Error of discretization of Caputo fractional derivative in weighted spaces
Wroclaw University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫理工大学）
本文研究了Caputo分数导数在加权Sobolev空间中的L1离散化误差界，通过多个加权例子验证了框架的有效性，并展示了分数ODE的L1方案收敛性。
2026-04-24 cs.NA math.NA
High-order discretization errors for the Caputo derivative in Hölder spaces
本文将Caputo导数的离散化误差分析从L1格式扩展到L2、L1-2及任意高阶格式，证明在Hölder空间中误差阶等于函数光滑度与导数阶数之差，并用数值实验验证。
2025-04-10 cs.NA math.NA
High order algorithms for Fokker-Planck equation with Caputo-Fabrizio fractional derivative
基于连续时间的随机游动，导出了具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程，该方程可以有效地模拟各种物理现象，特别是不同尺度的材料非均匀性和结构。扩展分数实体微积分的离散化[Chen and Deng，\emph{ ESAIM: M2AN.} \textbf{49}，（2015），373--394]，我们首先提供具有全局截断误差$\mathcal{O}(τ^ν)$ $ (ν=1,2,3,4)$的Caputo-Fabrizio分数导数的数值离散化。然后我们利用所导出的格式求解Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程。通过分析离散化Caputo-Fabrizio算子刚度矩阵的正定性，理论上证明了离散化Caputo-Fabrizio算子的无条件稳定性和具有全局截断误差$\mathcal{O}(τ^2+h^2)$的收敛性，并进行了数值验证.
2020-08-21 cs.NA math.NA
On a Difference Scheme for Solving Cauchy Problems wuth the Caputo Fractional Derivative in a Banach Space
本文提出并研究了求解线性齐次微分方程的Cauchy问题的时-半离散化格式，其中时间导数为Caputo分数导数，空间算子为扇形算子。研究了收敛率和误差估计，并利用Mittag-Leffler函数、超几何函数和Banach空间中的扇形算子理论。
2017-12-08 cs.NA math.NA
Stochastic Navier-Stokes equations with Caputo derivative driven by fractional noises
School of Mathematics and Statistics, Henan University（河南大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Swansea University（斯旺西大学数学系）
本文研究了由分数布朗运动驱动的扩展随机Navier-Stokes方程，探讨了广义奥本海姆-乌尔岑贝克过程的路径空间和时间正则性，以及在特定条件下解的存在性、唯一性和Hölder正则性，改进了现有文献的结果。
2017-09-15 cs.NA math.NA
Shooting Methods for Fractional Dirichlet-Type Boundary Value Problems of Order $α\in (1,2)$ With Caputo Derivatives
本文针对带 Caputo 导数的非线性分数阶 Dirichlet 型边值问题，提出采用比例分割打靶法选取初始值，证明其可在极少数迭代内达到高精度收敛，并给出相应理论解释。
2025-07-04 cs.NA math.NA
An Efficient Numerical Scheme for a Time-Fractional Burgers Equation with Caputo-Prabhakar Derivative
本文针对具有Caputo-Prabhakar导数的时间分数阶Burgers方程，提出一种结合有限差分与Newton迭代的数值格式，证明其在$L_{\infty}$范数下稳定收敛且时间精度为$(2-α)$阶，并用两个算例验证。
2025-08-28 cs.NA math.NA
High-order approximation to generalized Caputo derivatives and generalized fractional advection-diffusion equations
本文考虑了一种基于三次插值公式的高阶时步格式来逼近广义Caputo分数阶导数（GCFD）。该方案的收敛阶是$(4-α)$，其中$α~(0<α<1)$是GCFD的阶。还提供了局部截断误差。然后，我们利用所发展的格式建立了求解广义分数阶对流-扩散方程Dirichlet边界条件的差分格式。进一步讨论了该差分格式的稳定性和收敛性。数值例子来检验理论索赔。数值分析了差分格式的收敛阶，时间上为$(4-α)$，空间上为二阶。
2022-10-11 cs.NA math.NA
On the formulation of fractional Adams-Bashforth method with Atangana-Baleanu-Caputo derivative to model chaotic problems
本文考虑了使用具有非局部和非奇异性质的Atangana-Baleanu导数的新制定的分数形式的Adams-Bashforth方法的数学分析和数值应用。利用不动点理论和逼近方法，通过一般的二分量时间分数阶微分方程证明了该问题解的存在唯一性。该方法进行了测试与三个非线性混沌动力系统的整数阶导数建模与建议的分数阶的情况下。给出了$(0,1]$中不同$α$值的仿真结果。
2021-10-19 cs.NA math.NA
Fast second-order evaluation for variable-order Caputo fractional derivative with applications to fractional sub-diffusion equations
基于$L2$ - $1_σ$公式和指数和逼近技术，提出了一种变阶Caputo分数阶导数的快速二阶逼近方法.该方法可以达到二阶精度，并进一步减少计算成本和代理内存的VO Caputo分数阶导数。应用该快速算法构造了求解多维VO时间分数阶子扩散方程的相应的时间二阶和空间四阶快速格式（$FL2$格式）.从理论上证明了$FL2$ - $1_σ$格式具有与$L2$ - $1_σ$格式相似的系数性质。因此，严格证明了$FL2$ - $1_σ$格式是无条件稳定和收敛的.数值算例表明，该方法在计算量和作用内存方面都有明显的降低，从而证明了该方法的有效性。
2021-02-05 cs.NA math.NA
The univariate multinode Shepard method for the Caputo fractional derivatives: from Approximation to the solution of Bagley-Torvik equation
本文提出利用单变量多节点Shepard方法结合Gauss-Jacobi求积公式逼近Caputo分数阶导数，并应用于求解Bagley-Torvik方程的边值与初值问题，实验验证了其有效性。
2025-08-11 cs.NA math.NA
Approximations for the Caputo Derivative (I)
University of Rousse（鲁塞大学）
本文构建了Caputo导数不同阶次的近似方法，通过调整初始和末尾权重提升精度，应用于常微分方程的数值求解，其近似方法在精度上优于L1近似。
2016-05-23 cs.NA math.NA
An Exact-Moment Local Legendre Frame Method with Block Convolution for Caputo Fractional Differentiation
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
该研究提出带块卷积的精确矩局部勒让德框架方法，用于精确计算0<α<1的Caputo分数阶导数，通过解析处理奇异核实现指数型收敛，数值实验验证了其精度与效率。
2026-08-20 cs.NA math.NA
A discretization of Caputo derivatives with application to time fractional SDEs and gradient flows
我们考虑了离散化的Caputo衍生物导致反卷积的计划相应的Volterra积分。这种离散化的属性，包括符号的系数，比较原则，和相应的隐格式的稳定性，证明了其链接到Volterra积分与完全单调的内核。然后将相应的向后格式应用于两个时间分数阶耗散问题，这些隐格式有助于相应问题的分析。特别地，我们证明了具有分数阶噪声的过阻尼广义Langevin方程对强凸势具有唯一的极限测度，并建立了时间分数阶梯度流的数值解收敛于强解的条件.所提出的方案和使用相同的理念导出的方案也可以用于许多其他应用。
2019-08-16 cs.NA math.NA
A finite difference method for a two-point boundary value problem with a Caputo fractional derivative
National University of Ireland, Cork（爱尔兰国立大学科克分校）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文改进了Al-Refai比较原理，建立了解的导数的精确界，并证明了有限差分方法的收敛性，通过简单迎风法稳定了粗网格下的数值解。
2013-12-18 cs.NA math.NA
Fast Algorithms and Error Analysis of Caputo Derivatives with Small Factional Orders
在本文中，我们研究快速算法在小分数阶制度，以近似的Caputo导数$^C_0D_t^αu(t)$时，$α$是小的。我们重点研究了两种快速算法，即FIR和FIDR，它们都依赖于指数逼近的和，以减少评估历史部分的成本。FIR是最初在[16]中提出的数值格式，而FIDR是在[26]中提出的替代方案，并且我们证明了当$α$较小时，后者更优越。通过定量估计，我们证明了在给定一定的误差阈值的情况下，随着$α$变小，计算Caputo导数的历史部分的计算成本可以降低。因此，在小的$α$方案中仅需要用于快速评估的最小成本，这与工程实践中的主流协议相匹配。我们还提出了改进的稳定性和误差分析的FIDR求解线性分数阶扩散方程，它实现了明确的依赖于分数阶$α$的误差界。最后，我们进行了系统的数值研究的FIR和FIDR计划的性能，在那里我们探索的准确性和效率之间的权衡时，$α$是小的。
2021-10-20 cs.NA math.NA
High order approximation to Caputo derivative on graded mesh and time-fractional diffusion equation for non-smooth solutions
本文针对解在初始时刻具有奇异性的Caputo型时间分数阶扩散方程，提出基于Lagrange插值的分级网格高阶逼近方法，构造了无条件稳定的差分格式，并分析了非光滑解下的收敛性。
2023-09-23 cs.NA math.NA
A second-order accurate scheme for two-dimensional space fractional diffusion equations with time Caputo-Fabrizio fractional derivative
Lanzhou University（兰州大学）
本文提出并分析了一种用于描述粒子进行异常运动时具有指数Debye模式且无时间跳跃的粒子分布模型的二阶方案，该模型具有幂律跳跃长度。该方案在理论上和数值上均被证明是无条件稳定的，并具有非零初始条件的二阶全局截断误差，同时获得了最优估计。
2019-03-07 cs.NA math.NA
A Hopf-Lax formula for Hamilton-Jacobi equations with Caputo time derivative
本文推导了含Caputo时间分数导数的Hamilton-Jacobi方程的Hopf-Lax型表示式，用于描述随机捕获效应下的最优控制问题。
2018-03-25 cs.NA math.AP math.NA
On a Boundary-Initial Value Problem for Fractional Differential Equation with Sequential Caputo derivatives
National University of Uzbekistan（乌兹别克斯坦国立大学）；V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院 V.I. 罗曼诺夫斯基数学研究所）
本文研究了涉及顺序Caputo导数的分数微分方程，提出利用顺序分数算子的技巧，推导出双变量Mittag-Leffler函数的精确解析解，并开发了基于顺序重述和L1有限元方法的数值方案。
2026-04-23 cs.NA math.AP math.NA
Explicit and implicit TVD schemes for conservation laws with Caputo derivatives
Duke University（杜克大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出显式和隐式TVD方案用于具有Caputo导数的守恒律，解决强约束下的数值实现问题，证明其无条件ℓ¹收缩性和TVD性质，并通过实验验证记忆效应。
2016-10-11 cs.NA math.AP math.NA
About Convergence and Order of Convergence of some Fractional Derivatives
本文建立了Riemann-Liouville、Caputo和Caputo-Fabrizio分数阶算子在微分阶接近1时的收敛性结果。我们考虑了$\left|\left| D^{1-\al}f -f'\right|\right|_p$对p=1和$p=\infty$给出的一些错误，并证明了对Caputo和Caputo Fabrizio算子的收敛阶都是正实数r，0<r<1.最后，比较了Caputo算子和Caputo-Fabrizio算子的收敛速度，得到了它们之间的双Γ函数关系。
2020-01-29 cs.NA math.AP math.CA
The Numerical Approximation of Caputo Fractional Derivative of Higher Orders Using A Shifted Gegenbauer Pseudospectral Method: Two-Point Boundary Value Problems of the Bagley Torvik Type Case Study
本研究提出一种移位 Gegenbauer 伪谱方法逼近任意正阶 Caputo 分数阶导数，通过引入分数阶 SG 积分矩阵实现高效计算，在求解 Bagley-Torvik 型两点边值问题时展现出优于现有方法的指数收敛精度与稳定性。
2025-04-01 cs.NA math.NA
Efficient numerical method for multi-term time-fractional diffusion equations with Caputo-Fabrizio derivatives
本文针对多项Caputo-Fabrizio时间分数阶扩散方程，提出结合快速有限差分与Legendre谱配点法的高效数值格式，实现低存储、低计算复杂度，并证明其无条件稳定且具有二阶时间收敛精度。
2024-01-19 cs.NA math.NA
Caputo derivatives of fractional variable order: numerical approximations
Polytechnic Institute of Leiria（莱里亚理工学院）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出一种新工具用于求解包含分数变量阶Caputo导数的偏微分方程，通过三种Caputo型分数算子得到仅含整数阶导数的近似公式，并提供误差估计，通过测试函数验证数值近似与精确分数导数的一致性。
2015-11-06 cs.NA math.AP math.CA
Modeling Blood Alcohol Concentration Using Fractional Differential Equations Based on the $ψ$-Caputo Derivative
本研究提出基于$\psi$-Caputo分数阶导数的血液酒精浓度动力学模型，通过广义拉普拉斯变换得到解析解，采用非标准核函数使拟合误差降低超一半，效果提升59%，性能优于现有经典及分数阶模型。
2024-02-15 cs.NA math.NA physics.med-ph
Three-Point Compact Approximation for the Caputo Fractional Derivative
University of Rousse（鲁塞大学）
本文推导了分数积分的梯形近似和Caputo导数的L1近似的四阶渐近展开，提出三点紧致近似公式，用于求解分数松弛和时间分数亚扩散方程的数值解。
2015-10-06 cs.NA math.NA
An adaptive memory method for accurate and efficient computation of the Caputo fractional derivative
Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）
本文提出了一种新的数值方法，用于高效准确计算Caputo分数导数，通过减少存储过去时间点函数值的内存需求并改进精度，从而降低计算负载。
2017-11-28 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Delay Modeling with Conformable and Caputo Derivatives: Analytical and Computational Insights
Universidad Católica del Norte（天主教主教大学）；Universidad de Antofagasta（安托法加斯塔大学）；Durban University of Technology（德班理工大学）；North-West University（西北大学）；Universidad Iberoamericana Ciudad de México（墨西哥城伊比利亚美洲大学）；Universidad de Tarapaca（塔拉帕卡大学）
本文研究了使用符合性和Caputo导数的分数阶延迟微分方程，分析了符合性导数的积分、指数函数和拉普拉斯变换，以及Caputo导数的卷积记忆核挑战，比较实验显示符合性导数在稳定性与一致性方面优于Caputo导数。
2026-04-24 cs.NA math-ph math.MP
High order fast algorithm for the Caputo fractional derivative
Chongqing University（重庆大学）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
本文提出一种高阶快速算法，用于计算Caputo分数导数，通过非均匀子区间分割和多项式近似，降低存储和计算成本，与直接方法相比，存储和计算复杂度从O(n)降至O((K+1)logn)，并证明其收敛率与直接方法相同。
2017-05-17 cs.NA math.NA
A Second Order Approximation for the Caputo Fractional Derivative
University of Rousse（鲁塞大学）
本文提出一种二阶近似方法用于Caputo分数导数，通过扩展求和公式得到分数积分和导数的近似表达式，并验证了其在分数松弛和子扩散方程中的数值解效果。
2015-02-09 cs.NA math.NA
A Caputo fractional derivative-based algorithm for optimization
Brown University（布朗大学）
我们提出了一种新的Caputo分数阶导数为基础的优化算法。在定义了笛卡尔坐标系下的Caputo分数阶梯度后，我们提出了一种通用的Caputo分数阶梯度下降（CFGD）方法。我们证明了CFGD产生局部平滑目标函数的最速下降方向。通用CFGD需要指定三个参数，并且选择参数会产生CFGD的版本。我们提出了三个版本-非自适应，自适应终端和自适应顺序。通过重点放在二次目标函数，我们提供了一个收敛性分析。我们证明了非自适应CFGD收敛到Tikhonov正则化的解决方案。对于这两个自适应版本，我们推导出误差界，在一定的条件下，这表明收敛到整数阶平稳点。本文导出了二次函数的CFGD的一个显式公式。我们计算发现，自适应终端（AT）CFGD减轻了依赖于条件数的收敛速率，并导致显着加速梯度下降（GD）。对于非二次函数，我们开发了一个有效的实现CFGD使用高斯-雅可比求积，其计算成本近似成正比的求积点的数量和GD的成本。我们的数值例子表明，AT-CFGD的结果在GD上的加速度，即使当使用少量的高斯-雅可比求积点（包括一个单一的点）。
2021-04-06 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical approximation of Caputo-type advection-diffusion equations in one and multiple spatial dimensions via shifted Chebyshev polynomials
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学）
本文基于移位切比雪夫多项式结合伪谱法构造稳定运算矩阵，将Caputo型对流扩散方程离散转化为Sylvester（张量）方程求解，配套Matlab代码，经实验验证方法有效。
2025-11-14 cs.NA math.NA
Numerical approximation of Caputo-type advection-diffusion equations via Sylvester equations
该研究提出3-α阶Caputo分数阶导数逼近方法，结合FFT快速卷积与运算矩阵，将Caputo型对流扩散方程转化为Sylvester方程求解，通过数值实验验证了方法有效性并公开了Matlab实现代码。
2025-01-15 cs.NA math.NA
Fast evaluation of the Caputo fractional derivative and its applications to fractional diffusion equations
New Jersey Institute of Technology（新泽理工学院）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Wayne State University（韦恩州立大学）
本文提出了一种高效算法，用于计算Caputo分数导数，通过指数近似减少存储和计算成本，适用于分数扩散方程的求解。
2015-11-11 cs.NA math.NA
A novel numerical technique used in the solution of ordinary differential equations with a mixture of integer and fractional derivatives
Czestochowa University of Technology（琴斯托霍瓦工业大学）
本文提出了一种结合Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数与整数阶导数的数值方法，通过四种Caputo导数离散形式和三种ODE求解技术，并展示了如何在含Riemann-Liouville导数的方程中引入经典初始条件。
2007-12-02 cs.NA math.DS math.NA
Stability of the Rao-Nakra sandwich beam with a dissipation of fractional derivative type: theoretical and numerical study
本文研究含广义Caputo分数阶阻尼的Rao-Nakra夹层梁模型，通过引入新变量将分数阶导数转化为扩散方程，证明了能量的多项式衰减，并用能量守恒有限差分格式进行了数值验证。
2024-05-28 cs.NA math.AP math.NA
Exponentially Convergent Numerical Method for Abstract Cauchy Problem with Fractional Derivative of Caputo Type
提出一种指数收敛的数值方法，基于新解公式和sinc求积逼近具有Caputo时间分数阶导数和无界算子系数的抽象Cauchy问题，适用于全范围阶数并支持多级并行，数值实验证实了理论误差估计。
2025-04-07 cs.MS cs.NA math.AP
A Finite Element Approximation for a Class of Caputo Time-Fractional Diffusion Equations
Moulay Ismail University（穆莱·伊斯梅尔大学）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出了一种利用时间有限差分法和空间有限元法的完全离散方案，用于求解Caputo意义下的时间分数扩散方程，并通过两个数值例子验证了该方法的准确性和效率。
2019-05-25 cs.NA math.AP math.NA
Fast procedures for Caputo fractional derivative and its applications to ordinary and partial differential equations
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文提出快速求解含Caputo分数导数的常微分和偏微分方程的算法，通过快速傅里叶变换和矩阵结构优化，将计算复杂度从O(N³)降至O(Nlog²N)，内存需求从O(N²)降至O(N)。
2018-01-30 cs.NA math.AP math.NA
