Embedding clique subdivisions via crux
本文证明了 Liu 和 Montgomery 关于每个图都包含特定规模的团细分的猜想，其中规模由图的最小度和核心子图阶数决定。
2024-05-24 math.CO
Crossings, colorings, and cliques
Albertson证明了如果图$G$有色数$r$，则$G$的交叉数至少是完全图$K_r$的交叉数.这个猜想在$r=5$情形下等价于四色定理。Oporowski和Zhao对$r=6$进行了验证。本文利用Dirac、Gallai、Kostochka和Stiebitz给出的关于临界图边数的下界，以及Pach等人关于图的交叉数的边数和顶点数的下界，证明了关于$7 \leq r \leq 12$的猜想.
2010-06-18 math.CO
On joins of a clique and a co-clique as star complements in regular graphs
本文考虑$r$ -正则图$G$，它允许顶点集的划分使得其中一个导出子图是$s$ -顶点团和$t$ -顶点余团的并，并且表示$G$的特征值$μ$的星补.其中一个参数$s, t$小于2或$μ=r$的情况已解决。在[J. Wang，X.元湖，澳-地Liu，以指定的完全多部图为星补的正则图，线性代数应用~ 579（2019）302--319]，如果$s, t\geq 2$和$μ\neq r$，则$μ=-2, t=2$和$G=\overline{(s+1)K_2}$。对于$μ=-t$，我们验证了这个猜想是正确的。进一步研究了$μ\neq-t$的情形，证实了$t^2-4μ^2t-4μ^3=0$的猜想.对于剩余的可能性，我们确定了一个假定的反例的结构，并将其存在性与一个特定的2-类区组设计的存在性联系起来。最小的反例有1265个顶点。
2022-01-21 math.CO
The strong clique number of graphs with forbidden cycles
给定一个图$G$，$G$的强团数，记为$ω_S(G)$，是一个边集合$S$的最大尺寸，使得$S$中的每对边在$G$的线图中的距离至多为$2$。作为对著名的Erdés-Nešeténil猜想关于强色指数的放松，Faudree等人建议研究强团数，并给出了最大次数的二次上界。最近，Cames van Batenburg，Kang和Pirot证明了无偶圈图的最大度的线性上界。也就是说，如果$G$是无$C_{2k}$图，则为$ω_S(G)\leq (2k-1)Δ(G)-{2k-1\choose 2}$，如果$G$是无$C_{2k}$二部图，则为$ω_S(G)\leq kΔ(G)-(k-1)$ .我们证明了第二个猜想在一个更强的形式，通过显示，禁止所有奇数周期是没有必要的。为了更精确，我们证明了当$k\geq 4$或$k\in \{2,3\}$和$G$也是$C_3$ -free时，一个具有$Δ(G)\ge 1$的$G$满足$ω_S(G)\leq kΔ(G)-(k-1)$.关于第一个猜想，我们证明了一个上限是关闭的常数项。即，对于$k\geq 3$，我们证明了具有$Δ(G)\ge 1$的无$C_{2k}$图$G$满足$ω_S(G)\leq (2k-1)Δ(G)+(2k-1)^2$。这改进了Cames van Batenburg，Kang和Pirot的一些结果。
2020-03-23 math.CO
Cliques in C_4-free graphs of large minimum degree
如果图$G$不包含圈$C_4$作为导出子图，则称它为无$C_4$图. Hubenko，Solymosi和第一作者证明（回答一个问题的Erd \H OS）一个特殊的性质$C_4$ -免费图：$C_4$图与$n$顶点和平均度至少$cn$包含一个完整的子图（团）的大小至少$c'n$（与$c'= 0.1c^2n$）。我们在这里证明了更好的界限（${c^2n\over 2+c}$一般和$(c-1/3)n$时，$ c \le 0.733$）从更强的假设，即$C_4$ -自由图有最小度至少$cn$。我们的主要结果是正则图的一个定理，在上面提到的文件中得到证明：$2k$ -正则$C_4$ -free图的$4k+1$顶点包含一个团的大小为$k+1$ .这最好由周期$C_{4k+1}$的$k$次幂表示。
2015-09-19 math.CO
On the clique number of the square of a line graph and its relation to Ore-degree
1985年，Erdens和Nešetzil证明了图$G$的线图的平方，即$L(G)^2$，可以用$\frac{5}{4}Δ(G)^2$颜色着色。这个猜想隐含了一个较弱的猜想，即$ω(L(G)^2)$图的团数至多为$\frac{5}{4}Δ(G)^2$。在2015年，Jesleszyska-Nowak证明了$ω(L(G)^2)\le \frac{3}{2}Δ(G)^2$。本文证明了$ω(L(G)^2)\le \frac{4}{3}Δ(G)^2$ .这个定理是从我们的强结果$ω(L(G)^2)\le \frac{σ(G)^2}{3}$得出的，其中$σ(G) := \max_{uv\in E(G)} d(u) + d(v)$是图$G$的Ore度。
2017-08-07 math.CO
Disjoint isomorphic balanced clique subdivisions
极值图论中的一个深入研究的问题是在宿主图$G$中找到最佳可能的密度条件，以保证$G$中存在特定的子图$H$。一个这样的经典结果，由于Bollobás和Pillason，独立Komlós和Szemerédi，国家的平均程度$O(k^2)$保证存在的$K_k$ -细分。我们研究两个方向扩展这一结果。一方面，Verstraëte证明了二次界$O(k^2)$将保证$K_k$ -细分的两个顶点不相交的同构副本。另一方面，Rassen指出，对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一些$d = d(k)$，使得每个平均度至少为$d$的图都包含$K_k$的平衡细分，即$K_k$的副本，其中边被等长的路径取代。最近，Liu和Montgomery证实了Mesquassen的猜想，但关于$d(k)$的最优界仍然是开放的。在本文中，我们证明了二次界$O(k^2)$足以迫使平衡的$K_k$ -细分。这就给出了Mesquassen猜想中所需的关于$d(k)$的最优界，并暗示了存在$O(1)$许多顶点不相交的同构$K_k$ -细分，在强意义上证实了Verstraëte猜想.
2022-04-26 math.CO
Counterexamples to Clique Immersion Conjecture for Direct Products
Center for Discrete Mathematics Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
针对Collins等人提出的关于图直积的团浸入猜想，构造了一个无限连通二分图族作为反例。
2026-05-28 math.CO
Graphs with $χ=Δ$ have big cliques
Brooks定理指出，如果一个图有$Δ\ge 3$和$ω\le Δ$，则有$χ\le Δ$。Borodin和Kostochka证明，如果$Δ\ge 9$和$ω\le Δ-1$，那么$χ\le Δ-1$。我们表明，如果$Δ\ge 13$和$ω\le Δ-4$，那么$χ\le Δ-1$。对于图$G$，设$\mathcal{H}$表示由度为$Δ$的顶点导出的$G$的子图。我们还表明，如果$ω\le Δ-1$和$ω(\mathcal{H})\le Δ-6$，那么$χ\le Δ-1$。
2015-08-05 math.CO
On the $4$-clique cover number of graphs
本研究针对t≥4时t-团覆盖数由Turán图T_{n,t}最大化的猜想，结合归纳框架、贪心划分等新技术，证实了t=4时的猜想，推进了团覆盖数极值问题的研究。
2025-06-12 math.CO
Sharp bounds for covering with large cliques and independent sets
University of Oxford（牛津大学）
研究了图中每个顶点同时属于大小k1团和大小k2独立集的最小顶点数，证明了猜想并给出了更一般情况下的最优下界，还扩展到r-边着色完全图中的相关问题。
2026-04-22 math.CO
Subdivided Claws and the Clique-Stable Set Separation Property
设$\mathcal{C}$是一类在导出子图下闭的图。我们说$\mathcal{C}$具有{\em团-独立集分离性质}，如果存在$c \in \mathbb{N}$，使得对于每个图$G \in \mathcal{C}$，存在$G$的顶点集的分区$(X,Y)$的集合$\mathcal{P}$，具有$|\mathcal{P}| \leq |V(G)|^c$和以下性质：如果$K$是$G$团，$S$是$G$的独立集，而$K \cap S =\emptyset$，然后是$(X,Y) \in \mathcal{P}$与$K \subseteq X$和PDMATHAMBMZ。1991年M. Yannakakis证明了所有图的类具有团-独立集分离性质，但这个猜想在2014年被Göös推翻。因此，现在感兴趣的是了解哪些类的图存在这样一个常数$c$。本文定义了两个图的无限族$\mathcal{S}, \mathcal{K}$，并证明了对于任何$S \in \mathcal{S}$和$K \in \mathcal{K}$，不含与$S$或$K$同构的导出子图的图类具有团-独立集分离性.
2019-12-18 math.CO
The Clique Density Theorem
图兰定理是极值图论的基石。它断言，对于任何整数$r \geq 2$，$n$顶点上具有多于${\tfrac{r-2}{2(r-1)}\cdot n^2}$边的每个图包含大小为$r$的团，即，$r$相互邻顶点。相应的极图是平衡的$(r-1)$-部图.关于在任何有$γn^2$边的$n$-顶点图中至少出现多少个这样的$r$-团的问题已经在文献中得到了深入的研究。特别是，Lovász和Simonovits在20世纪70年代提出，渐近最佳可能下界是由具有$γn^2$边的完全多部图给出的，其中除了一个顶点类之外，所有顶点类都是相同的大小，而剩下的一个顶点类可能更小。他们的猜想最近由Razborov解决了$r=3$，Nikiforov解决了$r=4$。在这篇文章中，我们证明了猜想的所有值的$r$。
2016-03-14 math.CO
Balanced subdivisions of a large clique in graphs with high average degree
1984年，Rassen证明了对于每个常数$k \in \mathbb{N}$，存在$d$使得每个平均度至少为$d$的图都包含完全图在$k$顶点上的平衡细分，即每条边被细分相同次数的细分。最近，Liu和Montgomery证实了Mr.Lassen的猜想。我们证明了对于每个常数$0<c<1/2$，每个平均度至少为$d$的图包含大小至少为$Ω(d^{c})$的完全图的平衡细分。请注意，这个界限几乎是最优的。此外，我们表明，每个稀疏扩展的最低程度至少$d$包含一个平衡的细分的大小至少$Ω(d)$的完全图。
2023-02-08 math.CO
On the choosability of claw-free perfect graphs
证明了对任何无爪图$G$，$G$的选择数等于它的色数.我们重点讨论了这个猜想的特殊情况，其中$G$是完美的。无爪完美图可以通过割集分解为两类特殊的图，称为基本图和特殊图。在此基础上，我们证明了对于最大团数不超过$4$的无爪完美图，该猜想成立。
2015-11-23 math.CO
Stronger Spectral Bound for Clique Number
Department of Computer Science and Engineering, IIT Indore（印度理工学院印多尔分校计算机科学与工程系）；Department of Mathematics and Physics, Marshall University（马歇尔大学数学与物理系）；IIT Indore（印度理工学院印多尔分校）
针对判定图是否存在指定大小团的NP完全问题，本文构造了满足Elphick-Wocjan猜想的无限图族，并为该图族得到了更强的团数谱下界。
2026-10-16 math.CO
Coloring hypergraphs that are the union of nearly disjoint cliques
本文研究由两两小交集团并集构成的超图最大色数，构造了团数量为多项式级的近似designs以证明其具有大色数，并通过随机贪婪超图过程对交集至多为1的情况给出下界，同时探讨了有限射影/仿影平面中最大caps数量的界。
2023-04-10 math.CO
Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Hajós and Erdős-Fajtlowicz
对于图$G$，用$χ(G)$表示它的色数，用$σ(G)$表示$G$中最大团剖分的阶.设H（n）是$χ(G)/σ(G)$在所有$n$ -顶点图$G$上的最大值. Hajós在1961年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，有$σ(G) \geq χ(G)$。也就是说，$H(n) \leq 1$适用于所有正整数$n$。这个猜想在1979年被卡特林推翻。Erdenses和Fajtlowicz进一步证明了通过考虑一个随机图，对于某个绝对常数$c>0$，$H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$。在1981年，他们证明，这一界是紧到一个常数的因素，有一些绝对常数$C$，使$χ(G)/σ(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$的所有$n$ -顶点图$G$。本文证明了Erdens-Fajtlowicz猜想。在我们的证明，这可能是独立的利益的主要成分，是一个估计的最大集团细分的顺序，人们可以找到在每个图的$n$顶点与独立数$α$。
2012-02-14 math.CO
Connection between the clique number and the Lagrangian of $3$-uniform hypergraphs
Motzkin和Straus在1965年证明了2-图的团数与拉氏量之间有着显著的联系。如果类似的结果对超图也成立，这在实际中是有用的。然而Motzkin和Straus的结果对超图的明显推广是错误的。Frankl和Füredi证明了在${\mathbb N}^{(r)}$的Colex序中取第一个$m$集所形成的具有$m$边的$r$ -一致超图具有所有具有$m$边的$r$ -一致超图中最大的拉格朗日量.对于$r=2$，Motzkin和Straus定理证实了这一猜想.对于$r=3$，Talbot证明了当$m$在一定范围内时，该猜想成立.本文研究了$3$ -一致超图的团数与拉格朗日量之间的关系。作为这种联系的一个应用，我们证实了当$r$ =3时，Frankl和Füredi猜想对更大的$m$范围成立。对于左压缩$3$ -一致超图，我们还得到了两个较弱的Turán型定理.
2013-12-29 math.CO
Clique decompositions and covers for large graphs
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文针对大图的团分解与覆盖问题，解决了Erdős等人提出的两个团相关猜想，确定了等号成立的情况，采用线性规划对偶性、图删除引理等方法完成证明。
2026-08-27 math.CO
Improper coloring of graphs with no odd clique minor
作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
2018-09-14 math.CO
Unique colorability and clique minors
对于图G，设h（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通非空子图的最大k，设s（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通大小为1或2的子图的最大k. Hadwiger猜想指出h（G）至少是c（G），其中c（G）是G的色数. Seymour证明了s（G）至少是|V（G）|/2，对所有不含反三角形的图，i. e.三个两两不相邻的顶点在这里，我们集中在图G的恰好一个c（G）-染色。我们证明了（i）如果c（G）至多为6且G恰好有一个c（G）-染色，则h（G）至少为c（G），这里的证明不使用四色定理;（ii）如果G没有反三角形且G恰好有一个c（G）-染色，则s（G）至少为|V（G）|/2.
2015-08-06 math.CO
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
2026-09-09 math.CO
Sharp Bounds for the Signless Laplacian Spectral Radius in Terms of Clique Number
本文利用团数给出了图的无符号Laplacian谱半径的一个精确的上、下界。此外，还刻画了达到上界和下界的极图。此外，这些结果还反驳了[P. Hansen和C.张文，张文，等.无符号Laplacian指数的定义与性质.线性代数，432（2010）3319-3336]。
2012-09-14 math.CO
Balanced subdivisions of cliques in graphs
给定一个图$H$，$H$的平衡细分是通过将$H$的每条边细分相同次数而得到的图。在1984年，Rassen证明了对于每个整数$k\ge 1$，高的平均度足以保证$K_k$的平衡细分。最近，刘和蒙哥马利解决了这个猜想。我们给出了一个最优估计的绝对常数因子，通过证明存在$c>0$，使得对于足够大的$d$，每个图的平均度至少$d$包含一个平衡的细分集团至少$cd^{1/2}$顶点。它也证实了Verstra的一个猜想：对于某个绝对常数$c>0$，每个平均度为$cd^2$的图都包含完全图$K_d$的一对不相交的同构剖分.我们还证明了存在一些绝对$c>0$，使得对于足够大的$d$，每个平均度至少为$d$的$C_4$ -free图包含完全图$K_{cd}$的平衡剖分，这推广了Balogh，Liu和Sharifzadeh的一个结果.
2023-02-20 math.CO
Bandwidth of graphs resulting from the edge clique covering problem
设$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$G_{n,k,b}$是图，其顶点是$\{0,\dots,n\}$的$k$ -元素子集$X$，$\max(X \cup Y) - \min(X \cup Y) \le b$是整数，$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$G_{n,k,b}$是图，其顶点是$\{0,\dots,n\}$的$X$，$\max(X)-\min(X) \le b$是整数，如果$\max(X \cup Y) - \min(X \cup Y) \le b$，则两个这样的顶点$X,Y$由一条边连接.这些图是通过将变换应用于带宽$b$的最大$k$ -均匀超图来生成的，该带宽$b$用于将（弱）边团覆盖问题减少到顶点团覆盖问题。因此，$G_{n,k,b}$的带宽是任何变换的$k$的最大可能带宽-带宽$b$的均匀超图。对于$b\geq \frac{n+k-1}{2}$，确定这些图的精确带宽。对于$b<\frac{n+k-1}{2}$，在$b=o(n)$和$b$在$n$中以因子$β\in (0,0.5]$线性增长的情况下，带宽是渐近确定的，其中有一种情况只能找到界，证明了这种开情况的上界是右渐近值.
2016-05-02 math.CO
Minimum Degrees of Minimal Ramsey Graphs for Almost-Cliques
对于图$F$和$H$，我们说$F$是$H$的Ramsey，如果$F$的边的每个$2$ -着色都包含$H$的单色副本。图$F$是Ramsey $H$ -极小的，如果$F$是Ramsey for $H$，并且没有$F$的真子图$F'$使得$F'$是Ramsey for $H$。Burr，Erdos，and Lovasz定义$s(H)$为所有Ramsey $H$ -极小图$F$上$F$的最小度.定义$H_{t,d}$为$t+1$顶点上的图，由$t$顶点上的完全图和一个度为$d$的附加顶点组成。我们表明，$s(H_{t,d})=d^2$的所有值$1<d\le t$ ;它是以前已知的，$s(H_{t,1})=t-1$，所以令人惊讶的是，$s(H_{t,2})=4$是小得多。在一些稀疏图上也取得了一些进展。Fox和Lin观察到所有图$H$都有$s(H)\ge 2δ(H)-1$，其中$δ(H)$是$H$的最小度; Szabo，Zumstein和Reicher研究了哪些图具有此性质，并证明了所有没有孤立点的二部图$H$都满足$s(H)=2δ(H)-1$。Fox、Grinshpun、Liebenau、Person和Szabo进一步证明了所有没有孤立顶点的无三角形图都满足这个性质。我们表明，$d$ -经常$3$ -连接的三角形的图形$H$，一个额外的技术约束，满足$s(H) = 2δ(H)-1$ ;额…
2014-06-26 math.CO
The Ramsey number of loose cycles versus cliques
最近，Kostochka、Mubayi和Verstraëte开始研究一致松散圈与集团的Ramsey数。特别是他们证明了$R(C^r_3,K^r_n) = \tildeθ(n^{3/2})$对于所有固定的$r\geq 3$。对于长度为5的松散圈的情况，他们证明了$R(C_5^r,K_n^r)=Ω((n/\log n)^{5/4})$，并证明了对于所有固定的$r\geq 3$，$R(C^r_5,K_n^r) = O(n^{5/4})$。我们的主要结果是，$R(C_5^3,K_n^3) = O(n^{4/3})$和更一般的任何固定的$l\geq 3$，$R(C_l^3,K_n^3) = O(n^{1 + 1/\lfloor(l+1)/2 \rfloor})$。我们还解释了为什么对于每一个固定的$l\geq 5$，$r\geq 4$，$R(C^r_l,K^r_n) = O(n^{1+1/\lfloor l/2 \rfloor})$，如果$l$是奇数，这改进了Collier-Cartaino，Graber和Jiang的结果，他们证明了对于每一个固定的$r\geq 3$，$l\geq 4$，我们有$R(C_l^r,K_n^r) = O(n^{1 + 1/(\lfloor l/2 \rfloor-1)})$。
2015-04-14 math.CO
The minimum number of 4-cliques in graphs with triangle-free complement
f（n）表示n阶图中4-团的最小数目，且无三角形补。寻找f（n）是Erdos在1962年提出的一个问题的一个特例。当图接近正则时，我们给出了f（n）的一个上界和一个匹配的下界.
2005-01-14 math.CO
The sum of degrees in cliques
本文研究了n阶图的r-团平均度的下界，其中t（r，n）是n阶图的r-团的大小，其大小大于t（r，n）.继续Edwards和Faudree的早期研究，我们完全证明了Bollobas和Erdoes于1975年提出的一个猜想。
2004-10-08 math.CO
The minimum number of clique-saturating edges
设$G$是一个无$K_p$图.如果$e\notin E(G)$和$G+e$包含一个$K_p$的拷贝，我们说$e$是$G$的$K_p$饱和边。用$f_p(n, e)$表示具有$e$边的无点$K_p$图所能具有的最小$K_p$饱和边数.埃尔德什和图扎指出，$f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=\left(1 + o(1)\right)\frac{n^2}{16}.$ Balogh和Liu通过展示$f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=(1+o(1))\frac{2n^2}{33}$证明了这一点。他们认为，对于$K_p$ -free图，他们构造的自然推广也应该是最优的，并猜想对所有整数$p\ge 3$，都有$f_{p+1}(n,ex(n,K_p)+1)=\left(\frac{2(p-2)^2}{p(4p^2-11p+8)}+o(1)\right)n^2$.本文的主要结果是证实了Balogh和Liu的上述猜想。
2022-01-13 math.CO
Spectral radius and clique partitions of graphs
我们给出了一个图的团划分的大小和总大小的下界，根据其谱半径和最小度，并推导出一个谱上界的最大数目的边不相交$t$ -团。达到界的极图分别是Steiner $2$ -设计的块图和具有$K_t$ -分解的正则图。
2021-11-04 math.CO
The Algebraic Connectivity and the Clique Number of Graphs
本文研究了图的代数连通度与团数之间的关系。我们分别刻画了具有团数$r$的所有$n$阶图中代数连通度最大和最小的极图。进而得到了图的团数的代数连通度的上界和下界。此外，一个谱版本的Erdens-Stone定理的代数连通度的图。
2013-06-30 math.CO
Odd pairs of cliques
一个图是Berge图，如果它至少在5个顶点上没有诱导奇圈，并且至少在5个顶点上没有诱导奇圈的补。一个图是完美的，如果它的色数等于每一个诱导子图的最大团数。Chudnovsky、Robertson、Seymour和Thomas证明了每个Berge图要么属于某些经典的完美图族，要么具有在极小不完美图中不可能出现的结构故障。这一点的一个推论是由Berge提出的强完美图定理：每个Berge图都是完美的。图中的偶数顶点对是使得它们之间的每个导出路径具有偶数长度的顶点对。Meyniel证明了极小不完美图不能包含偶对。因此，即使是成对的也可以被认为是结构性故障。Chudnovsky等人没有使用它们，并且已知某些类别的Berge图没有偶对。这项工作的目的是调查一个“偶对”的概念，可能是一个结构故障存在于每一个Berge图。奇数对团是一对团$\{K_1, K_2\}$，使得从$K_1$到$K_2$的每个诱导路径在$K_1 \cup K_2$中没有内部顶点，具有奇数长度。我们猜想，对于每个至少有两个顶点的Berge图$G$，要么$G, \bar{G}$有一个偶团对，要么$G, \bar{G}$有一个奇团对.我们猜想极小不完美图不存在奇极大团对。我们在一些特殊的情况下证明了这些定理。我们表明，添加所有边缘之间的任何2个顶点的集团的一个奇数对集团是一个操作，保持完美。
2013-09-02 math.CO
Squared chromatic number without claws or large cliques
设$G$是$n$个顶点上的无爪图，团数为$ω$，并考虑$G$的平方$G^2$的色数$χ(G^2)$.对于最大度至多为$d$的简单图的线图$L$上的$χ'_s(d)$的上确界，我们证明了$χ(G^2)\le χ'_s(ω)$对于$ω\in \{3,4\}$ .对于$ω=3$，这意味着尖锐的界限$χ(G^2) \leq 10$。对于$ω=4$，这意味着$χ(G^2)\leq 22$，它在所确定的最佳界限的$2$内。这项工作的动机是一个加强形式的猜想的Erdens和Nešetziil。
2018-05-17 cs.DM math.CO
Size Ramsey numbers of stars versus cliques
两个图$ G $和$ H $的Ramsey数$ \hat{r}(G,H) $是最小整数$ m $，使得在$ m $的边上存在图$ F $，并且$ F $的边的每个红-蓝着色产生$ G $的红色副本或$ H $的蓝色副本。在$ 1981 $中，Erdens观察到了$\hat{r}(K_{1,k},K_{3})\leq \binom{2k+1}{2}-\binom{k}{2}$，并证明了$ \hat{r}(K_{1,k},K_{3}) $上相应的上界是尖锐的。在$ 1983 $中，Faudree和Sheehan将这个猜想扩展如下：\hat{r}（K_{1,k}，K_{n}）= \left \{ {lr} \binom{k(n-1)+1}{2} - \binom{k}{2} & ~k \geq n~ \text{or} ~ k~ \text{odd}。\binom{k(n-1)+1}{2} -k（n-1）/2和\text{otherwise}。\right。他们证明了$ k=2 $的情况。在$ 2001 $，Pikhurko表明，这一猜想是不正确的$ n=3 $和$ k\geq 5 $，反驳上述猜想的Erdos。这里我们证明了Faudree和Sheehan对给定的$ k\geq 2 $和$ n\geq k^{3}+2k^{2}+2k $的猜想。
2016-09-13 math.CO
The bounds of the spectral radius of general hypergraphs in terms of clique number
一般超图的谱半径（或无符号拉普拉斯谱半径）是其邻接（或无符号拉普拉斯）张量的特征值的最大模。本文首先利用团数得到了一般超图的谱半径（或无符号Laplacian谱半径）的一个下界。此外，我们给出了一般超图的团数与齐次多项式之间的关系。作为应用，我们最终得到了一般超图的谱半径的一个团数上界。
2020-07-27 math.CO
On the Ramsey-Turán problem for 4-cliques
本文在不使用正则性引理的条件下，给出了4-团Ramsey-Turán问题的紧确界，从而大幅扩展了无$K_4$图边数关于独立数函数的紧确界成立范围。
2025-03-01 math.CO
Maximal-clique partitions and the Roller Coaster Conjecture
一个图$G$是{ \em well-covered}，如果每个极大独立集具有相同的基数$q$。令$i_k(G)$表示$G$中基数$k$的独立集的数目。Brown，Dilcher，and Nowakowski证明了独立序列$(i_0(G), i_1(G), \ldots, i_q(G))$对任意具有独立数$q$的良序图$G$都是单峰的.迈克尔和特拉维斯推翻了这个猜想。相反，他们提出了所谓的“过山车”猜想：对于具有独立数$q$的覆盖良好的图$G$，项\[ i_{\left\lceil\frac{q}2\right\rceil}(G), i_{\left\lceil\frac{q}2\right\rceil+1}(G), \ldots, i_q(G) \]可以是任何指定的顺序。Michael和Traves证明了$q<8$的猜想，Matchett将其扩展到$q<12$。在本文中，我们证明了过山车猜想使用的一个结构图的性质有关，有一个最大团划分。特别是，我们表明，对于所有对的整数$1\le k<q$和正整数$m$，有一个覆盖良好的图$G$与独立数$q$的每个独立集的大小$k+1$包含在一个唯一的最大独立集，但每个独立集的大小$k$包含在至少$m$不同的独立集。
2014-12-15 math.CO
Ramsey numbers of cubes versus cliques
立方体图Q_n是n维立方体的骨架。它是一个有2 ^n个顶点的n-正则图。Ramsey数r（Q_n，K_s）是使每一个N阶图都包含一个立方图Q_n或一个s阶独立集的最小数N。Burr和Erdos在1983年提出了一个问题：当s固定且n充分大时，简单的下界r（Q_n，K_s）>=（s-1）（2^n - 1）+1是否是紧的。我们在这个问题上取得了进展，得到了第一个上界这是一个恒定的因素的下界。
2013-12-13 math.CO
Almost All Regular Graphs are Normal
1999年，De Simone和Körner证明了每个没有导出$C_5,C_7,\overline{C}_7$的图都包含一个团覆盖$\mathcal C$和一个独立集覆盖$\mathcal I$，使得$\mathcal C$中的每个团和$\mathcal I$中的每个独立集有一个公共点。这个猜想起源于信息论，被称为正规图猜想。在这里，我们证明了所有有界的最大程度和足够大的奇围长（线性的最大程度）的图是正常的。这意味着对于每一个固定的$d$，随机的$d$ -正则图是a.a. s。正常
2015-11-24 math.CO
Clique factors in Kneser graphs
对于$k,n\in \mathbb{N}$，Kneser图$K(n,k)$是具有点集$V=[n]^{(k)}$和边集$E=\{\{x,y\} \in V^{(2)}: x\cap y=\emptyset\}$的图。Chen证明了对于$n\geq 3k$，Kneser图是Hamilton图。类似地，对于具有Hajnal和Szemerédi关于团因子的最小度条件的结果以及Komlós、Sárközy和Szemerédi的Pósa-Seymour猜想及其对大型图的解决方案的图，下一步是询问Kneser图中的团因子和Hamilton圈的幂。对于$k,\ell\in \mathbb{N}$，令$n(k,\ell)$为最小整数，使得对于$n\geq n(k,\ell)$，$K(n,k)$包含哈密尔顿循环的$\ell$次幂。卡托纳强调，除了100%的例外，$n(k,\ell)=(\ell+1)k+1$仍然有效。特别是，了解$n(k,\ell)$在$k$中是否是线性的（对于固定的$\ell$）将是有趣的。到目前为止，$k\geq 2$还不知道这一点。在本说明中，我们采取的第一步，这样一个线性的界限证明，对于$\ell\in \mathbb{N}$，$k\geq \ell$和$n\geq \ell ^3k$，但最多$K(n,k)$的$\ell-1$顶点可以划分成大小$\ell$集团。此外，我们使用我…
2019-11-26 math.CO
A tensor's spectral bound on the clique number
本文研究图G的团张量A(G)的谱半径，通过其给出团数下界，扩展并收紧了Nikiforov谱界，并据此得出团张量的Erdos-Simonovits稳定性定理的谱版本。
2024-12-27 math.CO
Properties, Proved and Conjectured, of Keller, Mycielski, and Queen Graphs
我们证明了关于三个图族的几个结果。对于皇后图，定义从国际象棋皇后通常的举动，我们发现边色数在几乎所有的情况下。在未经证明的情况下，我们有一个猜想支持了大量的计算，其中涉及到一个新的边着色算法的发展。猜想是边色数是最大度，除非简单的算术迫使边色数比最大度大大于1。对于Mycielski图，我们通过证明它们是Hamilton连通的（除了M（3），它是一个圈），加强了一个旧的结果：图是Hamilton的.对于Keller图G（d），在所有情况下，我们建立了G（d）的色数、边色数和独立数的精确值，并得到了除5 <= d <= 7以外的所有情况下的团覆盖数.我们还研究了Keller图的Hamilton分解，得到了G（6）上的Hamilton分解.
2016-06-25 math.CO
Improved bound for improper colorings of graphs with no odd clique minor
Gerards和Seymour在1995年进一步加强了Hadwiger猜想，证明了任何不含奇数$K_t$ -子式的图都是正常$(t-1)$ -可着色的，这就是所谓的奇数Hadwiger猜想。我们证明了上述猜想的一个放松，即我们证明了每个没有奇数$K_t$ -子图都有一个点$(2t-2)$ -染色，使得所有单色分量的大小至多为$\lceil \frac{1}{2}(t-2) \rceil$ .颜色数量的界限是最佳的，直到$2$的因子，改进了Kawarabayashi（2008），Kang和Oum（2019），Liu和Wood（2021）对同一问题的先前界限，并加强了van den Heuvel和Wood（2018）的结果，他们表明上述结论在更严格的假设下成立，即图是$K_t$ -minor free。此外，在我们的结果中的组件大小的界限是远远小于以前的结果，其中的依赖于$t$是非显式的。我们的简短证明结合了van den Heuvel和Wood对$K_t$ -minor自由图的证明方法和一些额外的思想，使得扩展到奇$K_t$ -minor自由图成为可能。
2022-03-05 math.CO
Outerplanar and planar oriented cliques
无向图$G$的团数是$G$的完全子图的最大阶，也是$G$的色数的一个下界. $G$的每一个正确的$k$ -染色都可以看作是$G$到$k$阶完全图的同态（保边顶点映射）。通过考虑定向图（不含长度不超过2的圈的有向图）的同态，得到了定向图的（定向）染色和定向色数的自然概念。定向团则是顶点数与定向色数一致的定向图。然而，有向集团的结构比无向集团的结构更难理解。本文研究了外平面和平面定向团的结构。我们首先提供了一个11个图的列表，并证明了一个外平面图可以定向为定向团当且仅当它包含这些图之一作为一个生成子图。Klostermeyer和MacGillivray证明了平面定向团的阶数至多为15，这一点后来被Sen [S.一个平面斜方的最大阶数是15。IWOCA'2012. { \em Lecture Notes Comput. Sci.} 7643：130- 142]。证明了任意15个顶点的平面定向团必含有一个特定的定向图作为生成子图，从而证明了上述猜想。我们还提供了严格的上限的顺序的平面定向集团周长$k$的所有$k \ge 4$。
2014-11-26 cs.DM math.CO
Maximal Cliques in Scale-Free Random Graphs
该研究分析了三种随机图模型中极大团的数量，给出不同模型下的上下界，通过实验解决了几何非均匀随机图极大团数量的经验矛盾，揭示其超多项式下界及极端规模下的渐近行为。
2024-09-04 cs.DM math.CO
A Higher-Order Clique Density Theorem
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所极端组合与概率组）；Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
研究在规定\(K_s\)密度下\(K_r\)密度的相关问题，通过证明高阶团密度定理确定最小\(K_r\)密度，还证明了分布正分支的稳定性，揭示了边到团分布及相关性质。
2026-07-08 math.CO
Sharp bounds on the least eigenvalue of a graph determined from edge clique partitions
给出了任意图的最小特征值的精确界。利用边团划分推导出了下（上）界的充要（充分）条件。作为应用，我们证明了$n$图$\mathcal{Q}(n)$的最小特征值对每一个$n \ge 4$都等于$-4$，并且证明了该特征值的重数为$(n-3)^2$ .此外，还得到了关于边团划分图参数的一些结果。
2022-02-24 math.CO
Two conjectured strengthenings of Turán's theorem
该研究提出两个强化Turán定理的两个谱图论猜想，在多类图上证明猜想成立并给出实验证据，相关猜想被列为谱图论重要未解决问题。
2023-12-20 math.CO
Distance graphs having large chromatic numbers and not containing cliques or cycles of given size
本文研究了处于组合几何和图论边缘的经典Nelson-Hadwiger问题。它涉及$ {\mathbb R}^n $中距离图的着色，即，图，使得它们的顶点是向量，它们的边是距给定的正数集合一定距离的向量对。在团数和围长的不同限制条件下，得到了这类图的色数的一系列新的下界。
2012-02-14 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
About maximal number of edges in hypergraph-clique with chromatic number 3
设$ H = (V,E) $是一个超图。超图$ H = (V,E) $的色数是指在$ V $中画出所有顶点所需的最小颜色数$χ(H)$，使得任意边$ e \in E $至少包含两个不同颜色的顶点.最后，如果一个超图的边是两两相交的，则称它构成一个团。1973年Erdés和Lovász注意到如果一个$n$ -一致超图$ H = (V,E) $形成一个团，那么$ χ(H) \in \{2,3\} $。他们生产了下列数量。$$ M(n) = \max \{|E|: \exists {\rm an} n-{\rm uniform} {\rm clique} H = (V,E) {\rm with} χ(H) = 3\}. $$显然，这样的定义在$ χ(H) = 2 $的情况下没有意义。定理1（P. Erdos，L. Lovasz}不平等持有$$ n!(e-1) \le M(n) \le n^n. $$在过去的35年里，几乎没有什么比这更好的了。同时，Lovasz引入了另一个量$ r(n) $，r（n）= \max \{ |E|：~ \exists { \rm an} ~ n-{ \rm uniform} ~ { \rm clique} ~ H =（V，E）~ { \rm s. t.} ~ τ（H）= n\}，$$ where $ τ(H) $ is the {\it covering nu…
2011-07-10 math.CO
Bounding the search number of graph products
本文给出了图的笛卡儿积的搜索数的一些结果。我们考虑图的光谱的两端：路径和团。我们的主要结果确定了团的乘积的路宽，并提供了团的乘积的搜索数的下界。这个结果的一个后果是一个边界的搜索数的任意图G和H的基础上，他们各自的团数。
2016-04-15 math.CO
