Entropy Transference for Rainbow-$H$-Free Colourings of Random Graphs
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
该研究针对含q≥3条边且有相邻边的固定图H，建立随机图无彩虹H着色的熵转移原理，扩展了随机Gallai着色相变，提供稠密模板熵向稀疏随机宿主转移的通用机制。
2026-08-21 math.CO
Uniformly Random Colourings of Sparse Graphs
本文研究了在$Δ< k\ln k $区域中具有最大度$Δ$的稀疏图的均匀随机真$k$ -染色.该制度对应于随机图着色的破碎阈值的下侧，随机约束满足问题的破碎阈值的一个范例。我们证明了各种结果的解决方案空间的几何形状的着色固定图，推广工作Achlioptas，Coja-Oghlan，和Molloy随机图，并证明了随机局部搜索算法的性能在这个政权。我们的中心证明只依赖于基本的技术，即第一矩方法和定量归纳，但它加强了列表着色结果由于Vu，最近戴维斯，康，P。和Sereni，并概括了国家的最先进的界限，从拉姆齐理论的背景下，稀疏图。它进一步产生了一个近似紧的下界上的着色，也被称为分拆函数的波茨模型，与有效的近似计数的影响。
2023-03-27 cs.DM math.CO
Counting Candy Crush Configurations
一个k-稳定的c-着色Candy Crush网格是一个特殊类型的k-一致超图的弱真c-着色。在本文中，我们介绍了一个完全多项式随机逼近方案（FPRAS）计数的数量k-稳定的c-着色糖果粉碎网格的给定大小（m，n）的某些值的c和k。我们在Matlab上实现了这个算法，发现在一个有7种颜色的Candy Crush网格中，大约有4.3*10^61个3-稳定着色。(Note典型的Candy Crush游戏使用6种颜色，并且我们的FPRAS不能保证在k= 3和c= 6的预期多项式时间内工作。我们还讨论了这个FPRAS的适用性的问题计数的其他更一般的超图的弱c-着色的数量。
2019-08-27 cs.DM math.CO
Multicolour containers, extremal entropy and counting
在突破性的成果中，Saxton-Morrison和Balogh-Morris-Samotij发展了超图容器的强大理论。在本文中，我们探讨了这些理论的一些后果。我们使用一个简单的容器定理的Saxton-Kazason和一个基于熵的框架推导容器和计数定理的遗传性质的k-着色的非常一般的对象，其中包括顶点和边着色的一般超图序列作为特殊情况。在完全图序列的情况下，我们进一步得到了遗传性质的稳定性族和极值熵的刻画和传递结果。这涵盖了一个统一的框架内的各种组合结构，其中一些以前没有通过容器研究：有向图，定向图，比赛，多重图与有界多重和多色图等。特里最近独立地获得了类似的结果。
2018-01-16 math.CO
Counting Complex Disordered States by Efficient Pattern Matching: Chromatic Polynomials and Potts Partition Functions
计数问题，即确定一个大系统在一定约束条件下的可能状态的数量，在许多科学领域中起着重要的作用。在物理学、化学、数学图论和计算机科学中，它们自然地出现在复杂的无序系统中。然而，计数问题是计算上最难解决的问题之一。在这里，我们提出了一种新的方法来访问一个基准计数问题，找到图的色多项式。我们开发了一个面向顶点的符号模式匹配算法，利用色多项式和零温度配分函数的Potts反铁磁体在同一个图之间的等价性。使用适当的计算机代数实现这种自下而上的算法，新方法优于标准的自上而下的方法几个数量级，已经为中等大小的图。作为第一个应用程序，我们计算色多项式的简单立方晶格的样本，第一次计算访问三维晶格的物理相关性。该方法提供了简单的概括其他几个计数问题。
2009-04-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.SC
Multipath matroids, digraph colourings, and the Tutte polynomial
本文刻画了多路构成拟阵的有向图，证明了其Tutte多项式与有向图着色计数相关，并揭示了MP-forests多路上同调去范畴化与Tutte多项式特殊化的关系。
2024-09-22 math.AT math.CO
Counting independent sets via Divide Measure and Conquer method
本文给出了一个计算给定图中所有独立集个数的算法，该算法对次三次图适用于时间$O^*(1.1394^n)$，对一般图适用于时间$O^*(1.2369^n)$，其中$n$是实例图的顶点数，多项式空间.其结果来自于结合两个众所周知的方法“分而治之”和“测量和征服”。我们介绍了这个新概念的划分，测量和征服方法，并期望它会发现在其他问题的应用。Björklund，Husfeldt和Koivisto的图着色算法，用我们的算法作为子程序，其复杂度为$O^*(2.2369^n)$，是目前多项式空间中最快的图着色算法。
2015-03-28 cs.DM math.CO
Counting monochromatic copies of K_4: a new lower bound for the Ramsey multiplicity problem
用k_4（n）表示K_4的边的2-着色中K_4的最小单色拷贝数，设c_4：= lim k_4（n）/ \binom{n}{4} .到目前为止，最著名的界限是由格里森给出的，他证明了c_4 < 1/33 \approx 0.0303，而Giraud证明了c_4 > 1/46 \approx 0.0217。本文证明了新的下界c_4 > 204603019 / 7112448000 > 0.0287。
2012-07-19 math.CO
On a conjecture of Mohar concerning Kempe equivalence of regular graphs
设$G$是一个顶点着色为$α$的图.设$a$和$b$为两种颜色。则由着色为$a$或$b$的顶点所诱导的子图的连通分支称为Kempe链。从$α$通过交换肯普链的顶点上的颜色而获得的$G$的着色被称为通过肯普变换而获得。$G$的两种颜色是肯普等价的，如果一种可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar（2007）的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的。后来证明，所有的$3$ -染色的三次图，既不是$K_4$也不是三棱柱是肯普等价的。在本文中，我们证明了猜想成立的每个$k\geq 4$。我们还报告的影响，这一结果的有效性的Wang-Swendsen-Koteckstrom算法的反铁磁Potts模型在零温度。
2016-09-22 cs.DM math.CO
Colouring locally sparse graphs with the first moment method
给出了最大度$Δ$的图$G$的列表色数的一个界的一个简短证明，其中每个邻域的密度至多为$d$，即$χ_\ell(G) \le (1+o(1)) \fracΔ{\ln \fracΔ{d+1}}$为$\fracΔ{d+1} \to \infty$ .这个界限紧到一个渐近因子$2$，这是最好的可能，除非在拉姆齐理论的突破，并加强了由于Vu的结果，最近戴维斯，P.，康和塞雷尼我们的证明依赖于第一时刻的方法，并适应了一个聪明的计数罗森菲尔德在非重复着色的背景下开发的参数。作为最后的接触，我们表明，我们的方法提供了一个渐近紧的局部稀疏图的着色数的下界。
2021-11-25 cs.DM math.CO
Counting homomorphisms in antiferromagnetic graphs via Lorentzian polynomials
该研究利用洛伦兹多项式理论与二分图列表着色的对数凹性，证明了两类反铁磁图同态不等式，推进了Zhao的$q$-着色猜想及Sah--Sawhney--Stoner--Zhao相关猜想的研究。
2025-06-17 math.CO
Approximating the partition function of the ferromagnetic Potts model
我们提供的证据表明，它是计算上难以近似的铁磁q态Potts模型的配分函数时，q>2。具体来说，我们证明了分区函数是困难的复杂性类#RHPi_1下近似保持约简。因此，它是很难近似的分区函数，因为它是找到近似的解决方案，以广泛的计数问题，包括确定的数目，独立集在一个二分图。我们的证明利用了“随机簇”模型的一阶相变，这是一个概率分布图，是密切相关的q状态波茨模型。
2012-06-30 cs.CC math.CO
On zero-free regions for the anti-ferromagnetic Potts model on bounded-degree graphs
对于图$G=(V,E)$、$k\in \mathbb{N}$和复数$w$，单变量Potts模型的配分函数定义为\[ {\bf Z}(G;k,w):=\sum_{ϕ:V\to [k]}\prod_{\substack{uv\in E \\ ϕ(u)=ϕ(v)}}w, \]，其中$[k]:=\{1,\ldots,k\}$。本文给出了有界度图上反铁磁Potts模型配分函数的无零区域。特别是，我们表明，对于任何$Δ\in \mathbb{N}$和任何$k\geq eΔ+1$，存在一个开集$U$在复平面中，包含的间隔$[0,1)$，使${\bf Z}(G;k,w)\neq 0$的任何$w\in U$和任何图形$G$的最大程度在最多$Δ$。(Here $e$表示自然对数的底。）对于较小的$Δ$值，我们能够给出更好的结果。作为我们的研究结果的应用，我们得到了改进的$k$上的界的存在的确定性近似算法计数正确的$k$染色的小的最大程度的图的数量。
2021-04-05 cs.DM cs.DS math-ph
List colouring of graphs and generalized Dyck paths
卡塔兰数出现在组合数学中的各种计数问题中。本文揭示了图的Catalan数与列表着色之间的联系。假设$G$是一个图，$f:V(G) \to N$是一个映射。对于一个非负整数$m$，令$f^{(m)}$是$f$到图$ G \diamondplus \overline{K_m}$的扩张，其中对于$\overline{K_m}$的每个顶点$v$，有$f^{(m)}(v)=|V(G)|$。令$m_c(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可选择的，并且$m_p(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可绘制的。研究了任意映射$f$的参数$m_c(K_n, f)$和$m_p(K_n,f)$。对于$\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，在$(a, b)$处结束的$\vec{x}$支配路径是$a \times b$网格的从$(0,0)$到$(a,b)$的单调路径$P$，使得$P$上的每个顶点$(i,j)$满足$i \le x_{j+1}$。令$ψ(\vec{x})$为以$(x_n,n)$结束的$\vec{x}$支配路径的数目。根据这个定义，加泰罗尼亚数$C_n$等于$ ψ((0,1, \ldots, n-1)) $。本文证明了若…
2017-11-08 math.CO
Some variants of the exponential formula, with application to the multivariate Tutte polynomial (alias Potts model)
我们证明了一些变种的指数公式，并将其应用到多变量Tutte多项式（也称为Potts模型分拆函数）的图形。我们还证明了多元Tutte多项式的一些进一步的身份，推广了一个身份的计数连通图发现Riordan，Nijenhuis，Wilf和Kreweras和更一般的形式由Leroux和Gessel，和一个身份的反转计数器的树发现Mallow，Riordan和Kreweras。最后，我们证明了Mobius逆在分划格上的推广。
2009-02-17 math-ph math.CO math.MP
Efficient algorithms for the Potts model on small-set expanders
本文针对小集扩张图上的铁磁 Potts 模型，提出一种近似算法，通过高效寻找伪基态并围绕其探索状态空间，解决低温问题在典型实例上的计算可行性。
2024-02-05 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate counting using Taylor's theorem: a survey
在这篇文章中，我们考虑一些著名的多项式与图，包括独立多项式和色多项式。这些多项式计算图中的某些对象：独立多项式情况下的独立集和色多项式情况下的适当着色。在统计物理学中，它们也被解释为配分函数。（近似）计算这些类型的多项式的算法问题已经研究了近50年，特别是使用马尔可夫链技术。大约八年前，Barvinok基于泰勒定理设计了一种新的算法方法来计算某些矩阵的永久性，并且该方法从那时起已应用于各种图形多项式。这篇文章的目的是作为一个温和的介绍的方法，以及相关的技术和结果的部分调查。
2022-12-15 cs.DM cs.DS math.CO
Homomorphism counting for immersion-closed classes is not isomorphism
Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；Millennium Nucleus for Social Data Science (SODAS)（社会数据科学千年核心）；University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Alaska Fairbanks（阿拉斯加费尔班克斯大学）
本文证明了对于任何proper immersion闭的图类M，存在非同构的图G和H，其同构计数在M上无法区分。
2026-02-14 math.CO
Deterministic approximate counting of colorings with fewer than $2Δ$ colors via absence of zeros
Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文提出了一种确定性算法，用于近似计数少于2Δ种颜色的图着色，通过避免零点并改进了先前结果。
2026-01-12 cs.DM cs.DS math.CO
Algorithms for #BIS-hard problems on expander graphs
我们给出了有界度二部膨胀图上的高逸度硬核模型和有界度膨胀图上的低温铁磁Potts模型的FPTAS和有效的采样算法。结果适用于，例如，随机（二分）$Δ$ -定期图，其中没有有效的算法已知这些问题（与伊辛模型除外）在非唯一性制度的无限$Δ$ -定期树。我们还找到了有效的计数和采样算法，适当的$q$ -随机$Δ$ -正则二部图的着色时，$q$是足够小的函数$Δ$。
2020-03-23 cs.DS math.CO math.PR
Correlation decay and partition function zeros: Algorithms and phase transitions
我们探讨了关联衰减现象与各种自旋系统的李杨和费舍尔零点的位置之间的联系。特别是，我们表明，在许多情况下，证明表明，弱空间混合的贝特格（无限$Δ$ -经常树）意味着强空间混合的所有图形的最大程度$Δ$可以提升到复杂的平面，建立零的情况下，在一个复杂的邻域内的参数空间中的区域相对应的强空间混合的相关分区函数。这使我们能够给出统一的证明最近的几个结果，这类，包括决议彼得斯和Regts的索卡尔猜想的分配功能的硬核晶格气。它也使我们能够证明新的结果的位置的李杨零点的反铁磁伊辛模型。我们进一步表明，我们的方法扩展到的情况下，弱空间混合的Bethe格是不知道是等价于强空间混合的所有图形。特别是，我们表明，在反铁磁Potts模型中的强空间混合的结果可以提升到复杂的平面，给新的零自由度的结果相关联的配分函数。这个扩展使我们能够给第一个确定性的FPTAS计数的$q$ -着色的最大程度$Δ$图只提供了$q\ge 2Δ$。这符合自然界的随机算法得到一个简单的应用马尔可夫链蒙特卡罗。我们也给出了一个改进的版本，这个结果的三角形自由图。
2022-03-30 cond-mat.stat-mech cs.CC cs.DM
