The $\mathcal{L}$-Calculus for Causal Variational Principles: An Exterior Differential Calculus on Non-Smooth Spaces
Fakultät für Mathematik Universität Regensburg（雷根斯堡大学数学学院）；McGill University（麦吉尔大学）
本文针对非光滑空间，开发了适用于因果变分原理的$\boldsymbol{\tilde{\textit{L}}}$演算，将外微分演算及相关拓扑结构推广至非光滑空间，证明了斯托克斯定理等相关定理并辅以示例说明。
2026-08-11 math-ph math.AT math.DG
Discrete Exterior Calculus
提出任意有限维单纯复形上的离散外微分理论，包括离散微分形式、离散向量场及其算子，并引入外心对偶以统一处理向量场与形式。
2005-08-18 cs.NA math.DG math.NA
Exterior differential systems on Lie algebroids and the invariant inverse problem of the calculus of variations
University of Antwerp（安特卫普大学）
本文研究了Lie algebroids上的外微分系统，提出积分流形的概念，并应用到具有对称群的动力系统及变分学的不变反问题中。
2025-07-19 math-ph math.DG math.DS
A Discrete Exterior Calculus of Bundle-valued Forms
针对带联络组合流形上丛值微分形式缺乏通用离散微积分的问题，提出外协变导数离散化方法，满足比安基恒等式且网格细化时可收敛至精确值。
2025-05-22 cs.NA math.DG math.NA
Differential complexes and exterior calculus
本文提出了光滑$n$ -流形上$k$ -维域上微积分的一个新理论，统一了离散、外和连续理论。微积分从一个点开始，通过线性或叠加扩展到多个点的链。它收敛到光滑连续相对于一个规范的空间的“点链”，最终在chainlet复杂。通过这个复杂的，我们发现了一个广泛的理论，坐标自由，多向量分析光滑流形的经典牛顿演算和Cartan外部演算成为特殊情况。小链算子、乘积和积分适用于对称和反对称张量上链。作为推论，我们获得了欧几里得空间、细胞复合物、双层结构（例如，肥皂膜）和非光滑域，同样容易。这种力量来自于最近发现的预导数和预积分，它们是牛顿理论的前提。这些导致新的模型的连续空间和时间，并允许分析域，可能不是局部欧几里德，或局部连接，或与局部有限的质量。
2006-06-07 math-ph math.CA math.DG
Averaging Property of Wedge Product and Naturality in Discrete Exterior Calculus
本文证明离散外微积分中的上边界算子和反对称杯积对抽象单纯映射具有自然性，并给出离散楔积的平均解释，证明其与Wilson上链积等价。
2023-11-13 cs.NA math.DG math.NA
Numerical method for Darcy flow derived using Discrete Exterior Calculus
本文基于离散外演算（DEC），推导了达西流的数值方法，从而也适用于混合（一阶）形式的泊松方程。外演算是向量演算在光滑流形上的推广，而离散微分方程是向量演算在单纯复形（如三角形和四面体网格）上的离散化。DEC是一种坐标不变的离散化，因为它不依赖于单形或整个网格的嵌入。我们首先用外演算的语言改写达西流的控制方程。这就产生了一个关于通量微分形式和压力的公式。数值方法，然后通过使用DEC提供的框架，用于离散微分形式和操作员的形式。我们还开发了一个离散化的空间依赖霍奇星，随着介质的渗透率。这也使我们能够解决不连续的渗透性。我们的离散非齐次霍奇星的矩阵表示是对角的，具有正对角元素。得到的通量和压力的线性方程组是鞍型的，左上方是一个对角矩阵。所提出的数值方法的性能说明了许多标准的测试问题。其中包括二维和三维的贴片测试，与二维分析已知解决方案的比较，交替渗透率值的分层介质，以及沿流动方向渗透率变化的测试。我们还显示了收敛的通量和压力的数值证据。文中还对表面上的达西流进行了收敛实验。本文对光滑和离散外演算的相关部分作了简要的介绍。我们还包括讨论的边界条件外微积分。
2011-08-31 cs.NA math.DG math.NA
PyDEC: Software and Algorithms for Discretization of Exterior Calculus
NVIDIA Corporation（英伟达公司）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文介绍PyDEC库，通过高效算法实现离散外微积分、有限元外微积分及相关拓扑问题的算子与对象构造，并利用NumPy/SciPy库在Python中求解物理与拓扑问题。
2012-02-27 cs.CG cs.MS cs.NA
Intrinsic nonlinear elasticity: An exterior calculus formulation
本文用外微分与丛值微分形式建立非线性弹性的内蕴几何表述，统一处理运动学与动力学变量及三种运动表示，并揭示主丛结构与德拉姆复形两类底层数学结构。
2023-03-10 math-ph math.DG math.DS
Rust Implementation of Finite Element Exterior Calculus on Coordinate-Free Simplicial Complexes
本论文开发了一个基于有限元外微积分的Rust库，用于在任意维无坐标单纯复形上求解Hodge-Laplace问题，采用Regge度量与一阶Whitney基函数，并通过收敛性研究部分验证。
2025-06-18 cs.NA math.AP math.AT
Calculus on Lie algebroids, Lie groupoids and Poisson manifolds
我们首先简要介绍了李群胚和李代数胚的基本概念，但本文的主要部分涉及李代数胚。流形上的李代数体是该流形上的向量丛，其性质与切丛的性质非常相似。它的对偶丛具有与余切丛非常相似的性质：在它的外幂的截面的分次代数中，可以定义一个与外导数相似的算子。给出了李代数体、对偶丛和外幂的一般情形下的李导数、Schouten-Nijenhuis括号和外导数的理论。所有的结果（其中，大部分是已知的）给出了详细的证明。在最后一节中，结果被应用到泊松流形，其与李代数胚的联系非常密切。
2008-09-29 math.DG
Discrete exterior calculus discretization of incompressible Navier-Stokes equations over surface simplicial meshes
Cairo University（开罗大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文基于离散外算子开发了不可压缩纳维-斯托克斯方程的保守离散化方法，采用代数离散化内积运算符和组合离散化楔积运算符，通过结构化三角网格和非结构化网格验证了该方法的二阶和一阶精度，实现了质量和涡量的守恒。
2016-02-11 cs.NA math.DG math.NA
Anisotropy in 2D Discrete Exterior Calculus
Centro de Investigación en Matemáticas（数学研究中心）；Departamento de Matemáticas, Universidad de Guanajuato（瓜纳华托大学数学系）
本文提出了一种类似于有限元方法的局部形式化方法，用于二维离散外微分（DEC），能够自然处理材料各向异性（逐元素处理）。该方法能够稳健地推导出各向异性通量以及各向异性张量对原生1形式的DEC离散化拉回。由于局部形式化，DEC的计算成本与具有线性插值函数的有限元方法（FEML）相似。数值DEC解出的各向异性泊松方程显示了数值收敛性，并且在细网中非常接近FEML的解，在粗网中略优于FEML的解。
2018-12-28 cs.NA math.DG math.NA
Kahler: An Implementation of Discrete Exterior Calculus on Hermitian Manifolds
University of Maryland at Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）
Kahler库基于离散外微分算术在任意辛流形上进行计算，提供通用框架，支持任意维度、拓扑和度量，具备自动生成三角网格、离散尖锐算子和de Rham映射等功能。
2014-06-04 cs.CG cs.MS cs.NA
Discrete exterior calculus (DEC) for the surface Navier-Stokes equation
Institute of Scientific Computing, TU Dresden（德累斯顿工业大学科学计算研究所）；Dresden Center for Computational Materials Science (DCMS), TU Dresden（德累斯顿工业大学德累斯顿计算材料科学中心）；Center for Systems Biology Dresden (CSBD)（德累斯顿系统生物学中心）
本文提出了一种基于离散外微分算术（DEC）的数值方法，用于求解不可压缩表面纳维-斯托克斯方程，展示了该方法在拓扑、几何和流体性质间的相互作用以及二阶收敛性。
2017-01-18 cs.NA math.DG math.NA
Whitney Forms for Spherical Triangles I: The Euler, Cagnoli, and Tuynman Area Formulas, Barycentric Coordinates, and Construction with the Exterior Calculus
建立了球面三角形的Tuynman中点面积公式与经典的Euler和Cagnoli面积公式的等价性。推导还产生了一个变种的卡格诺利公式的内侧三角形。我们引入球面三角形内一点的三个重心坐标作为面积比，它们之和为1。重心坐标是惠特尼0-形式，在与每个顶点相关联的三角形的域上的标量函数。然后，我们构造，由外部微分的重心坐标，简洁的表达式惠特尼1-形式与每个测地线的一面，或大圆弧。欧拉公式与图因曼公式相结合，使三角形面积相对于顶点位置的微分变得容易。由于欧拉公式和图曼公式都可以用嵌入球面上顶点的位置向量自然地表示，因此惠特尼构造可以用向量值形式来完成，而不需要求助于特定的投影或坐标图。最后，我们展示了Whitney 2-形式的三角形，它必须是一个标量函数和面积2-形式的球的产品。我们发现这个标量函数的表达式中的行列式的$3 \times 3$矩阵建立从顶点位置向量。它是点的直角坐标中的有理函数。通过构造，它必须在三个顶点的轮换下不变，尽管它不是明显不变的。同样，通过构造，惠特尼2-形式必须在三角形上积分为1。因此，当限制在球面上时，有理函数在其三角形上完全可积。
2014-04-26 math.DG
Fractional Differential Forms
外微积分的一个推广被认为是允许偏导数的外导数假设分数阶。也就是说，定义了分数外导数。这被发现产生新的向量空间的有限和无限维，分数微分形式的空间。将闭形式和精确形式的定义推广到新的分式形式空间，并对特殊情况给出了闭性和可积性条件。还计算了坐标变换规则。由于分数阶导数的性质，其变换规则不同于标准外演算。基于坐标变换规则，给出了分数形式空间的度量。所有的结果被发现减少到那些标准的外微积分时，坐标微分的顺序设置为一。
2003-01-10 math-ph math.DG math.MP
Duality in finite element exterior calculus and Hodge duality on the sphere
有限元外演算是指微分形式的有限元方法的发展，将标量场和向量场的几个早期有限元空间推广到任意维数$n$、任意多项式次数$r$和任意微分形式次数$k$。有限元外演算的研究始于单纯三角剖分上的有限元空间的$\mathcal P_rΛ^k$和$\mathcal P_r^-Λ^k$族。在这些空间的发展中，Arnold、Falk和Winther依赖于$\mathcal P_rΛ^k$和$\mathring{\mathcal P}_{r+k+1}^-Λ^{n-k}$以及$\mathcal P_r^-Λ^k$和$\mathring{\mathcal P}_{r+k}Λ^{n-k}$之间的对偶关系。在这篇文章中，我们表明，这种对偶关系是，在本质上，霍奇对偶的微分形式的标准$n$球，伪装的坐标变化。我们去除伪装，给出明确的对应关系之间的$\mathcal P_rΛ^k$，$\mathcal P_r^-Λ^k$，$\mathring{\mathcal P}_rΛ^k$和$\mathring{\mathcal P}_r^-Λ^k$空间和空间的微分形式的领域。作为直接推论，我们得到了$\mathcal P_rΛ^k$和$\mathring{\mathcal P}_{r+k+1}^-Λ^{n-k}$之间以及$\mathcal P_r^-Λ^k$和$\mathring{\mathcal P}_{r+k}Λ^{n…
2021-01-23 cs.NA math.DG math.NA
Duality in finite element exterior calculus
本文提出了一种新的构造方法，用于有限元空间中的微分形式，通过修改的霍奇星算子提供了一个新的基础无关证明，展示了P和P^-空间之间的对偶关系。
2018-06-30 cs.NA math.DG math.NA
Fat Triangulations and Differential Geometry
我们研究了微分几何的后果，我们以前的结果脂肪三角剖分的存在性，结合Cheeger，Müller和Schrader的结果，关于光滑黎曼流形的分段平坦逼近的Lipschitz-Killing曲率的收敛性。给出了流形间拟共形映射存在性的进一步应用，以及将三角剖分结果推广到几乎黎曼流形的情形。此外，探讨了三角剖分的胖度概念及其与度量曲率和多余度的关系。此外，应用程序的主要结果，特别是一个纯粹的度量方法Regge演算，也进行了研究。
2011-08-17 cs.GR math.DG
The exterior derivative and the mean value equality in $\mathbb{R}^n$
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC), Universidade de São Paulo (USP)（圣保罗大学数学与计算科学学院）；Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC), Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)（坎皮纳斯州立大学数学、统计与科学计算研究所）
本文从外导数的视角重新审视向量微积分与分析的经典结果，推导出适用于微分$k$-形式的高维平均值定理，并提出无需网格离散化即可计算外导数的算法。
2026-03-24 cs.NA math.DG math.NA
Distributional Hessian and divdiv complexes on triangulation and cohomology
本文在 2D 和 3D 三角剖分上构造了 Hessian 和 divdiv 复形的离散版本，推广了 Whitney 形式与 Regge 有限元，并证明其上同调同构于连续版本及带系数的 de Rham 上同调。
2023-11-27 cs.NA math.DG math.NA
Parallelisation of Discrete Exterior Calculus via Representation Theory on Curved and Three-Dimensional Meshes
Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西联邦农村伯南布哥大学）
该研究为对称网格上的离散外微积分算子建立块对角化框架，利用群作用证明算子等变性，实现并行求解，适用于弯曲流形，通过实验验证其在不同网格上的有效性，降低了结构保持DEC计算的线性求解成本。
2026-07-29 cs.NA math.DG math.NA
Geometric variational crimes: Hilbert complexes, finite element exterior calculus, and problems on hypersurfaces
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）
本文建立了一个抽象希尔伯特复形中变分犯罪的分析框架，并将其应用于超曲面上的有限元外微积分，推广了Arnold、Falk和Winther的工作，恢复了Dziuk和Demlow的先验估计，并推广到任意维超曲面上的混合有限元方法。
2011-09-13 cs.NA math.DG math.FA
Discrete calculus with cubic cells on discrete manifolds
本文提出适用于离散流形、基于立方单元的离散外微积分（DEC）表述，并通过离散环面示例验证其可恢复 Gauss 与 Stokes 定理。
2024-01-22 cs.DM math.DG
