n$的高斯映射的充要条件，即$n=m+1$ .我们还简要讨论了一般$n$的情况
On the fundamental theorem of submanifold theory and isometric immersions with supercritical low regularity
本文提出在超临界低正则性条件下，通过弱莫雷空间理论和补偿紧致性方法，证明了等距浸入的存在性。
Smoothability of $L^p$-connections on bundles and isometric immersions with $W^{2,p}$-regularity
该研究解决了低正则性联络的光滑逼近问题，并将其应用于刻画容许W^{2,p}等距浸入但不容许光滑等距浸入的黎曼流形度量，推进了等距浸入的正则性理论。
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