Toric Varieties and Codes, Error-correcting Codes, Quantum Codes, Secret Sharing and Decoding
复曲面品种和他们相关的复曲面代码，以及确定他们的参数与相交理论，在二维的情况下。具有强乘法的线性秘密共享方案是由J.L.梅西建筑公司非对称量子码是由A.R. Calderbank，P.W. Shor和A.M. Steane从包含其对偶码的线性码构造稳定子码。研究了一类复曲面码的译码问题。
2019-12-01 cs.CR math.AG
Asymmetric Quantum Codes on Toric Surfaces
非对称量子纠错码是定义在偏置量子信道上的量子码：量子位翻转和相移错误可以具有相等或不同的概率。码的构造是基于两个线性码的Calderbank-Shor-Steane构造。我们提出了家庭的复曲面，复曲面码和相关的非对称量子纠错码。
2017-08-09 cs.CR math.AG quant-ph
Quantum Codes from Toric Surfaces
本文提出了用Calderbank-Shor-Steane方法从Toric曲面构造量子纠错码的理论。特别是我们研究的方法复曲面Hirzebruch曲面。利用复曲面簇的上同调和相交理论，通过构造复曲面的对偶微分形式，得到了这些结果。在早期的工作中，作者开发的方法来构建线性纠错码从环面品种和获得的代码参数使用上同调和相交理论环面品种。将该方法推广到构造适合于用Calderbank-Shor-Steane方法构造量子码的线性码。该理论的实质是复曲面上对偶微分形式的存在性及其应用。A.R. Calderbank，P.W. Shor和A.M. Steane从包含其对偶码的线性码中产生稳定器码。合并这两种构造以获得复曲面的结果。A.用不同的方法对代数曲线进行了类似的合并。Ashikhmin，S. Litsyn和M.A. Tsfasman。
2012-03-20 cs.IT math.AG math.IT
Toric surface codes and Minkowski length of polygons
本文证明了由凸格点多边形P定义的复曲面码的最小距离的一个新的下界。这个下界涉及到一个几何不变式L（P），称为P的满Minkowski长度，对于任何给定的P，它都可以很容易地计算。
2008-02-14 math.AG math.CO
Toric Codes, Multiplicative Structure and Decoding
有限域上复曲面簇构造的长线性码及其乘法结构和译码。主要的主题是在环面码的内在乘法结构。乘法结构允许\emph{decoding}，类似于里德-所罗门码的解码，并且与通过纠错对的解码对齐。我们利用复曲面码上的乘法结构，通过Massey的构造推广了由Reed-Solomon码构造的Shamir线性秘密共享方案，利用\emph{strong multiplication}构造了线性秘密共享方案。我们用Calderbank-Shor-Steane方法构造了复曲面量子纠错码。
2017-02-20 cs.IT math.AG math.IT
Toric surface codes and the periodicity of polytopes
本文研究二维积分凸多胞体定义的环面码，针对周期为1的多胞体，给出两类多胞体最小距离的计算方法，分别利用显式公式和范德蒙德矩阵。
2026-09-25 math.AG math.CO
Toric complete intersection codes
本文给出了由复曲面簇的完全交构造的求值码的最小距离的下界。这推广了Gold-Little-Schenck和Ballico-Fontanari关于射影空间中完全交的求值码的结果。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
Vanishing Ideals of Parameterized Subgroups in a toric variety
设$\K$是有限域，$X$是$\K$上的完全单复曲面簇.我们给出了一个算法依赖于消除理论寻找由矩阵$Q$参数化的子群$Y_Q$的消失理想的生成元，可用于研究由$Y_Q$产生的代数几何码。在较弱的条件下，给出了理想$I_L$恰为$I(Y_Q)$的格点$L$的计算方法.作为应用，我们给出了一些特殊子群所对应的格的精确刻画。我们还证明了有限域上的一个Nullstellenbranch型定理，并为我们的算法共享\verb |Macaulay2|代码。
2021-05-05 math.AG
On $m$-dimensional toric codes
Toric码是J. Hansen最近提出的一类$m$维循环码。它们可以被定义为从与整凸多面体$P \subseteq \R^m$中的整数格点相对应的单项式获得的求值码。因此，它们在某种意义上是Reed-Solomon码的自然扩展。几位作者利用复曲面上的交理论，用$m = 2$导出了某些复曲面码的最小距离的界。在本文中，我们将提供一个更基本的方法，同样适用于所有$m \ge 2$的许多复曲面码。我们的方法是基于一种多元推广的Vandermonde行列式，也被用于多元多项式插值的研究。我们使用这些范德蒙行列式，以确定最小的距离环面码从矩形多面体和单纯形。我们还证明了一个一般性的结果表明，如果有一个么模整数仿射变换采取一个多面体$P_1$的第二个多面体$P_2$，那么相应的复曲面码是monomially等价的（因此有相同的参数）。我们用它来开始一个分类的二维复曲面代码与小尺寸。
2005-07-25 cs.IT math.AC math.AG
On dual toric complete intersection codes
本文研究了d维超曲面与给定的d维Newton多面体的交上的赋值码的对偶性，即所谓的复曲面完全交码。特别地，我们给出了这样的码是拟自对偶的一个条件。在d=2的情况下，它简化为牛顿多边形上的组合条件。这使我们能够给出一个明确的建设的对偶和拟自对偶环面完全相交码。我们提供了一个16个元素的领域的例子列表。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
Toric codes over finite fields
在本文中，一类纠错码与复曲面簇相关联，复曲面簇与有限域$\fff_q$上定义的扇形相关联，类似于与曲线相关联的Goppa码类。对于满足一定条件的复曲面码，我们提出了一种有效的对偶Goppa码的译码算法。列举了许多实例。对于小的$q$，这些代码中的许多代码具有超过Gilbert-Varshamov界限的参数。事实上，使用复曲面代码，我们构造了一个$(n,k,d)=(49,11,28)$代码在$\fff_8$，这是优于任何其他已知的代码中列出的Brouwer的在线表中的$n$和$k$。
2003-07-30 cs.IT math.AG math.CO
Remarks on generalized toric codes
本文给出了R^2中固定的整数格点集S所对应的广义环面码的最小距离随基域变化的一些新信息。主要结果表明，在某些情况下，在足够大的域上，对应于集合S的码的最小距离将与对应于S的凸包的码的最小距离相同。在一个例子中，我们还将讨论GF（8）上的[49，12，28]广义环面码，根据M. Grassl的在线表格，截至2011年7月。
2011-09-12 cs.IT math.AG math.IT
Bringing Toric Codes to the next dimension
本文研究由格多面体定义的高维环面码的最小距离计算问题。我们表明，最小距离是乘法相对于采取产品的多面体，并表现在一个简单的方式，当一个人建立一个k-扩张的金字塔在多面体。这使我们能够构建一个大类的例子，更高的维复曲面代码，我们可以计算的最小距离明确。
2010-04-12 cs.IT math.AG math.IT
Projective toric codes
$\mathbb{R}^N$中的任何整凸多胞体$P$都提供一个$N$维复曲面簇$X_P$和这个簇上的一个充分因子$D_P$.本文通过在$X_P$的每一个有理点上计算$\mathcal{L}(D_P)$的整体瓣，给出了$X_P$上代数几何纠错码的显式构造.这项工作提出了一个扩展的复曲面代码类似的Reed-Muller码到投影的，通过评估的整个品种，而不是只考虑点与非零坐标。码的维数是根据多面体$P$中的整数点的数目给出的，并描述了一种获得最小距离下界的算法技术。
2021-02-04 cs.IT math.AG math.IT
Multigraded Hilbert function and toric complete intersection codes
设$X$是具有齐次坐标环$S$的完备$n$维单复曲面簇.研究了$X$中约化$0$维子格式$Y$的多阶Hilbert函数$H_Y$.当$Y$是$X$中的$0$ -维完全交时，我们给出了显式公式并证明了$H_Y$的非减性和稳定性.我们将所得结果应用于计算单复曲面簇上$0$ -维完全交的一些求值码的维数。
2015-06-25 math.AC math.AG math.CO
Rational points of lattice ideals on a toric variety and toric codes
该研究提出用Smith标准形计算有限域环面簇上齐次格理想定义子群的有理点个数，证明有限域零点定理型对应关系，并推广了Hirzebruch曲面上广义环面码的参数计算结果。
2023-05-03 cs.IT math.AC math.AG
On the vanishing ideal of an algebraic toric set and its parameterized linear codes
设K是一个有限域，X是域K上的一个射影空间的子集，它由杂波边缘产生的单项式参数化。我们给出了X的消失理想I（X）的度复杂度的一些估计，关于Revlex阶。如果杂波是均匀的，我们用线性代数对I（X）的完全相交性进行分类。我们显示了一定的参数化线性码的最小距离的上界，随着一定的估计的代数不变式的I（X）。
2011-09-16 math.AC math.AG
There are no good infinite families of toric codes
本研究通过证明更一般的Szemerédi型结果，证实Soprunov与Soprunova提出的好的无限族toric码并不存在，明确了高维格点稠密子集的超立方体结构性质。
2025-01-17 cs.IT math.AG math.CO
Next-to-minimal weight of toric codes defined over hypersimplices
本研究针对超单形上的托里拆利码，利用格罗布纳基理论确定了$3\leq d\leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2}\leq d < s$时的次最小权重，补充了该类码的距离特性研究。
2025-02-11 cs.IT math.AC math.AG
On Good Infinite Families of Toric Codes or the Lack Thereof
本文研究Toric码的无穷族，通过多胞体运算构造，给出不存在信息率和相对最小距离均不趋于0的好码族的条件与证据。
2024-06-14 cs.IT math.AG math.IT
Toric Codes and Finite Geometries
我们展示了如何在环${\mathbb Z}/\langle q - 1\rangle$上的仿射几何理论可以用来理解复曲面和广义复曲面码在${\mathbb F}_q$上的性质。这些代码的最小距离与有限几何中的线的集合密切相关，这些线包含单项式的指数向量的子集，这些单项式被评估以产生代码的标准生成矩阵。我们认为，这种连接是，事实上，甚至更直接的连接与那些被认为是元素的${\mathbb Z}^2$或${\mathbb R}^2$的指数向量的晶格几何。这种观点应该是有用的，既作为一种方式来可视化这些代码的属性，并作为一个指导启发式搜索的好代码构造在这种方式。特别是，我们将使用这些想法来了解为什么这些构造在${\mathbb F}_8$领域如此成功，但在其他情况下却不那么成功。这个修正版本（发布于2017年3月6日）在命题2.4中添加了一个必要的假设。Melda Görür向作者指出了前一版本的一个反例，作者感谢她提请他注意。定理3.2和推论3.3也被重新表述，因此它们不涉及新的更受限制的命题2.4。
2017-03-06 cs.IT math.AG math.IT
On the number of minimal and next-to-minimal weight codewords of toric codes over hypersimplices
本文刻画并确定了超单纯形上环面码在$3 \leq d < s$时的最小重量码字数，以及在$3 \leq d \leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2} \leq d < s$时的次最小重量码字数。
2025-02-25 cs.IT math.AC math.AG
Toric Codes and Lattice Ideals
设$X$是有限域$\mathbb{F}_q$上具有齐次坐标环$S=\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_r]$和分裂环面$T_X\cong (\mathbb{F}^*_q)^n$的完全单复曲面簇.证明了环面$T_X$的子集$Y$的消失理想是格理想当且仅当$Y$是子群.我们表明，这些子群正是那些子集的参数化的劳伦单项式。我们给出了一个算法来确定这个参数化，如果子群是零轨迹的一个理想的环面。我们还证明了$T_X$的子群的零理想是$r-n$维的根齐次格理想。我们确定对应于一个退化环面在$X$的晶格和完全刻画时，它的晶格理想是一个完整的交叉。我们计算了定义在这些退化环面上的广义环面码的维数和长度。
2018-10-02 cs.IT math.AC math.AG
$\mathbb{F}_q$-zeros of sparse trivariate polynomials and toric 3-fold codes
对于$\mathbb{R}^3$中的给定格多面体$P$，考虑有限域$\mathbb{F}_q$上三元多项式空间$\mathcal{L}_P$，其牛顿多面体包含在$P$中。根据$P$和$q$的Minkowski长度以及域的大小，给出了$\mathcal{L}_P$中多项式的$\mathbb{F}_q$ -零点的最大个数的上界.因此，这产生了复曲面代码的最小距离的下界，该最小距离通过在代数环面$(\mathbb{F}_q^*)^3$的点处评估$\mathcal{L}_P$的元素来定义。我们的方法是基于理解的多项式在$\mathcal{L}_P$的非单位因子的最大可能数量的因式分解。相关的组合结果，我们得到的是包含在$P$中的格多面体的Minkowski和的描述与最大可能的非平凡的被加数。
2022-01-28 math.AG math.CO math.NT
Computing Vanishing Ideals for Toric Codes
本文提出了计算有限域上单纯完全toric簇特定子集及有理点集消失理想的方法，并给出了加权射影空间情形下利用数值半群环定义理想生成元的构造，为纠错码理论提供了有效工具。
2025-05-30 cs.IT math.AC math.AG
