Hausdorff dimension of pinned distance sets and the $L^2$-method
证明了对任意$E\subset{\Bbb R}^2$，$\dim_{\mathcal{H}}(E)>1$，存在$x\in E$使得固定距离集$$Δ_x(E)=\{|x-y|: y \in E\}$$的豪斯多夫维数不小于$\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}, 1\right\}$ .这回答了Guth、Iosevich、Ou和Wang最近提出的一个问题，改进了Keleti和Shmerkin的结果。(This版本已经发布在Proceeding AMS上，所以我想保持不变。然而，作为定理1.1的第二部分的摘要中的陈述应该被稍微削弱为：对于任何$ε>0$，存在$x\in E$使得$Δ_x(E)$的豪斯多夫维数至少为$\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}-ε, 1\right\}$，并且它意味着距离集$Δ(E)=\{|x-y|:x,y\in E\}$的豪斯多夫维数至少为$\min\left\{\frac{4}{3}\dim_{\mathcal{H}}(E)-\frac{2}{3}, 1\right\}$。定理1.1的证明和第一部分没有问题。我为自己的草率道歉，并感谢Yumeng Ou指出这一点。
2019-11-05 math.CA math.CO math.MG
Pinned distance problem, slicing measures and local smoothing estimates
我们改进了Peres-Schlag关于给定Hausdorff维数集合中钉扎距离的结果。特别地，对于欧氏距离，利用$$Δ^y(E) = \{|x-y|:x\in E\},$$，我们证明了对于任何$E, F\subset{\Bbb R}^d$，存在概率测度$μ_F$在$F$上，使得对于$μ_F$ -a.e. $y\in F$，（1）如果$\dim_{\mathcal H}(E) + \frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d - 1 + β$，则为$\dim_{\mathcal H}(Δ^y(E))\geqβ$;（2）如果$\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d$，则$Δ^y(E)$具有正Lebesgue测度;（3）如果$\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F) > d+1$，则$Δ^y(E)$具有非空内部。我们还表明，在这种情况下，当$\dim_{\mathcal H}(E)+\frac{d-1}{d+1}\dim_{\mathcal H}(F)>d$，对于$μ_F$ -a.e. $y\in F$、$$ \left\{t\in{\Bbb R} : \dim_{\mathcal H}(\{x\in …
2017-06-29 math.CA math.CO math.MG
Pinned distance sets, k-simplices, Wolff's exponent in finite fields and sum-product estimates
在有限域上的向量空间中的Falconer距离问题的一个模拟要求阈值$α>0$，使得当$|E| \gtrsim q^α$时，$|Δ(E)| \gtrsim q$，其中$E \subset {\Bbb F}_q^d$，具有$q$元素（不一定是素数）的有限域上的$d$维向量空间。这里是$Δ(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x,y \in E\}$。在二维空间中，我们将已知的指数改进为$\tfrac{4}{3}$，与Wolff在欧氏空间中得到的相应指数一致。在欧几里德设置中研究了引脚$y\in E$的引脚距离集$Δ_y(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x\in E\}$。Peres和Schlag证明，如果一个集合$E$的Hausdorff维数大于$\tfrac{d+1}{2}$，那么$Δ_y(E)$的Lebesgue测度几乎对每个引脚$y$都是正的。本文在有限域上得到了类似的结果。此外，同样的结果被证明是真的固定点积集$Π_y(E)=\{x\cdot y: x\in E\}$。在集合$E$具有叉积结构的附加假设下，我们将距离和点积的固定阈值改进为$\frac{d^2}{2d-1}$。Falconer距离问题的推广是确定最小$α>0$，使得$E$包含每个$k$维单形的全等副本，无论何时$|E| \gtrs…
2009-03-26 math.CA math.CO
Pinned distance sets, Wolff's exponent in finite fields and improved sum-product estimates
在有限域上的向量空间中的Falconer距离问题的一个类似物要求阈值$α>0$，使得当$|E| \gtrsim q^α$时，$|Δ(E)| \gtrsim q$，其中$E \subset {\Bbb F}_q^d$，有限域上的$d$维向量空间，具有$q$元素（不一定是素数）。这里是$Δ(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x,y \in E\}$。第二个列出的作者和Misha Rudnev建立了阈值$\frac{d+1}{2}$，本文的作者Doowon Koh和Misha Rudnev证明了这个指数在偶数维中是尖锐的。本文在$E$具有乘积结构的假设下，将阈值改进为$\frac{d^2}{2d-1}$。特别地，我们得到了4/3的指数，与Wolff在欧氏空间中得到的相应指数一致。
2007-11-28 math.CA math.CO
From weighted paraboloid restriction to $k$-stars and distance graphs
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Brown University（布朗大学）
研究与\(\mathbb{R}^n\)紧子集相关的固定k星距离集，通过重新表述联系、简化估计得到维数阈值，利用图构建机制改进相关图配置的正测度阈值，还证明了k星的非空内部结果，特殊情况\(k = 1\)时改进了固定非空内部阈值。
2026-07-14 math.CA math.CO
Pinned distances of planar sets with low dimension
本文研究低维平面集的钉距集合，给出其豪斯多夫维数的改进下界，并证明弱正则及紧致Ahlfors-David正则集存在小通用集，使得钉距维数达到最小值。
2025-03-28 math.CA math.LO
Nonempty interior of pinned distance and tree sets
Brown University（布朗大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
研究紧致集\(E\subset\mathbb{R}^d\)的 pinned 距离集\(\Delta^{y}(E)\)，在平面上得到非平凡阈值改进\(d = 3\)时的结果，还用新归纳论证将结果扩展到树集，给出首个此类研究成果。
2026-07-17 math.CA
Dimension of Pinned Distance Sets for Semi-Regular Sets
本文研究平面解析集合的固定点距离集维数下界，利用豪斯多夫维数与填充维数的关系，在多种条件下证明距离集具有较高或满维数，改进并推广了现有结果。
2023-09-21 math.CA math.LO
Distances and Trees in Dense Subsets of $\mathbb{Z}^d$
在\cite{FKW} Katznelson和Weiss建立，所有足够大的距离总是可以达到对点之间的任何给定的可测量子集的$\mathbb{R}^2$的积极上（巴拿赫）密度。Bourgain在\cite{B}中使用傅里叶分析方法给出了该结果的第二个证明，以及更强的“固定变体”。在\cite{M1}第二作者改编Bourgain的傅立叶分析方法建立一个类似于Katznelson和Weiss的结果为子集$\mathbb{Z}^d$提供$d\geq 5$。我们提出了一个新的直接证明这个离散距离集的结果，并推广到任意树。使用适当的离散球面极大函数定理，我们最终建立这些结果的自然“钉扎变量”。
2019-02-06 math.CA math.CO math.NT
New bounds on the dimensions of planar distance sets
证明了平面集的距离集和钉扎距离集的维数的新界。在其他结果中，我们证明了，如果$A\subset\mathbb{R}^2$是一个Borel集的Hausdorff维数$s>1$，那么它的距离集的Hausdorff维数至少为$37/54\approx 0.685$。此外，如果$s\in (1,3/2]$，则在Hausdorff维数至多为$1$的例外$y$的集合之外，固定距离集合$\{ |x-y|:x\in A\}$具有Hausdorff维数$\ge \tfrac{2}{3}s$和至少为$ \tfrac{1}{4}(1+s+\sqrt{3s(2-s)}) \ge 0.933$的填充维数。这些估计改进了Bourgain，Wolff，Peres-Schlag和Iosevich-Liu对Hausdorff维数$>1$的估计.我们的证明使用了测量的多尺度分解，与以前的工作不同，我们能够选择受某些约束的尺度。这导致了一个组合问题，这是我们的方法的一个关键的新成分，我们完全解决了优化某些变化的Lipschitz函数。
2019-04-01 math.CA math.CO math.MG
The generalized Erdos-Falconer distance problems in vector spaces over finite fields
本文研究了有限域上的广义Erdos-Falconer距离问题。用多项式定义了广义距离，得到了各种距离集大小的计算公式。特别是，我们开发了一个简单的公式，估计由对角多项式确定的距离集的基数。因此，我们推广了Iosevich和Rudnev的球面距离问题和Iosevich和Koh的立方距离问题.此外，我们的结果是高维版本的Vu的工作在二维。此外，我们还建立和研究了有限域上的广义钉扎距离问题。我们给出了一个很好的推广最近的一些工作，其中涉及到球面距离的钉扎距离问题进行了研究。离散傅里叶分析和指数和估计在我们的证明中起着重要的作用。
2010-04-22 math.CA
Improved bounds for the dimensions of planar distance sets
我们获得了新的下界的豪斯多夫维数的距离集和钉扎距离集的平面Borel集的尺寸略大于$1$，改善最近的估计凯莱蒂和Shmerkin，刘在这个政权。特别地，我们证明了如果$A$有豪斯多夫维数$>1$，那么$A$的点所跨越的距离集的豪斯多夫维数至少为$40/57 > 0.7$，并且有许多$y\in A$使得固定距离集$\{ |x-y|:x\in A\}$的豪斯多夫维数至少为$29/42$，其下计盒维数至少为$40/57$ .我们使用的方法和许多结果从早期的工作凯莱蒂和Shmerkin，但纳入估计从最近的工作古斯，Iosevich，欧和王作为额外的输入。
2018-11-08 math.CA
Simplices and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
本文证明了Bourgain关于正上密度$\mathbb{R}^2$可测子集上钉扎距离的定理，即[Bourgain，1986]中的定理$1^\prime$，推广到正上密度$\mathbb{R}^{d}$可测子集上钉扎的非退化$k$维单形，只要$d\geq k+2$和$k$是任意正整数.
2017-01-07 math.CA math.CO
New improvement to Falconer distance set problem in higher dimensions
本文改进高维Falconer距离集问题，证明当紧集的Hausdorff维数超过 $\frac{d}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8d+4}$ 时，存在固定点距离集具有正Lebesgue测度，并在更低的维数区间给出改进的Hausdorff维数下界。
2024-10-22 math.CA math.CO math.MG
Approximate orthogonality, Bourgain's pinned distance theorem and exponential frames
设$A$是${\Bbb R}^d$的可数离散子集$d \ge 2$，具有正的上Beurling密度.设$K$表示具有光滑边界和处处非零高斯曲率的有界对称凸集。已知${\mathcal E}(A)=\{e^{2 πi x \cdot a}\}_{a \in A}$不能用作$L^2(K)$ \cite{IKT01}的正交基。在本文中，我们证明了，甚至近似平均正交性是一个障碍，存在的指数框架在以下意义。设$A$如上所述，$ϕ\ge 0$是$[0, \infty)$上的连续单调非增函数，使得近似正交条件成立\begin{align}\notag {\left( \frac{1}{2^j} \int_{2^j}^{2^{j+1}} ϕ^p(t) dt \right)}^{1/p} \leq c_j 2^{-j\frac{d+1}{2}} \quad \text{and} \quad |\widehatχ_K(a-a')| \leq ϕ(ρ^*(a-a')) \ \forall a \not=a , a,a' \in A, \end{align}，其中$ρ^*$是$K^*$上的Minkowski泛函，$K$的对偶体。然后，如果$$\limsup_{j \to \infty} c_j=0,$$，则$A$的上密度等于$0$，因此${\mathcal E}(A)$不是$L^2(K)$的帧。$p=\i…
2023-01-22 math.CA
Pinned Dot Product Set Estimates
本文研究 Falconer 距离问题的点积变体，探讨了特定分形集合的点积投影集合大小，并利用投影理论给出了保证该集合在定量意义下足够大的 Hausdorff 维数下界。
2024-12-23 math.CA math.MG
On Densities in the Erdős-Falconer Distance Problems over the Integers
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出整数格中的Erdős-Falconer距离问题，以离散类比、Falconer问题等为动机，用离散球面平均的ℓᵖ改进不等式研究，其方法在部分场景优于现有结果，或可助力原始固定距离问题。
2026-10-23 math.CA math.CO math.MG
Weighted refined decoupling estimates and application to Falconer distance set problem
本文证明了加权精细分拆估计，并以此给出Falconer距离集问题中关于钉扎距离集正Lebesgue测度结论的另一种证明。
2023-09-08 math.CA math.CO math.MG
On Erdos-Falconer distance problem in even dimensions
研究偶数维的埃尔德什 - 法尔科纳距离问题，通过证明提取定理，将偶数维猜想归结为平面情形，在固定距离问题和三角形分布上得到改进阈值，在素域和任意有限域分别取得新记录。
2026-07-21 math.CA math.CO math.NT
On restricted Falconer distance sets
该研究引入介于经典与固定点型之间的受限型Falconer距离问题，以对角距离集为典型对象，证明满足特定Hausdorff维数条件时其具有非空内部，并将结论推广至近欧氏乘积的$C^ω$黎曼度量情形，核心方法依赖多线性Fourier积分算子估计。
2023-08-23 math.CA
On Fourier decay and the distance set problem
University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）；Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
本文研究欧几里得空间中的Falconer距离集问题，基于傅里叶分析假设改进了维度估计，在d≥5时超越d/2维度阈值，证明了傅里叶维度至少为2的Borel集的距离集具有满Hausdorff维度。
2026-04-21 math.CA math.CO
Improved dimension bounds for Falconer's distance problem in the plane
本文改进了平面Falconer距离问题的维数下界，通过Kolmogorov复杂度与刚性论证得到绝对常数改进及依赖于维数的有理界，并推广到固定距离情形。
2026-11-03 math.CA
