Existence, multiplicity and concentration for a class of fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$
在这项工作中，我们考虑以下类的分数$p\&q$拉普拉斯问题\begin{equation*} (-Δ)_{p}^{s}u+ (-Δ)_{q}^{s}u + V(\varepsilon x) (|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u)= f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}其中$\varepsilon>0$是一个参数，$s\in (0, 1)$，$1< p<q<\frac{N}{s}$，$(-Δ)^{s}_{t}$，与$t\in \{p,q\}$，是分数$t$ -拉普拉斯算子，$V:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续的潜力和$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是一个$\mathcal{C}^{1}$ -功能与亚临界增长。应用极大极小定理和Ljusternik-Schnirelmann理论，在$\varepsilon$充分小的条件下，研究了非平凡解的存在性、多重性和集中性.
2019-01-30 math.AP
Finite many critical problems involving Fractional Laplacians in $\mathbb{R}^{N}$
本文考虑$\mathbb{R}^{N}$中的非局部椭圆型问题，其中包含有限多个临界指数。利用端点加细Hardy-Sobolev不等式、分数阶索伯列夫空间和变分方法，证明了非负解的存在性.我们的结果推广了Yang和Wu [Adv. Nonlinear Stud.（2017）\cite{Yang2017} ]的一些结果。
2018-05-28 math.AP
{Localized nodal solutions for $p-$Laplacian equations with critical exponents in $\mathbb{R}^N$
本文考虑了$p-$ Laplacian非线性薛定谔方程$$ -ε^pΔ_pu+V(x)|u|^{p-2}u=|u|^{p^*-2}u+μ|u|^{q-2}u,~~u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N), $$的局部变号解的存在性，其中$1<p<N$，$p_N=\max\{p,p^*-1\}<q<p^*=\frac{Np}{N-p}$，$μ>0$，$Δ_p$是$p-$ Laplacian算子.通过使用惩罚方法与截断方法和爆破参数，我们建立了小$ε$的存在性的一系列局部节点的解决方案集中在一个给定的局部极小点附近的潜在功能。
2019-12-06 math.AP
Sharp estimates for the Schrödinger equation associated to the twisted Laplacian
本文给出了$\mathbb{C}^{n}\cong \mathbb{R}^{2n}$上与扭曲拉普拉斯算子相关联的薛定谔方程的Schehartz估计.初始数据将在与扭曲拉普拉斯算子相关联的合适的索伯列夫空间中考虑。
2019-12-09 math.AP
A semilinear equation involving the fractional Laplacian in $\mathbb{R}^n$
本文考虑欧氏空间$\mathbb{R}^n$中含分数拉普拉斯算子的半线性方程：\begin{equation} (-Δ)^{α/2} u(x) = f(x_n) \,u^p(x), \quad x \in \mathbb{R}^n \label{n26} \end{equation}在次临界情形下的解，其中有$1<p<\frac{n+α}{n-α}$ .我们没有直接研究伪微分方程（\ref{n26}），而是首先在积分方程中寻找它的等价形式：\begin{equation} u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}G_{\infty}(x,y)\,f(y_n)\, u^{p}(y)\,dy, \label{n27} \end{equation}其中$ G_{\infty}(x,y)$是与$\mathbb{R}^n$中的分数拉普拉斯算子相关的格林函数。利用\emph{method of moving planes in integral forms}，我们能够得到次临界情形下（\ref{n27}）正解的不存在性.因此，对于（\ref{n26}）也是同样的结论。
2015-03-07 math.AP
Universal Bounds for Fractional Laplacian on a Bounded Open Domain in $\mathbb{R}^{n}$
设$Ω$是欧氏空间$\mathbb{R}^{n}$上的有界开域，$\mathbb{Q}_{+}$是正有理数集.在2017年，Chen和Zeng研究了分数拉普拉斯$\left.(-Δ)^{s}\right|_Ω$的高阶特征值对于$s>0$和$s \in \mathbb{Q}_{+}$，他们得到了一个杨型不等式（\emph{ Universal inequality and upper bounds of eigenvalues for non-integer poly-Laplacian on a bounded domain, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, (2017) \textbf{56}:131}）。本文在Chen和Zeng工作的基础上，研究了分数阶Laplacian的特征值问题，并在相同条件下建立了低阶特征值不等式。同时，我们的特征值不等式是普适的，推广了Jost等人给出的多调和算子的特征值不等式。（\emph{Universal bounds for eigenvalues of polyharmonic operator. Trans. Amer. Math. Soc. {\bf 363}(4), 1821-1854 (2011)}）。
2023-01-30 math.AP
The Brezis-Nirenberg problem for the Laplacian with a singular drift in $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{S}^n.$
我们考虑了在$\mathbb{R}^{n}$和$\mathbb{S}^n$，$3 \le n \le 5$中球具有奇异漂移的拉普拉斯算子的Brezis-Nirenberg问题.奇异漂移，我们认为来自一个潜在的是对称的中心（测地线）球。这里的电势是由一个参数（比如说$δ$）乘以到球心距离的对数给出的。在这两种情况下，我们确定的确切区域中的参数空间的正光滑的解决方案，这个问题的存在和确切的区域，其中有没有解决方案。参数空间由球的（测地线）半径、$δ$和$λ$（Brezis-Nirenberg问题的线性项的耦合常数）表征。
2019-02-04 math.AP
Solutions with various structures for semilinear equations in $\mathbb R^n$ driven by fractional Laplacian
研究了分数阶方程$(-Δ)^s u + u - |u|^{q-2}u = 0$在$\mathbb R^n$中的有界解，其中有$n\ge2$和次临界指数$q>2$ .应用Lerman，Naryshkin和Nazarov（2020）引入的基于浓度参数和对称性考虑的变分方法，我们构造了几种具有不同结构（径向，矩形，三角形，六边形，准周期，呼吸器类型等）的解。
2021-11-14 math.AP
The Fractional Laplacian has Infinite Dimension
证明了$\mathbb{R}^d$上的分数拉普拉斯算子对所有曲率界$κ\in \mathbb{R}$和所有有限维$N>0$不满足Bakry-Émery曲率维数不等式$CD(κ,N)$.
2019-08-08 math.AP
Semilinear equations associated with Dunkl Laplacian
令$Δ_k$是与反射群$W$和重数函数$k$相关联的$\mathbb R^d$上的Dunkl Laplacian。本文的目的是建立方程$Δ_ku=φ(u)$在$\mathbb R^d$的单位球上以及在整个空间$\mathbb R^d$上存在正解的充要条件.
2015-11-05 math.AP
The nodal line of the second eigenfunction of the Robin Laplacian in $\mathbb{R}^2$ can be closed
我们在$\mathbb{R}^2$中构造了一个多连通区域，其中具有Robin边界条件的Laplacian算子的第二特征函数具有内部节点线。在这个过程中，我们适应的Donnelly-Fergusman型的边界，以获得一个统一的估计的大小的一个序列的解的一个序列的椭圆型方程的内部区域，这并不直接依赖于任何边界行为。这也给出了Dirichlet情形下例子的节线性质的一个新证明。
2010-09-24 math.AP
Multiplicity and concentration results for a $(p, q)$-Laplacian problem in $\mathbb{R}^{N}$
本文研究了以下$(p, q)$-Laplacian问题：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -Δ_{p} u -Δ_{q} u +V(\varepsilon x) \left(|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u\right) = f(u) &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \\ u\in W^{1, p}(\mathbb{R}^{N})\cap W^{1, q}(\mathbb{R}^{N}), \quad u>0 \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{array} \right. \end{equation*}其中$\varepsilon>0$是小参数，$1< p<q<N$，$Δ_{r}u=\mbox{div}(|\nabla u|^{r-2}\nabla u)$，带$r\in \{p, q\}$，是$r$-Laplacian算子，$V:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$是满足整体Rabinowitz条件的连续函数，$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是具有次临界增长的连续函数.利用适当的变分变分方法和Ljusternik-Schnirelmann范畴理论，研究了小$\varepsilon$…
2021-07-15 math.AP
The $s$-polyharmonic extension problem and higher-order fractional Laplacians
详细描述了$\mathbb{R}^n$上的$2s\in(0,n)$阶分数拉普拉斯算子与$\textit{$上半空间$\mathbb{R}^{n+1}_+$的$-polyharmonic}$扩张算子之间的关系.
2022-04-15 math.AP
On the Pohozaev identity for the fractional $p$-Laplacian operator in $\mathbb{R}^N$
研究含分数阶 p-Laplacian 与 Berestycki–Lions 型非线性项的非线性问题，证明非平凡弱解存在并满足 Pohozaev 恒等式，且任意充分光滑解均满足该恒等式。
2024-04-03 math.AP
N-Laplacian equations in $\mathbb{R}^{N}$ with subcritical and critical growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition
设$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界域.本文考虑如下非线性椭圆型方程：$N$ -Laplacian型方程：$-Δ_{N}u=f(x,u)$其中当$f$是次临界或临界指数增长时，$u\in W_{0}^{1,2}\{0}$.这种非线性是由Moser-Trudinger不等式激发的。事实上，我们将证明在没有Ambrosetti-Rabinowitz $(AR)$条件的情况下，上述方程存在非平凡非负解。当非线性项$f$具有指数增长时，文献中关于$\mathbb{R}^{N}$中$N-$ Laplacian非平凡解的存在性的早期工作只处理当$f$满足$(AR)$条件时的情况。我们的方法是基于一个合适的版本的山路定理介绍G。Cerami \cite{Ce1, Ce2}。这种方法也可以用来产生的$p$ -拉普拉斯方程（$1<p<N$）在亚临界多项式增长的情况下的存在性结果。
2010-12-25 math.AP
Fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$ with critical growth
本文研究了含有分数阶$p\&q$拉普拉斯算子的非线性问题：\begin{equation*} (-Δ)^{s}_{p}u+(-Δ)^{s}_{q}u+|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=λh(x) f(u)+|u|^{q^{*}_{s}-2}u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}其中$s\in (0,1)$，$1<p<q<\frac{N}{s}$，$q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$，$λ>0$是参数，$h$是非平凡有界扰动，$f$是具有次临界增长的超线性连续函数.利用适当的变分变分和集中紧引理，证明了充分大的$λ$的非平凡非负解的存在性。
2019-06-29 math.AP
Existence of solutions for a class of $p(x)$-laplacian equations involving a concave-convex nonlinearity with critical growth in $\mathbb{R}^{N}$
证明了一类具有临界增长的变指数非线性拟线性问题解的存在性。所使用的主要工具是变分方法，更准确地说，是Ekeland的变分原理和山路定理。
2013-12-11 math.AP
Variational approach to the asymptotic mean-value property for the p-Laplacian on Carnot groups
令$1<p \leq \infty$。我们提供了一个渐进的表征连续黏性解$u$的规范$p$拉普拉斯$Δ_{p\,\mathbb{G}}^N u=0$在任何卡诺集团$\mathbb{G}$。
2019-07-02 math.AP
A System of p-Laplacian Equations on the Sierpinski Gasket
本文研究了$\mathbb{R}^2$中Sierpierski垫片上的一类含弱p-Laplacian算子的边值问题。参数$λ, γ, α, β$是实数，并且适当地选择$1<q<p<α+β.$函数$a,b,h : \mathcal{S} \rightarrow \mathbb{R}$。对于$p>1$，我们证明了某些$(λ,γ) \in \mathbb{R}^2.$方程组至少存在两个非平凡弱解
2018-07-18 math.AP
On a class of critical $N$-Laplacian problems
在${\mathbb R}^N$中建立了有界区域上一类临界$N$ -Laplacian问题解的存在性结果.在没有一个合适的直和分解，我们使用一个抽象的链接定理的基础上的${\mathbb Z}_2$ -上同调指数，以获得一个非平凡的临界点。
2022-05-16 math.AP
Existence of multiple solutions of a p-Laplacian equation on the Sierpinski Gasket
本文研究了如下涉及弱p-Laplacian算子的边值问题。\begin{equation*} \quad -M(\|u\|_{\mathcal{E}_p}^p)Δ_p u = h(x,u) \; \text{in}\; \mathcal{S}\setminus\mathcal{S}_0; \quad u = 0 \; \mbox{on}\; \mathcal{S}_0, \end{equation*}其中$\mathcal{S}$是$\mathbb{R}^2$中的Sierpienski垫片，$\mathcal{S}_0$是其边界。$M : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$由$M(t) = at^k +b$和$a,b,k >0$和$h : \mathcal{S} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$定义我们将证明上述问题的两个非平凡弱解的存在性。
2018-07-18 math.AP
Existence, uniqueness, and decay results for singular $Φ$-Laplacian systems in $\mathbb{R}^N$
本文利用移位法、变分法及多种分析技术，研究了奇异 $\Phi$-Laplacian 系统解的存在性、先验估计、衰减性与唯一性，并给出了 Diaz-Saa 型结果。
2023-06-29 math.AP
Strauss' and Lions' type results in $BV(\mathbb{R}^N)$ with an application to $1-$Laplacian problem
在这项工作中，我们的状态和证明版本的一些经典的结果，在框架中定义的泛函空间中的有界变差的函数$\mathbb{R}^N$。更确切地说，我们目前的版本的径向引理的施特劳斯，紧凑的嵌入空间的径向对称函数的$BV(\mathbb{R}^N)$在一些勒贝格空间，也是一个版本的狮子引理，证明了他的著名论文1984年。作为应用，我们给出并证明了一个不带Palais-Smale条件的山路引理，得到了$\mathbb{R}^N$中含$1-$ Laplacian算子的拟线性椭圆型方程基态有界变差解的存在性.这似乎是第一次工作处理固定问题，涉及这个运营商在整个空间。
2016-10-24 math.AP
Examples of Twice Differentiable Functions in $\mathbb{R}^n$ with Continuous Laplacian and Unbounded Hessian
我们在$\mathbb{R}^n$中构造了具有连续拉普拉斯算子和无界Hessian算子的二次可微函数的例子。同样的构造也适用于高阶可微性。
2022-08-28 math.AP math.CV
A priori estimates and Blow-up behavior for solutions of $-Q_{N}u=Ve^{u}$ in bounded domain in $\mathbb{R}^{N}$
设$Q_{N}$是$N$ -各向异性拉普拉斯算子，它包含了普通拉普拉斯算子、$N$ -拉普拉斯算子和各向异性拉普拉斯算子.本文首先得到了$Q_{N}$的一些性质，包括弱极大值原理、比较原理和均值性质。然后建立了有界区域上$-Q_{N}u=Ve^{u}$在$\mathbb{R}^{N}$，$N\geq 2$中解的先验估计和爆破分析.最后，进一步研究了唯一爆破点的性质。
2016-02-19 math.AP
Asymptotic analysis of the Dirichlet fractional Laplacian in domains becoming unbounded
本文分析了Dirichlet分数Laplacian $(-Δ_{\mathbb R^{n+k}})^{s}$在$\mathbb R^{n+k}$中的有界区域上的渐近性态，当$(-Δ_{\mathbb R^{n+k}})^{s}$在最后一个$k$ -方向上变为无界时，$(-Δ_{\mathbb R^{n+k}})^{s}$满足$s\in (0, 1)$.通过$Γ$ -收敛观察并描述了降维现象。
2019-10-25 math.AP
Local boundedness of solutions to nonlocal equations modeled on the fractional p-Laplacian
我们的状态和证明估计的局部有界性的非局部，可能退化，抛物型积分微分方程的形式\begin{equation*} \partial_tu(x,t)+\mbox{P.V.}\int\limits_{\mathbb R^n}K(x,y,t) |u(x,t)-u(y,t) |^{p-2}(u(x,t)-u(y,t))\, dy,\end{equation*} $(x,t)\in\mathbb R^n\times\mathbb R$，其中$\mbox{P.V.} $的意思是在主值意义下，$p\in (1,\infty)$和内核服从$K(x,y,t)\approx |x-y |^{n+ps}$的一些$s\in (0,1)$，一致在$(x,y,t)\in\mathbb R^n\times \mathbb R^n\times\mathbb R$。
2017-12-11 math.AP
Harnack inequality and principal eigentheory for general infinity Laplacian operators with gradient in $\mathbb{R}^N$ and applications
在缺乏变分结构和非退化性的条件下，研究了一类带梯度项和齐次项的一般无穷Laplacian算子的三个\textit{generalized principal eigenvalue}概念。证明了一个Harnack不等式和边界Harnack不等式支持我们的分析。这是我们的第一个工作[3]的延续，也是对\textit{generalized principal eigenvalue}理论发展的贡献。利用这些概念刻画了最大值原理的有效性，并研究了Fisher-KPP型方程在全空间上正解的存在性、不存在性和唯一性.对滑动法进行了本质上的改进，使之适合于无穷大拉普拉斯算子求解。结果与Liouville型结果有关，这将被详细解释。
2022-02-04 math.AP
The evolution fractional p-Laplacian equation in $\mathbb{R}^N$. Fundamental solution and asymptotic behaviour
本文研究了在整个欧几里得空间中自然存在的含时分数阶$p$方程，其参数为$p>2$和$s\in (0,1)$（分数阶指数）.我们证明了Lebesgue $L^q$空间中数据的Cauchy问题是适定的，并且证明了这些解形成了一族具有正则性和其他有趣性质的非扩张半群。作为主要结果，我们对每个质量值$M,$构造了自相似基本解，并证明了一般有限质量解在所有$L^q$空间中收敛于具有相同质量的基本解.
2020-05-31 math.AP
Nonlinear equations for fractional Laplacians I: Regularity, maximum principles, and Hamiltonian estimates
这是两篇文章中的第一篇，涉及方程$(-Δ)^{s} v= f(v)$在$\mathbb{R}^{n}$，与$s\in (0,1)$，其中$(-Δ)^{s}$代表分数拉普拉斯算子-无穷小发电机的一个列维过程。该方程可以在$\mathbb{R}^{n+1}_+$中实现为一个局部线性退化椭圆型方程，并在$\partial \mathbb{R}^{n+1}_+=\mathbb{R}^{n}$中实现为一个非线性Neumann边界条件。在这第一篇文章中，我们建立了非线性$f$允许某些类型的解的必要条件，特别是在所有的$\mathbb{R}$有界增长的解决方案的兴趣。这些必要条件（这将在后续文件中证明也是足够的存在一个有界增加的解决方案）是来自一个等式和一个估计涉及一个哈密尔顿-在精神的结果Modica的拉普拉斯算子。此外，我们还研究了正则性问题，以及与方程相关的最大值和Harnack原理。
2010-12-08 math.AP
Topological aspects of $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ eigenfunctions for the Laplacian on $S^2$
本文研究了$S^2$中偶数点补上实线丛截面空间上球面Laplacian的特征函数和特征值的性质。特别感兴趣的是如何改变这些特征值和特征向量时，被视为功能的配置空间的点。
2022-07-25 math.AP math.DG
Degenerate Schr{ö}dinger-Kirchhoff $(p, N)$-Laplacian problem With singular Trudinger-Moser nonlinearity in $\mathbb{R}^N$
本文研究ℝ^N中具有奇异指数非线性的退化(p, N)-Laplacian Schrödinger-Kirchhoff问题，利用山路定理、Ekeland变分原理、奇异Trudinger-Moser不等式及新的Brézis-Lieb型引理，证明了非平凡非负解的存在性。
2023-12-01 math.AP
Normalized groundstates for mixed $(p,2)$-Laplacian equations in $\mathbb R^2$ with exponential critical growth
School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
本文研究了混合(p,2)-Laplace方程在二维空间中带有指数临界增长的归一化基态，通过改进的Moser迭代技术克服了正则性不足和临界增长对紧致性的破坏，证明了对于任意给定的质量m>0，归一化基态的存在性。
2026-05-19 math.AP
Critical system involving fractional Laplacian
本文研究了具有分数阶Laplacian算子的临界系统：\begin{equation*} \begin{cases} (-Δ)^{s}u= μ_{1}|u|^{2^{\ast}-2}u+\frac{αγ}{2^{\ast}}|u|^{α-2}u|v|^β \ \ \ \text{in} \ \ \mathbb{R}^{n}, (-Δ)^{s}v= μ_{2}|v|^{2^{\ast}-2}v+\frac{βγ}{2^{\ast}}|u|^α|v|^{β-2}v\ \ \ \ \text{in} \ \ \mathbb{R}^{n}, u,v\in D_{s}(\mathbb{R}^{n}). \end{cases} \end{equation*}.利用Nehari流形，在适当的条件下，建立了系统正最小能量解的存在性和不存在性.
2017-10-12 math.AP
A unified approach to symmetry for semilinear equations associated to the Laplacian in $\mathbb{R}^N$
证明了Hénon方程$-Δu = |x|^{-\ell} u^q $在$\mathbb{R}^N \setminus \{ 0\} $中正解的径向对称性，其中$\ell \geq 0$，$q>0$和满足进一步的技术条件.一个新的成分是半空间开子集的极大值原理。它允许应用移动平面法，一旦在无穷远处建立了解的缓慢衰减，即$\lim _{|x|\to \infty } |x|^{γ} u(x) =L $，对于某些数$γ\in (0, N-2)$和$L >0$。此外，还给出了$q> \frac{N+1}{N-3}$和$N\geq 4$的非径向解的例子.我们还建立了$\mathbb{R}^N $和$\mathbb{R}^N \setminus \{ 0\} $的相关和更一般的问题径向对称。
2020-01-07 math.AP
Hardy Type Inequalities for $Δ_λ$-Laplacians
我们推导出一类属于$Δ_λ$ -Laplacian算子的子椭圆算子的Hardy型不等式，并找到了所涉及的常数的显式值.我们的结果推广了以前针对Grushin型算子$$ Δ_{x}+ |x|^{2α}Δ_{y},\qquad\ (x,y)\in\mathbb{R}^{N_1}\times\mathbb{R}^{N_2},\ α\geq 0, $$获得的不等式，这些不等式已被证明是尖锐的。
2015-03-06 math.AP
Groundstate asymptotics for a class of singularly perturbed $p$-Laplacian problems in $\mathbb {R}^N$
研究了拟线性椭圆型方程\begin{equation} -Δ_{p} u + \varepsilon u^{p-1} - u^{q-1} +u^{\mathit{l}-1} = 0 \qquad \text{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \end{equation}正基态解的渐近性态，其中$1<p<N $，$p<q<l<+\infty$和$\varepsilon> 0 $是小参数.对于$\varepsilon\rightarrow 0$，我们给出了渐近制度作为参数$q$，$l$和$N$的函数的特性。特别是，我们表明，基态的行为是敏感的$q$是否小于，等于，或大于临界Sobolev指数$p^{*} :=\frac{pN}{N-p}$。
2019-05-12 math.AP
Local existence conditions for an equations involving the $p(x)$-Laplacian with critical exponent in $\mathbb{R}^N$
本文的目的是给出一个包含$\mathbb{R}^N$中的$p(x)$ -Laplacian算子的临界方程存在的充分条件。该方程是关键的，因为源项具有$K(x)|u|^{q(x)-2}u$的形式，其指数$q$在$\mathbb{R}^N$的某些点处（包括在无穷远处）可以等于临界指数$p^*$。我们发现的充分存在条件是局部的，在这个意义上，他们只依赖于这些点附近的指数$p$和$q$的行为。我们强调，我们不假设任何对称性或周期性的方程的系数，并认为$K$是不需要消失在某种意义上在无穷大像在大多数现有的结果。这些局部存在性条件的证明是基于一个概念，本地化的最佳Sobolev常数在无穷远和一个精致的浓度紧在无穷远。
2015-11-14 math.AP
Existence of three solutions for parametric $p$-Laplacian equations in $\mathbb{R}^N$
University of Messina（墨西拿大学）
本文通过变分方法和两个三临界点定理，证明了全空间中 $p>N$ 的 $p$-Laplacian 方程在适当条件下至少存在三个弱解，并给出了参数范围及非负性条件。
2026-10-08 math.AP
Normalized solution to the nonlinear p-Laplacian equation with an L^2 constrain: mass supercritical case
本文研究了具有$L^2$约束的某维$N\geq3$中以下p-Laplacian方程基态解的存在性：\begin{equation*} \begin{cases} -Δ_{p}u+{\vert u\vert}^{p-2}u=f(u)-μu \quad \text{ in } \mathbb{R}^N,\\ {\Vert u\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m,\\ u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\cap L^2(\mathbb{R}^N), \end{cases} \end{equation*}，其中$-Δ_{p}u=div\left( {\vert\nabla u\vert}^{p-2}\nabla u \right)$、$2\leq p<N$、$f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$、$m>0$、$μ\in\mathbb{R}$将表现为拉格朗日乘子，并且连续非线性$f$满足质量超临界条件。我们主要研究基态能量$E_m$随$m>0$在一定范围内变化的行为，目的是推广非线性标量场方程当$p=2$变化时的情形，降低非线性$f$的约束条件。
2022-11-02 math.AP
On a Rayleigh-Faber-Krahn inequality for the regional fractional Laplacian
研究了区域分数Laplacian算子的一个Rayleigh-Faber-Krahn不等式.特别是，我们表明，存在一个companimous支持的非负Sobolev函数$u_0$，达到下确界（这将是一个正实数）的集合\[ \left\{ \int\int_{\{u > 0\}\times\{u>0\}} \frac{|u(x) - u(y)|^2}{|x - y|^{n + 2 σ}}d x d y : u \in \mathring H^σ(\mathbb{R}^n), \int_{\mathbb{R}^n} u^2 = 1, |\{u > 0 \}| \leq 1\right\}. \]与相应的问题，通常的分数拉普拉斯算子，其中的域的集成是$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$，对称化技术可能不适用于这里。相反，我们的方法是基于直接法和新的先验直径估计。我们还提出了几个悬而未决的问题，有关的规则性和形状的极小，和形式的欧拉-拉格朗日方程。
2021-08-18 math.AP
Existence and regularity for a $p$-Laplacian problem in $\mathbb{R}^N$ with singular, convective, critical reaction
本文研究全空间 $\mathbb{R}^N$ 中带奇异、对流和临界反应项的 $p$-Laplacian 问题，结合变分法、截断、集中紧性、集值分析与不动点理论证明了解的存在性，并利用 De Giorgi 技术和正则性理论得到局部 $C^{1,α}$ 正则性与无穷远衰减。
2024-05-07 math.AP
Sharp weighted Sobolev trace inequalities and fractional powers of the Laplacian
Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文建立一族尖锐Sobolev迹不等式，将Laplacian分数次幂实现为广义Dirichlet-to-Neumann算子，推广了Caffarelli--Silvestre和Yang的结果。
2026-09-09 math.AP
Infinitely many non-radial sign-changing solutions for a Fractional Laplacian equation with critical nonlinearity
本文研究了具有纯临界非线性项的分数阶Laplacian问题\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u=|u|^{\frac{4s}{N-2s}}u, &\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \\ u\in \mathcal{D}^{s,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation*}，其中$s\in (0,1)$，$N$是正整数，$N\geq 3$，$(-Δ)^{s}$是分数阶Laplacian算子.我们将证明这个问题有无穷多个非径向变号解。
2014-08-14 math.AP
The semigroup generated by the Dirichlet Laplacian of fractional order
在全空间$\mathbb R^d$中，我们建立了Besov空间中热半群的线性估计，它们是$L^p$ - $L^q$型估计，极大正则性估计，等.本文研究了$\mathbb R^d$的任意开集上分数阶Dirichlet Laplacian生成半群关于Besov空间的估计.
2017-12-15 math.AP
Kirchhoff equations with Choquard exponential type nonlinearity involving the fractional Laplacian
本文讨论了一类非局部问题$$ \left\{ \begin{array}{lr} \quad - M\left(\displaystyle\int_{\mathbb R^n}\int_{\mathbb R^{n}} \frac{|u(x)-u(y)|^{\frac{n}{s}}}{|x-y|^{2n}}~dxdy\right) (-Δ)^{s}_{n/s} u=\left(\displaystyle\int_Ω\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}~dy\right)g(x,u) \; \text{in}\; Ω,\\ \quad \quad u =0\quad\text{in} \quad \mathbb R^n \setminus Ω, \end{array} \right. $$的非负解的存在性，其中$(-Δ)^{s}_{n/s}$是$n/s$ -分式Laplace算子，$n\geq 1$，$s\in(0,1)$使得$n/s\geq 2$，$Ω\subset \mathbb R^n$是具有Lipschitz边界的有界区域，$M:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$和$g:Ω\times\mathbb R\rightarrow \mathbb R$是连续函数，其中$g$的行为类似于$\exp({|u|^{\frac{n}{n-s}}})$…
2019-08-29 math.AP
Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity
本文讨论了分数阶Laplacian方程\begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad\text{in}\,\,Ω, u=0,\text{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*}正解的多重性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$是一个具有光滑边界的有界区域，$0<α<2$，$(-Δ)^{\fracα{2}}$是分数阶Laplacian算子，$f\in C(Ω\times\mathbb{R},\mathbb{R})$可以变号，$λ$是一个正参数.我们将证明存在$λ_{*}>0$使得问题对于每个$λ\in (0\,,\,λ_{*})$至少有两个正解。此外，还研究了溶液的浓度行为。
2015-02-08 math.AP
On a doubly critical system involving fractional Laplacian with partial weight
本文在加权Morrey空间上建立了一个新的改进的Sobolev不等式.确切地说，存在$C=C(n,m,s,α)>0$，使得对于任何$u,v \in {\dot{H}}^s(\mathbb{R}^{n})$和任何$θ\in (\barθ,1)$，它保持\begin{equation} \label{eq0.3} \Big( \int_{ \mathbb{R}^{n} } \frac{ |(uv)(y)|^{\frac{2^*_{s}(α)}{2} } } { |y'|^α } dy \Big)^{ \frac{1}{ 2^*_{s} (α) }} \leq C ||u||_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^{n})}^{\fracθ{2}} ||v||_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^{n})}^{\fracθ{2}} ||(uv)||^{\frac{1-θ}{2}}_{ L^{1,n-2s+r}(\mathbb{R}^{n},|y'|^{-r}) }, \end{equation}，其中$s \!\in\! (0,1)$、$0\!<\!α\!<\!2s\!<\!n$、$2s\!<\!m\!<\!n$、$\barθ=\max \{ \frac{2}{2^*_{s}(α)}, 1-\fracα{s}\cdot\frac{1}{2^*_{s}(α)}, \frac{…
2020-03-18 math.AP
The logarithmic $p$-Laplacian on hyperbolic spaces
Universidad de La Laguna（拉各斯大学）
本文引入双曲空间上的对数$p$-拉普拉斯算子，证明其分数阶极限公式，建立逐点积分表示，验证其可作为延拓问题的解，并给出欧氏空间对应算子的延拓定理，填补相关研究空白。
2026-08-04 math.AP
Strong comparison principle for the fractional $p$-Laplacian and applications to starshaped rings
在下文中，我们展示了分数$p$ -拉普拉斯算子的强比较原理，即我们分析了满足$\mathbb{R}^N$和\[ (-Δ)^s_pv+q(x)|v|^{p-2}v\geq (-Δ)^s_pw+q(x)|w|^{p-2}w \quad \text{in $D$,} \]中的$v\geq w$的函数$v,w$，其中$s\in(0,1)$、$p>1$、$D\subset \mathbb{R}^N$是开集，而$q\in L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$是非负函数。在适当的条件下，$s,p$和$v,w$的一些正则性假设，我们表明，无论是在$\mathbb{R}^N$ $v\equiv w$或$v>w$在$D$。此外，我们还应用这个结果分析了星形环和半空间中非负解的几何性质。
2017-11-30 math.AP
Problems involving the fractional $g$-Laplacian with Lack of Compactness
本文证明了由径向函数构成的分数阶索伯列夫空间$W^{s, G}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$的子空间的紧嵌入，我们的目标嵌入空间是Orlicz型的。此外，我们证明了一个狮子和Lieb型结果$W^{s,G}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$，在一个特定的方式一起工作，得到一个序列的弱极限是非平凡的。作为应用，我们研究了含分数阶$g-$ Laplacian算子的拟线性椭圆问题在全空间$\mathbb{R}^N$上解的存在性，其中$G$的共轭函数$\widetilde{G}$不满足$Δ_2$ -条件.
2022-05-12 math.AP
Removability of singularities and superharmonicity for some fractional Laplacian equations
研究了在$Σ$处奇异的$$ (-Δ)^γu=fu^p\quad\text{in }\mathbb R^n\setminusΣ$$非负解的一些定性性质（包括可去奇异性和超调和性）.这里是$γ\in (0, \frac{n}{2})$。除其他事项外，我们首先证明，如果$Σ$是一个紧凑的集合在$\mathbb R^n$与Assouad维$\bf d$（不一定是整数），${\bf d}<n-2γ$，和$ u\in L_γ(\mathbb R^n)\cap L^p_{loc}({\mathbb R^n\setminusΣ})$是一个非负的解决方案，一些$$p>\frac{n-\bf d}{n-{\bf d}-2γ},$$，然后$u\in L^p_{loc}(\mathbb R^n)$和$u$是一个分配解决方案在$\mathbb R^n$。然后证明了对于所有的$ σ\in (0, γ)$，如果$Σ=ϕ$，$ (-Δ)^σu >0$。
2020-04-18 math.AP
Existence and multiplicity of solutions to equations of $N-$Laplacian type with critical exponential growth in $\mathbb{R}^{N}$
本文讨论了一类具有位势和临界指数增长性的非线性项且满足Ambrosetti-Rabinowitz条件的N-Lapalcian型非一致椭圆型方程解的存在性和多解性.尽管Palais-Smale紧性条件可能不成立，但本文利用极小极大方法得到了这类方程的弱解.特别地，在$N-$ Laplacian算子的情形下，利用极小化和Ekeland变分原理，我们得到了弱解的多重性.最后，我们将证明上述结果时，我们的非线性不满足著名的Ambrosetti-Rabinowitz条件，从而得到更广泛的一类非线性项$f$的解的存在性和多重性。
2011-07-02 math.AP
Existence of solution for a class of heat equation involving the 1-Laplacian operator
研究了一类含1-Laplacian算子的热方程Dirichlet问题$$ \left\{ \begin{array}{llc} u_{t}-Δ_1 u=f(u) & \text{in}\ & Ω\times (0, +\infty) , u =0 & \text{in} & \partialΩ\times (0, +\infty), u(x,0)=u_{0}(x)& \text{in} &Ω, \end{array}\right. \leqno{(P)} $$整体解的存在性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N$是光滑有界区域，$N \geq 1$和$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是满足一定条件的连续函数，$Δ_1 u=\text{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right)$表示1-Laplacian算子.整体解的存在性是通过使用一种近似技术来完成的，这种近似技术包括与$(P)$相关的一类$p$ -Laplacian问题，然后在$ p \to 1^+$时取极限来得到我们的结果。
2021-10-03 math.AP
