Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. IV 1/2
Paul Seidel
我们描述了一个精确辛Lefschetz纤维化，连同它的闭开弦映射的Pakuaya范畴的建设。
We describe a construction of the Fukaya category of an exact symplectic Lefschetz fibration, together with its closed-open string map.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. V
我们（重新）考虑如何的Lefschetz纤维化的Crackaya范畴是有关的纤维。这里的方法的显着特点是一个更直接的识别双模同态。
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. II 1/2
我们考虑一个版本的反正则Lefschetz铅笔的相对的Rangeaya范畴。这个范畴的行为和枚举几何之间有直接的联系：其中一些是这里宣布的结果，其他的仍然是几何的。这种方法的最终目的是确定构成束的Calabi-Yau超曲面的Rakaya范畴。
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. IV
我们考虑与Lefschetz纤维化相关的Hamilton Floer上同调群，以及它们上的运算结构。作为一个应用，我们将（在一个重要的附加假设下）为这些群配备联系，这些联系关于诺维科夫变量而不同。
Fukaya A_\infty structures associated to Lefschetz fibrations. II
我们考虑与Lefschetz纤维化中的消失圈基相关联的类。我们发现，每个元素的Floer上同调的monodromy无穷大周围引起一个自然变换从塞尔函子的单位函子。这补充了以前已知的结构，在某种程度上，符合同调镜像对称。
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. III
Floer上同调群通常定义在形式函数域（Novikov域）上。在某些假设下，我们可以给它们配备连接，这意味着关于诺维科夫变量的微分运算。这使得人们可以写出Floer上同调类的微分方程。在这里，我们将这一思想应用到与Lefschetz纤维化相关的辛上同调群，并得到与枚举几何的关系。
Fukaya A_\infty structures associated to Lefschetz fibrations. I
本文讨论了在Lefschetz纤维化的背景下的拉格朗日Floer上同调，重点是在那里遇到的代数结构。除了在这种情况下出现的著名的有向A_infinity代数之外，还存在编码在某个双模同态中的附加信息。构造这种同态有两种方法：根据全空间中的（非紧）莱夫谢茨顶针，或者根据纤维中的消失圈。我们证明了一个比较结果，这表明（到一定的剩余模糊性）这两种方法是等价的。
On the Fukaya-Seidel categories of surface Lefschetz fibrations
我们证明了一个正的容许Lefschetz纤维化，简称PALF，在Seidel \cite{Se08}的意义下，容许一个精确Lefschetz纤维化的结构。如果全空间的二重第一陈类为零，则得到了Chaaya-Seidel范畴。我们证明了PALF的导出的PALaya-Seidel范畴与辛结构的选择无关。最后，通过实例研究，证明了导出的PALF范畴比PALF的Milnor格具有更多的信息。
The wrapped Fukaya category for semi-toric SYZ fibrations
引入了在无穷远处拉格朗日截面满足驯服性条件的（广义）半环面SYZ纤维化的包裹Donaldson-Gillaya范畴。例子包括复曲面卡-丘3重中反典范除子的补数上的格罗斯纤维化。我们计算了拉格朗日截面的包裹Floer上同调，发现它是Hori-Vafa镜像上的函数代数。后一个结果是证明这种情况下的同调镜像对称性的关键步骤。在这里开发的技术允许在一般的建设包装类的开放卡-丘流形携带SYZ纤维化与良好的行为在无穷远。我们讨论了镜像对称的代数与解析方面的关系。
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. VIII
我们使用Lefschetz铅笔的方法，以获得结构的结果，关于类Calabi-Yau超曲面，特别是，关于他们的依赖诺维科夫参数。警告读者：本文中的论点引用了目前不存在的两个预印本（系列中的第6.5和第7篇论文）。在这一点得到纠正之前，证明不能被认为是完整的，本文应被视为初步的研究公告。
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. VI
本文为单调辛流形上的辛 Lefschetz 纤维束关联了一种非交换几何范畴束结构，揭示其纤维与开纤维的 Fukaya 范畴及新构造的 Fukaya 范畴之间的联系。
Lefschetz fibrations and the Hodge bundle
积分辛4-流形可以用莱夫谢茨纤维化来描述。本文利用稳定曲线的模空间的二阶上同调给出了Lefschetz纤维化的特征标。因此，我们看到，在模空间中由任何（不一定是全纯的）莱夫谢茨纤维化定义的球面具有正的“辛体积”;它与卡勒类的评价是正的。讨论了特征公式的其他应用以及亏格为2的纤维化的一些更一般的结果。
Symplectic Lefschetz Fibrations from a Lie-theoretical Viewpoint
这是在[GGS1]，[GGS2]，[C]和[CG]中证明的结果的公告，其中Lie理论的方法被用作辛Lefschetz纤维化研究的新工具。
Lefschetz fibrations and symplectic homology
我们证明了对于每个k > 3，存在无穷多个与欧几里得空间R^{2k}同构的有限型Stein流形，它们是两两不同的辛流形.
On the holomorphicity of genus two Lefschetz fibrations
我们证明了任何亏格为2的Lefschetz纤维化都是全纯的，它不具有可约纤维，且具有传递单值性。后一条件包括奇异纤维的数目不等于0模40的所有情况。一个独立的辅助陈述是S^2上的S^2-丛中的辛曲面的全纯性，其在基上的相对阶数最高为7，而CP^2中的辛曲面的阶数最高为17。
Arboreal singularities from Lefschetz fibrations
纳德勒引入了一些由树索引的拉格朗日奇点，并确定了它们的微局部层是相应树上的模范畴。另一类由树索引的空间：球体的树垂度。莱夫谢茨纤维化的拉帕亚-塞德尔范畴，以这个管道为纤维，所有的球面为消失圈，众所周知也是树上的模。在这里，我们将这种类别匹配升级为几何匹配。
Regular Lagrangians in Lefschetz fibrations
本文刻画 Weinstein Lefschetz 纤维化中 Lagrangian 子流形的正则性，证明 Giroux–Pardon 猜想，并将其用于构造使精确填充及其突变映为底弧的纤维化。
Sectorial descent for wrapped Fukaya categories
本研究开发了（部分）卷绕Fukaya范畴的计算工具，证明了下降性质、生成元、停点移除与局部化等价等4项核心结果，这些结果源自Künneth公式、正合三角、完全忠实几何判据三个独立要素，为相关范畴计算提供了新方法。
Lefschetz fibrations on cotangent bundles and some plumbings
本文提出从Weinstein流形的Weinstein handle分解构造Lefschetz fibration的思想，证明了其在余切丛与某些plumbing情形的定理，并得出$A_{4k+3}$与$D_{4k+3}$奇点Milnor fiber在复维数为奇数时微分同胚的推论。
Fiber sums of genus 2 Lefschetz fibrations
利用Siebert和Tian最近关于亏格为2的Lefschetz纤维化的不可约奇异纤维的全纯性的结果，我们证明了任何亏格为2的Lefschetz纤维化在与全纯纤维化纤维和之后都是全纯的.
Classification of broken Lefschetz fibrations with small fiber genera
本文将亏格为1的Lefschetz纤维化的分类推广到亏格为1的简化断裂Lefschetz纤维化，即具有亏格为1和亏格为0的纤维。利用图描述方法对具有某些非平凡整体单值点的2-圆盘上亏格为1的Lefschetz纤维化进行了分类，并确定了亏格为1的简化的破断Lefschetz纤维化的4-流形.
Lagrangian cobordisms, Lefschetz fibrations and quantum invariants
利用拉格朗日量子同调提供的工具研究了拉格朗日配边问题。特别地，我们发展了在Lefschetz纤维化中设置拉格朗日配边或拉格朗日圆柱形端点的理论，并将量子同调群的不同版本通过一个长的精确序列联系起来。我们证明了各种实际的映射关系，在这个长的确切序列，我们提取的不变量，推广的概念，判别式的拉格朗日协边在莱夫谢茨纤维。我们证明了结果的关系的判别式的结束的cobordism和cobordism本身。我们还给出了例子所产生的拉格朗日领域和有关的判别式开放格罗莫夫威滕不变量。我们表明，对于某些配置的拉格朗日球的判别式总是为零。我们研究了一组例子，所产生的莱夫谢茨铅笔复二次超曲面的复射影空间。这些二次曲面是具有实结构的辛流形，它们的实部是我们感兴趣的拉格朗日量。利用本文中建立的结果，我们通过将计算减少到先前建立的二次曲面中的实拉格朗日球的情况来计算所有这些拉格朗日量的判别式。
Sections of the Matsumoto-Cadavid-Korkmaz Lefschetz fibration
我们给出了由Matsumoto，Cadavid和Korkmaz构造的著名Lefschetz纤维化的不相交$(-1)$ -截面的极大集.事实上，我们得到了几个这样的集合为一个固定的亏格，这意味着Matsumoto-Cadavid-Korkmaz Lefschetz纤维化有一个以上的支持最小Lefschetz铅笔。我们还确定了所得到的支撑极小Lefschetz铅笔的同构类型。
Exotic symplectic manifolds from Lefschetz fibrations
本文在所有奇数复维空间中构造了与球面的余切丛有一个额外的次临界柄的Liouville域对W_0和W_1，它们是同构的，但不是辛同构的.虽然W_0在辛上与余切丛本身非常相似，但W_1更不寻常。我们利用Seidel的Floer上同调的正合三角形证明了W_1的包裹范畴是平凡的。作为推论，我们得到W_1不含紧的正合拉格朗日子流形.
Lefschetz fibrations and exotic symplectic structures on cotangent bundles of spheres; includes Corrigendum
我们构造开辛流形，它们在无穷远处是凸的（“刘维流形”），并且对于任意n+1个\geq 3，它们与余切丛T^*S^{n+1}是同构的，但不是辛同构的。这些流形被构造为莱夫谢茨纤维化的全空间，其中纤维和除一个之外的所有消失环都是固定的。我们证明，几乎任何最后一个消失圈的选择都会导致非标准辛结构（产生标准T^*S^{n+1}的选择可以精确确定）。勘误改变了原论文中引理1.1的陈述和证明，纠正了我们原来对流形的同构型的描述。我们还填补了引理1.2的原始证明中的一个空白。
The existence of an indecomposable minimal genus two Lefschetz fibration
Usher证明了$S^2$上Lefschetz纤维化的纤维和是最小的，Stipsicz证明了这一点.我们证明，逆不成立，显示存在一个不可分解的最小亏格-2 Lefschetz纤维化。
On the Relative Dualising Sheaf of a Symplectic Lefschetz Fibration
提交人撤回了这一请求。
Minimality and fiber sum decompositions of Lefschetz fibrations
我们给出了一个简短的证明的Stipsicz猜想的最小性纤维总和的Lefschetz纤维，这是证明较早的Usher。然后，我们构建的第一个例子的亏格g > 1 Lefschetz纤维化的最小辛4-流形，最多的和项，承认唯一的分解纤维和。
Realizing 4-manifolds as achiral Lefschetz fibrations
我们表明，任何4流形，手术后的曲线，承认非手性莱夫谢茨纤维化。特别地，我们证明了在2-球面上具有2-球面丛的任何单连通4-流形的连通和将允许非手性Lefschetz纤维化。我们还表明，这些surgered流形承认近辛结构，并证明更一般的非手性Lefschetz纤维化的部分有近辛结构。作为一个推论，我们的证明，我们得到一个替代证明Gompf的结果存在的辛结构的Lefschetz铅笔。
Lefschetz-Bott fibrations on line bundles over symplectic manifolds
我们明确地描述了辛流形上复线丛上的Lefschetz-Bott纤维化。作为应用，我们构造了$A_{k}$型奇异环的多个强辛填充。在附录中，我们证明了单位圆盘上Lefschetz-Bott纤维化的全空间是与纤维化诱导的开书相容的接触流形的强辛填充。
Koszul duality via suspending Lefschetz fibrations
设$M$是一个Liouville 6-流形，它是$\mathbb{C}^4$上一个Lefschetz纤维化的光滑纤维，它是通过在$\mathbb{C}^3$上悬挂一个Lefschetz纤维化构造的.我们证明了，对于许多例子，包括超曲面尖点奇点的Milnor纤维的稳定化，紧凑的Crackaya范畴$\mathcal{F}(M)$和包裹的Crackaya范畴$\mathcal{W}(M)$是相关的通过$A_\infty$ -Koszul对偶，通过确定它们与循环和Calabi-Yau完成相同的Crackaya代数。这意味着紧类范畴$\mathcal{F}(M)$通过消失圈的分裂生成。此外，还得到了允许Seidel-Solomon意义下的拟伸缩的Liouville流形的新例子。
Geography of Genus 2 Lefschetz fibrations
各类$4$ -流形的地理问题一直是$4$ -流形拓扑学的核心问题。Baykur和Korkmaz问小，简单连接，最小的$4$ -流形承认属$2$莱夫谢茨纤维化。他们能够分类所有可能的同胚类型，并实现所有，但一个例外的属$2$莱夫谢茨纤维化的辛$4$ -流形同胚，但不同胚$3 \mathbb{CP}^2 \# 11\overline{\mathbb{CP}}^2$。我们给出了对应于这种亏格$2$ Lefschetz纤维化的$(10,10)$型正因式分解。进一步，我们观察到亏格$2$ Lefschetz纤维化的两个地理限制，发现它们满足Noether不等式和一个BMY类不等式.然后，我们发现正因式分解，描述属$2$ Lefschetz纤维化的简单连接，最小辛$4$ -流形的许多这些点。
Topology of broken Lefschetz fibrations and near-symplectic 4-manifolds
利用柄分解研究了断裂Lefschetz纤维化的拓扑结构。我们考虑一个轻微的概括的圆形手柄，并描述所有出现在四维的手柄图。我们建立了简化的体和monodromy表示的某个子类的断裂Lefschetz纤维/铅笔，同时表明，所有的近辛闭4-流形可以支持这些一个拉Auroux，唐纳森，Katzarkov。给出了断裂Lefschetz纤维化的各种构造以及辛纤维和运算在近辛情形下的推广。扩展Lefschetz纤维化的研究，我们发现辛纤维和操作的某些限制，导致一个4-流形与非平凡的Seiberg-Witten不变量，以及自相交数，部分断裂的Lefschetz纤维化可以获得。
Trisections and Lefschetz fibrations with $(-n)$-sections
本文研究了带有(-n)-截面的非定向Lefschetz纤维化的三重分割构造方法，并给出了相关三重分割图的显式构造。
Inequivalent Lefschetz fibrations on rational and ruled surfaces
本文给出了有理曲面和直纹曲面在爆破上的不等价Lefschetz束和同属纤维化的显式构造。这补充了我们以前的结果，得出的结论是，每一个辛4-流形，经过足够多的爆破，承认不等价的莱夫谢茨铅笔和纤维化，这不能从另一个即使通过任何序列的纤维Luttinger手术。
Broken Lefschetz fibrations and mapping class groups
本文的目的是用曲面映射类的正Dehn扭曲因子分解来解释闭光滑定向4-流形的组合描述，并进一步探讨这些联系。这是通过单值表示简化的破Lefschetz纤维4-流形上，我们提供了一个扩展的Hurwitz移动，使我们能够唯一地确定一个破Lefschetz纤维的同构类。我们还讨论了破碎的Lefschetz纤维的monodromies包含在特殊的子群的映射类群，即超椭圆映射类群和在Torelli组，分别，并提出各种结果，他们的扩展或对比与那些已知的诚实的Lefschetz纤维。最后，我们证明了存在允许无穷多个两两非同构的相对最小断裂Lefschetz纤维化的4-流形，这些纤维具有同位素正则纤维。
Hurwitz equivalence for Lefschetz fibrations and their multisections
本文利用单值分解刻画了多截面Lefschetz纤维化的同构类。我们证明了两个具有多段的Lefschetz纤维化是同构的当且仅当它们在相应的映射类群中的单值分解是通过有限的修改集合相互关联的，这推广了著名的Hurwitz等价.这特别是表征同构类的莱夫谢茨铅笔。然后，我们表明，从简单的关系，在映射类群，人们可以得到新的（和旧的）的例子莱夫谢茨纤维不能被写为纤维和爆破铅笔。
Lefschetz fibrations with arbitrary signature
我们开发的技术来构建显式辛Lefschetz纤维化的2-球与任何规定的签名和任何自旋类型时，签名是可分的16。这解决了一个长期存在的猜想，存在这样的纤维与积极的签名。作为应用，我们产生了与S^2 x S^2的连通和同胚但不同胚的辛4-流形，具有迄今为止已知的最小拓扑，以及辛莱夫谢茨纤维化的较大例子。
Existence of Lefschetz fibrations on Stein and Weinstein domains
我们表明，每一个斯坦或温斯坦域可以提出（变形）作为一个莱夫谢茨纤维化的磁盘。证明是唐纳森的定量横截性技术的应用。
Lefschetz fibrations and Torelli groups
对g > 2和h > 1，我们构造了（1）单值点在Torelli群中的亏格h曲面上的纤维和不可分解的相对极小亏格g-Lefschetz纤维化，（2）单值点在Torelli群中的亏格h曲面上的纤维和不可分解的亏格g曲面丛（3）亏格h曲面上的无穷多个亏格g-Lefschetz纤维化不是全纯曲面的纤维和.
Spin Lefschetz fibrations are abundant
该研究证明有限表现群可作为2-球面上spin Lefschetz纤维化的基本群，且辛地理平面Noether线下方的容许格点可由单连通spin Lefschetz纤维化实现，拓展了相关拓扑结构的存在性结论。
Lefschetz fibrations with unbounded Euler class
研究了Lefschetz纤维化的有界上同调。如果一个Lefschetz纤维化有亏格至少为2的正则纤维，并且它至少有两个不同的消失圈，我们证明了它的Euler类是没有界的。作为一个结果，我们排除了存在的负弯曲度量的Lefschetz纤维与一个以上的奇异纤维。
On the Slope of Hyperelliptic Lefschetz Fibrations and the Number of Separating Vanishing Cycles
在这篇文章中，我们找到了一个上，下界的斜率的亏格g超椭圆Lefschetz纤维化，这是尖锐的g = 2时，并证明了强连接，在一般情况下，超椭圆亏格g Lefschetz纤维化的斜率和分离消失圈的数量。具体地说，我们表明，斜率是大于4-4/g当且仅当纤维化包含分离消失的循环。对于亏格g>1的超椭圆Lefschetz纤维化，我们还改进了已有的s/n（分离消失环数与非分离消失环数之比）的界.特别地，我们证明了当g>5时，对于这样的纤维化，s<=n。
Noncomplex smooth 4-manifolds with Lefschetz fibrations
对于任何大于或等于2的整数g，存在无穷多个两两非同胚光滑4-流形，它们允许S^2上的亏格g Lefschetz纤维化，但不携带任何具有任一方向的复结构。这推广了Ozbagci和Stipsicz最近的一个结果。
Sections, pseudosections, and multisections of Lefschetz fibrations
本文解决了辛 Lefschetz 纤维化是否总有光滑截面的长期问题，通过点推映射提升方法证明并非如此，但所有此类纤维化都有正多截面，并构造了奇数亏格≥7的签名零纤维化。
Lefschetz fibrations with small slope
构造了$S^2$上不满足斜率不等式的Lefschetz纤维化.这对海恩的一个问题给出了否定的答案。
Lefschetz fibrations on adjoint orbits
证明了半单李代数的伴随轨道具有辛Lefschetz纤维化的结构。然后，我们描述的拓扑结构的定期和奇异的纤维，特别是计算他们的中间贝蒂数。以sl（2，C）为例，我们计算了Lagrangian消失环的K-Seidel范畴.
Exact Lefschetz fibrations associated with dimer models
我们将一个确切的Lefschetz纤维化与一对一致的二聚体模型和一个内部完美匹配，它的Crackaya类别推导出等价于与该对相关的关系的有向Crackaya的表示类别。作为一个推论，我们得到了一个版本的同调镜像对称的二维复曲面Fano堆栈。
Suspending Lefschetz fibrations, with an application to Local Mirror Symmetry
我们考虑莱夫谢茨纤维化上的悬挂操作，它使p（x）成为p（x）-y^2。这使得纤维化的范畴保持不变，并以特定的方式改变了纤维的范畴（或者更准确地说，由消失环的基组成的子范畴）。作为应用，我们证明了复曲面上典范丛的全空间的部分同调镜像对称性。
Constructing Lefschetz-type fibrations on four-manifolds
我们展示了如何在任意光滑的、封闭的、定向的4-流形上构造断裂的非手性Lefschetz纤维化。这些是2-球面上的Lefschetz纤维化的推广，其中我们允许具有非标准取向的Lefschetz奇点以及对应于圆形1-手柄的奇点圆。我们也可以安排一个给定的面积为0的正方形是一个纤维。在没有3-和4-柄的4-流形的二重流形的情况下，这种构造更容易和更明确，例如由平凡群的非平凡平衡表示产生的同伦4-球面。
The Kodaira Dimension of Lefschetz Fibrations
本文证明了具有复和辛结构的光滑4-流形的复Kodaira维数$κ^h$等于辛Kodaira维数$κ^s$.我们还计算了许多Lefschetz纤维的Kodaira尺寸。
Compatible Relative Lefschetz Fibrations On Admissible Relative Stein Pairs
本文将四维球面Lefschetz纤维化相关结果推广至六维情形，构造了以(p,q,2)-Brieskorn簇为页的六维球面相容Lefschetz纤维化，并在具可容许相对Stein对结构的六维Stein域上构建相对Lefschetz纤维化，给出纯拓扑存在性证明。
Inequivalent Lefschetz fibrations and surgery equivalence of symplectic 4-manifolds
我们证明，任何辛4-流形，这不是一个合理的或直曲面，经过足够多的爆破，承认任意数量的非同构的Lefschetz纤维化的同一个属，不能从另一个通过Luttinger手术。这推广了Park和Yun在结满椭圆曲面上构造非同构Lefschetz纤维化对的结果。反过来，我们证明，有单值分解的Lefschetz铅笔具有相同的示性数，但不能从对方通过部分共轭Dehn扭曲，回答了Auorux提出的问题。
Small Lefschetz fibrations and exotic 4-manifolds
我们明确地构造亏格为2的Lefschetz纤维化，其全空间是与复有理曲面CP ^2 # p（-CP ^2）（p=7，8，9）和3 CP ^2 #q（-CP ^2）（q =12，.）同胚的极小辛4-流形，19.作为补充，我们证明了不存在极小亏格2 Lefschetz纤维化，其全空间同胚于任何其它b^+至多为3的单连通4-流形，当b^+=3时可能例外。与此同时，我们产生积极的Dehn扭曲因子分解的几个新的属2 Lefschetz纤维化与少量的临界点，包括最小的可能的例子，这是从逆向工程程序，我们介绍了这种设置。我们还从高亏格曲面上的小Lefschetz纤维化导出了CP^2 # 4（-CP^2）和3CP^2 # 6（-CP^2）同胚类中的奇异极小辛4-流形.
Existence of broken Lefschetz fibrations
我们证明了每一个闭的光滑4-流形X在2-球面上都有一个破的Lefschetz纤维化（也称为奇异Lefschetz纤维化）。给定X中任意平方为零的闭可定向曲面F，我们可以选择纤维化使得F是纤维。此外，我们可以安排它，使得当欧拉示性数e（X）为奇数时，只有一个莱夫谢茨临界点，而当e（X）为偶数时，没有莱夫谢茨临界点。我们利用拓扑修改的光滑映射的折叠和尖点奇异性，由于佐伯和莱文，从而我们得到以前的存在性结果的替代证明。还表明是存在的断裂Lefschetz铅笔与连接纤维上的任何近辛4-流形。
Lefschetz fibrations with infinitely many sections
本文证明了与全纯情形不同，光滑或辛 Lefschetz 纤维化可具有无穷多个截面，给出了辛情形下存在无穷多同调不同截面的一般判据与实例，并指出在自同构群作用下计数也无法恢复有限性。
On fiber and base decompositions in the Fukaya category of a symplectic Landau-Ginzburg model
本文针对一般辛Landau-Ginzburg模型（奇异辛纤维化），证明权重和Lagrangian分次可分解为基分量和纤维分量，从而推广了精确和Lefschetz纤维化下的权重计算方法。
Rational homology disk smoothings and Lefschetz fibrations
在这篇文章中，我们推广了在[arXiv：1004.3762]中讨论的结果，通过引入亏格到Lefschetz纤维化的一般纤维。也就是说，我们给家庭的关系，在映射类群的亏格-1曲面的边界，代表合理的同源磁盘光滑加权齐次曲面奇点，其分辨率图是$3$ -腿与一个坏的中心顶点。
Commutators, Lefschetz fibrations and the signatures of surface bundles
我们构造的Lefschetz纤维与规定的奇异纤维的例子。通过采取对这样的纤维化与相同的奇异纤维的差异，我们得到了新的例子，表面丛的表面与非零签名。从这些，我们得到新的上界的最小曲面的亏格表示一个给定的元素在第二个同源的映射类群。
Hyperelliptic Lefschetz fibrations and branched covering spaces
设M是光滑的4-流形，且在2-球面上存在相对极小的超椭圆亏格h-Lefschetz纤维化.如果这个纤维化的所有消失圈都是非分离曲线，那么我们证明了M是2-球面上的2-球面丛的2-重覆盖，在嵌入曲面上分支。如果这个纤维化的消失周期的集合包括分离曲线，我们表明，M是一个Lefshetz纤维化N的相对最小化，与N的2倍分支覆盖的理性表面，分支的嵌入式表面。
Convex plumbings and Lefschetz fibrations
我们表明，在适当的假设下，在辛4流形的辛曲面的管道承认强凸的邻域。此外，该邻域是Lefschetz纤维化的，在边界上具有易于描述的支持诱导切触结构的打开的书。我们指出了辛4-流形的剪切粘贴构造的一些应用。
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