On mass - critical NLS with local and non-local nonlinearities
我们考虑下面的非线性薛定谔方程的双重$L^2$ -临界非线性\begin{align*} iu_t+Δu+|u|^\frac{4}{3}u+μ\left(|x|^{-2}*|u|^2\right)u=0\ \ \ \text{in $\mathbb{R}^3$,} \end{align*}，其中$μ>0$足够小。我们的第一个目标是证明基态$Q_μ$的存在性和非简并性。特别地，我们发展了一种适当的微扰方法来证明径向非简并性，从而得到基态$Q_μ$的一般非简并性。然后证明了具有最小质量$\|u_0\|_{L^2}=\|Q_μ\|_{L^2}$的有限时间爆破解的存在性.更准确地说，我们构造的最小质量爆破的能量$E_μ(u_0)>0$和动量$P_μ(u_0)$参数化的解决方案。此外，非简并性在这个构造中起着至关重要的作用。
2022-01-12 math.AP
Non-degeneracy and local uniqueness of positive solutions to the Lane-Emden problem in dimension two
我们考虑Lane-Emden问题\begin{equation*} \begin{cases} -Δu=u^{p} &{\text{in}~Ω},\\[0.5mm] u>0 &{\text{in}~Ω},\\[0.5mm] u=0 &{\text{on}~\partial Ω}, \end{cases} \end{equation*}，其中$Ω\subset \mathbb R^2$是光滑有界区域，且$p>1$足够大.改进了一些已知的解的渐近估计，证明了一般区域上多尖峰正解的非退化性和局部唯一性。我们的方法主要利用常微分方程理论、各种局部Pohozaev恒等式、爆破分析和Green函数的性质。
2021-02-18 math.AP
A simple proof of the Uniqueness of blow-up solutions of mean field equations
School of Mathematics and Statistics Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Department of Mathematical Sciences Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文提供了一个简单证明，解决了均场方程爆破解的唯一性问题，并扩展到具有负奇异性极点的奇异方程情况。
2026-01-18 math.AP
Finite time blow up for the energy critical Zakharov system II: exact solutions
本文证明了4D能量临界Zakharov系统存在有限时间II型爆破解，通过引入近似调制理论、频率局部化及畸变傅里叶方法，克服了近似解线性化中时空非局部项的困难。
2024-07-29 math.AP
Nirenberg problem on high dimensional spheres: Blow up with residual mass phenomenon
本文研究高维球面上Nirenberg问题次临界逼近中带残余质量的爆破现象，刻画爆破点与速率，计算拓扑贡献，并在弱极限非退化时构造爆破解。
2024-04-20 math.AP math.DG
Precise asymptotic estimates and non-degeneracy of solutions to a biharmonic problem with large exponents in dimension four
Central China Normal University（华中师范大学）
针对四维有界区域上带Dirichlet边界条件的半线性双调和方程，利用ODE理论、爆破分析、局部Pohozaev恒等式以及Green函数表示，改进了解的渐近估计并证明了多尖峰解的非退化性。
2026-05-23 math.AP
Boundedness for a fully parabolic Keller-Segel model with sublinear segregation and superlinear aggregation
研究了一类具有非线性产生和化学吸引子的完全抛物趋化模型。这个问题是制定一个有界域，并根据一个特定的相互作用的系数与这种生产和化学吸引，我们建立相关的初边值问题有一个独特的经典的解决方案，这是一致有界的时间。为了更准确地说，我们研究这个零通量问题\begin{equation}\label{problem_abstract} \tag{$\Diamond$} \begin{cases} u_t= Δu - \nabla \cdot (f(u) \nabla v) & \text{ in } Ω\times (0,T_{max}),\\ v_t=Δv-v+g(u) & \text{ in } Ω\times (0,T_{max}),\\ \end{cases} \end{equation}，其中$Ω$是一个有界和光滑的域的$\mathbb{R}^n$，$n\geq 2$，$f(u)$和$g(u)$是合理的正规功能，分别推广，原型$f(u)=u^α$和$g(u)=u^l$，适当的$α, l>0$。在证明了任何充分光滑的$ u(x,0)=u_0(x)\geq 0, \, v(x,0)=v_0(x)\geq 0$都能给出问题\eqref{problem_abstract}的唯一经典非负解$Ω\times (0,T_{max})$之后，我们建立了对于任何$l\in (0,\frac{2}{n}…
2020-05-16 math.AP
Local and global blow-downs of transport twistor space
本文研究传输扭量空间的退化复结构，通过构造全纯 blow-down 映射，为常曲率度量提供整体解、任意度量提供局部解，并证明了退化情形的 Newlander--Nirenberg 定理。
2025-03-28 math.AP math.CV math.DG
Non-degeneracy of double-tower solutions for nonlinear Schrödinger equation and applications
本文基于局部 Pohozaev 恒等式和爆破分析，证明了非线性 Schrödinger 方程双塔解的非退化性，并以此获得了该方程的新型解。
2023-11-18 math.AP math.FA
Non-degeneracy and uniqueness of ground states to nonlinear elliptic equations with mixed local and nonlocal operators
本文研究了具有混合局部与非局部算子的非线性椭圆方程基态的非退化性与唯一性，通过推导Hopf型引理和Picone型恒等式证明了基态在径向与非径向对称函数空间中的非退化性，并结合爆破与延拓论证确立了基态的唯一性。
2025-10-13 math.AP
Regularity of the optimal sets for a class of integral shape functionals
本文证明了含积分泛函的形状最优化问题解的自由边界的{第一}正则性定理，其中区域$Ω$的能量是代价函数$j(u,x)$的积分，该代价函数依赖于$Ω$上某个PDE问题的解$u$.这些泛函的主要特点是域$Ω$的极小性不能转化为单个（实值或向量值）状态函数的变分问题。在本文中，我们专注于仿射成本函数的情况下，$j(u,x)=-g(x)u+Q(x)$，其中$u$是解的PDE $-Δu=f$ Dirichlet边界条件。从$Ω$的内向/外向最优性出发，得到了最优$u$的Lipschitz连续性和非退化性，然后利用$Ω$关于光滑向量场变分的稳定性，研究了状态函数$u$的爆破极限.通过三重连续爆破，证明了爆破序列收敛于单相Bernoulli问题的齐次稳定解的存在性，并根据爆破极限，将$\partialΩ$分解为奇异部分和正则部分.为了估计的豪斯多夫维数的奇异集的$\partialΩ$，我们给出了一个新的提法的概念，稳定的一个阶段的问题，这是保持爆破限制，并允许开发一个降维原则。最后，结合高阶边界Harnack原理和粘性方法，证明了当数据光滑时，自由边界正则部分的$C^\infty$正则性。
2022-12-18 math.AP
Non-degeneracy of solution for critical Lane-Emden systems with linear perturbation
本文研究了临界Lane-Emden系统中线性扰动解的非退化性，通过构造发散解并证明其非退化性，为相关问题提供了新方法。
2024-03-07 math.AP
Existence, non-degeneracy and local uniqueness of multi-peak solutions to the fractional Schrödinger equation with nearly critical exponent in $\mathbb{R}^N$
Central China Normal University（华中师范大学）；Henan University（河南大学）
本文研究了分数Schrödinger方程在近临界指数下的多峰解的存在性、非退化性及局部唯一性，通过Lyapunov-Schmidt降维法和吹胀论证建立相关结论。
2026-08-12 math.AP
Dynamics near explicit stationary solutions in similarity variables for solutions of a semilinear wave equation in higher dimensions
本文是研究具有次共形幂非线性项的$N$维半线性波动方程爆破曲面性质的两篇论文中的第一篇。在一系列的论文中，我们已经澄清了一维空间中的情况。我们的目标是将一些性质扩展到更高的维度。在第一维，一个重要的工具是研究相似变量的解决方案的动力学，附近的一组非零平衡，这是通过洛伦兹变换的空间独立的解决方案。事实上，本文的主要内容是研究高维空间中的相似物体。更确切地说，在这组平衡点附近，我们证明了解要么是非全局的，要么是趋于零，要么收敛到某个显式平衡点。我们还表明，第一种情况下，不能发生在特征的情况下，只有第三种可能性发生在非特征的情况下，由于非退化的爆破极限，另一个新的结果，在我们的文件。作为我们的技术的副产品，我们获得了零解的稳定性。
2014-10-09 math.AP
NLS equation with competing inhomogeneous nonlinearities: ground states, blow-up, and scattering
Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Imam Abdulrahman Bin Faisal University（伊玛目阿卜杜勒拉赫曼·本·费萨尔大学）；Qassim University（卡西姆大学）
研究非径向临界情形下含竞争非均匀非线性的Schrödinger型非线性方程的基态存在性、散射与爆炸行为，采用Tao的散射准则和Dodson-Murphy的Virial/Morawetz不等式。
2026-04-14 math-ph math.AP math.MP
Balance between degenerate elliptic operators and coercive Hamiltonians
Sapienza Università di Roma（罗马大学）；Tsuda University（津田塾大学）
该研究针对$p>1$的 fully nonlinear degenerate elliptic equations边值问题，结合先验Lipschitz估计，分析解的存在性、渐近行为及退化算子与哈密顿量的相互作用，揭示不同$i$值下的解的现象。
2026-09-02 math.AP
Curvature estimate for the heteroclinical solution to a Bose-Einstein condensation system
South China University of Technology（华南理工大学）；Fudan University（复旦大学）
该研究针对含p-拉普拉斯算子的玻色-爱因斯坦凝聚系统的异宿解，通过建立其渐近行为、单调性等性质，推导了势阱附近的曲率估计，为构造径向障碍函数提供几何控制。
2026-08-11 math.AP
Uniform estimates for positive solutions of semilinear elliptic equations and related Liouville and one-dimensional symmetry results
考虑光滑区域上可能无界的半线性椭圆型方程的Dirichlet边界条件.在适当的假设下，我们推导出一个条件的大小域，这意味着存在一个正解满足一致逐点估计。这里，均匀意味着估计与域无关。我们的方法的主要优点是，它允许我们删除一个限制性的单调性假设，这是强加在最近的文件。此外，我们可以删除一个非简并条件，在后者的参考。进一步推广了一个关于半线性椭圆非线性本征值问题的结果。此外，我们还研究了相应的奇异扰动问题的全局极小解的边界层。对于上述应用程序，我们的方法是基于一个结果的细化，关于大球的相关能量的全局极小的行为，受狄利克雷条件。结合整体分歧理论和滑动方法，我们可以证明解远离其节点集的一致估计。结合我们的方法与先验估计，我们得到的blow-up，加倍引理，和已知的Liouville型定理，我们可以给出一个新的证明，一个已知的Liouville型定理不使用边界blow-up解决方案。我们也可以提供一个替代的证明，和一个有用的推广，刘维尔定理，涉及存在的障碍。利用后一种推广，我们考虑了具有混合边界条件的奇异扰动问题。此外，我们证明了Allen-Cahn型方程的某些整体解的一些新的一维对称性和刚性性质，以及在半空间，凸圆柱区域。特别地，我们在二维空间中给出了Gibbons猜想的一个新的证明。
2014-02-20 math.AP
Blow-ups of caloric measure in time varying domains and applications to two-phase problems
我们开发了一种方法来研究结构的共同部分的边界不相交的，可能是非互补的时变域在$\mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 2$，在点的相互绝对连续的各自的热量措施。我们的一套技术，这是基于抛物线正切措施，使我们能够解决以下问题：1）设$Ω_1$和$Ω_2$是$\mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 2$中的不相交区域，它们对热方程是拟正则的，对伴随热方程是正则的，其馀的部分，则是一个非对称的。简并假设的集合$E$的相互绝对连续的相关的热量措施$ω_i$与极点在$\bar{p}_i=(p_i,t_i)\inΩ_i$，$i=1,2$。然后，我们得到一个抛物线模拟的结果凯尼格，Preiss和托罗，即，我们证明了$ω_1|_E$的抛物Hausdorff维数为$n+1$，并且证明了$ω_1$在$ω_1$ -a.e.点的$E$等于一个常数倍的抛物线$(n+1)$ -豪斯多夫措施限制到超平面包含一条线平行于时间轴。2)另外，如果$ω_1$和$ω_2$是加倍的，$\log \frac{dω_2|_E}{dω_1|_E} \in VMO(ω_1|_E)$，并且$E$在$ω_1$的支持下相对开放，则它们在$E$的{ \it every}点处的正切测度是与伴随热量多项式相关联的热量测度。作为推论，我们得到了在互补$δ$ -Reifenberg平坦域中，如果$δ$足够小且$\log \…
2021-04-13 math.AP math.CA
A fully nonlinear two-phase Alt-Phillips problem with gradient nonlinearities
本文研究完全非线性两相Alt-Phillips自由边界问题，通过精细爆破和稳定性分析，建立了高阶奇异结点处的增长估计、定量非退化结果及Liouville定理，统一并推广了已有结论。
2026-09-22 math.AP
The nodal set of solutions to some elliptic problems: sublinear equations, and unstable two-phase membrane problem
本文研究了\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}形式的方程的节点解集，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in [1,2)$，$B_1=B_1(0)$是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$和$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.该类包括\emph{unstable two-phase membrane problem}（$q=1$）以及$1<q<2$的\emph{sublinear}方程。我们证明了以下主要结果：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节集的正则性：节集是正则余维1流形直到Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集的局部有限集合（局部有限时$N=2$）;（d）部分分层定理。最终，节点集的主要特征与线性（或超线性）方程的解严格相关，有两个显著的区别。首先，允许消失阶不能超过临界值$2/(2-q)$。在阈值，我们找到了一个多重的齐次解决方案，产生的任何估计的$(N-1)$ -维措施的节点集的解决方案的消失顺序方面的\emph{non…
2018-02-06 math.AP
Qualitative analysis to an eigenvalue problem of the Hartree type Brézis-Nirenberg problem
本文研究临界Hartree型Brézis-Nirenberg方程，在Robin函数临界点非退化条件下，证明小ε时爆破解的Morse指标可由Hessian矩阵负特征值个数确定，首次将相关定性分析推广到非局部情形。
2024-02-20 math.AP
