发表机构
University of Massachusetts, Amherst; Kyushu University（马萨诸塞大学阿默斯特分校; 九州大学）
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本文解决了辛 Lefschetz 纤维化是否总有光滑截面的长期问题，通过点推映射提升方法证明并非如此，但所有此类纤维化都有正多截面，并构造了奇数亏格≥7的签名零纤维化。
AI 中文摘要
我们证明并非每个在 $2$--球面上的辛 Lefschetz 纤维化都允许光滑截面，从而解决了一个长期悬而未决的问题。为证明这一点，我们发展了一种通过带点推映射的单值化分解的提升以及全空间的诱导柄分解来研究截面的方法，并将其应用于一个无限的 Lefschetz 纤维化族。相反，我们证明每个在 $S^2$ 上的 Lefschetz 纤维化都允许正多截面。其中一些例子不允许具有球面分量的多截面。我们还构造了每个奇数亏格 $g\geq 7$ 的签名零的 Lefschetz 纤维化，这反过来在每个这样的亏格中给出任意规定签名的辛 Lefschetz 纤维化。
英文摘要
We show that not every symplectic Lefschetz fibration over the $2$--sphere admits a smooth section, settling a long-standing open problem. To prove this, we develop a method for studying sections via lifts of monodromy factorizations with point-pushing maps and the induced handle decomposition of the total space, and apply it to an infinite family of Lefschetz fibrations. In contrast, we show that every Lefschetz fibration over $S^2$ admits positive multisections. Some of these examples admit no multisections with spherical components. We also construct signature-zero Lefschetz fibrations of every odd genus $g\geq 7$, which in turn give symplectic Lefschetz fibrations of any prescribed signature in each of these genera.
Comments38 pages, 18 figures in color
