余自由Com-PreLie代数
Cofree Com-PreLie algebras
AI总结：
本文研究Com-PreLie双代数，给出余自由实例、自由酉代数的图形描述与典范结构，借助刚性定理得到含Connes-Kreimer Hopf代数的余自由商，证明其对偶为可组合描述的preLie代数包络代数。
摘要：
Com-PreLie双代数是一种交换双代数，它带有一个额外的preLie乘积，该乘积与代数的乘积和余乘积满足若干相容性条件。本文给出了余自由Com-PreLie双代数的实例，涵盖所有preLie乘积为次数≥-1的齐次映射的情形。我们还给出了自由酉Com-PreLie代数的图形化描述，明确了其典范双代数结构，并借助刚性定理展示了若干余自由商代数，其中包括根树的Connes-Kreimer Hopf代数。最后我们证明，这些双代数的对偶也是preLie代数的包络代数，可通过组合方式描述。
英文摘要：
A Com-PreLie bialgebra is a commutative bialgebra with an extra preLie product satisfying some compatibilities with the product and the coproduct. We here give examples of cofree Com-PreLie bialgebras, including all the ones such that the preLie product is homogeneous of degree $\ge$ --1. We also give a graphical description of free unitary Com-PreLie algebras, explicit their canonical bialgebra structure and exhibit with the help of a rigidity theorem certain cofree quotients, including the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees. We finally prove that the dual of these bialgebras are also enveloping algebras of preLie algebras, combinatorially described.
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