Counting cocircuits and convex two-colourings is #P-complete
Andrew J. Goodall, Steven D. Noble
证明了最多只有两种颜色的图的顶点的着色数的计数问题是P-完全的。我们还表明，密切相关的问题，计数的数量上电路的一个图是P-完全的。
We prove that the problem of counting the number of colourings of the vertices of a graph with at most two colours, such that the colour classes induce connected subgraphs is #P-complete. We also show that the closely related problem of counting the number of cocircuits of a graph is #P-complete.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A complexity trichotomy for approximately counting list H-colourings
本文研究了图的H-着色列表的近似计数的计算复杂性。我们发现了一个基于图H的结构的自然的图论可割性。如果H是非自反二部图或自反完全图，则列表H-着色的计数是在多项式时间内平凡的.另外，若H是非自反二部置换图或自反真区间图，则列表H-着色的近似计数等价于二部图中独立集的近似计数问题#BIS。这是一个研究得很好的问题，被认为是中等复杂性-据信，它没有一个FPRAS，但它并不像近似最困难的计数问题在#P.对于每一个其他图H，近似计数列表H-着色是完整的#P关于近似保持减少（所以没有FPRAS，除非NP=RP）。该图的两个令人满意的特征是：（i）它在遗传图类方面有一个自然的公式，（ii）证明在很大程度上是自包含的，不需要任何泛代数（不像加权情况下的类似二分法）。我们能够将硬度结果扩展到有界度设置，表明所有硬度结果都适用于最大度至多为6的输入图。
Counting perfect colourings of plane regular tilings
研究周期性和非周期性图案的颜色对称性的第一步是确定允许所考虑的图案的完美着色的颜色的数量。完美的着色是指未着色图案的每一种对称性都导致颜色的整体排列。有两种情况：要么是关于所有对称性的完美着色，要么是关于仅保持对称性的方向（没有反射）。对于重要的一类染色的经常平铺（和一些Laves平铺）的欧几里德或双曲平面，这主要是组合的问题是解决这里使用群论方法。
Counting proper colourings in 4-regular graphs via the Potts model
给出了$q\ge 5$正则图上反铁磁$q$态Potts模型中每个粒子内能的严格上下界。这证明了第一种情况下的一个猜想的作者，帕金斯，詹森和罗伯茨对他们的方法的扩展，并意味着紧边界上的反铁磁波茨分拆函数。零温度极限给出了$4$ -正则图的$q$ -染色数的上、下界，几乎证明了Galvin和Tetali猜想的$d=4$情形.对任何$q \ge 5$，证明了$4$ -正则图的正确$q$ -着色数是由$K_{4,4}$的并最大化的.
Exponentially Many Correspondence Colourings of Planar and Locally Planar Graphs
本文证明平面图具有指数多个5-对应着色，证实Langhede-Thomassen猜想，并提出利用临界图双曲性推导平面图着色数下界的一般方法，推广到局部平面图及围长至少五的3-对应着色情形。
Counting Candy Crush Configurations
一个k-稳定的c-着色Candy Crush网格是一个特殊类型的k-一致超图的弱真c-着色。在本文中，我们介绍了一个完全多项式随机逼近方案（FPRAS）计数的数量k-稳定的c-着色糖果粉碎网格的给定大小（m，n）的某些值的c和k。我们在Matlab上实现了这个算法，发现在一个有7种颜色的Candy Crush网格中，大约有4.3*10^61个3-稳定着色。(Note典型的Candy Crush游戏使用6种颜色，并且我们的FPRAS不能保证在k= 3和c= 6的预期多项式时间内工作。我们还讨论了这个FPRAS的适用性的问题计数的其他更一般的超图的弱c-着色的数量。
Entropy Transference for Rainbow-$H$-Free Colourings of Random Graphs
该研究针对含q≥3条边且有相邻边的固定图H，建立随机图无彩虹H着色的熵转移原理，扩展了随机Gallai着色相变，提供稠密模板熵向稀疏随机宿主转移的通用机制。
Multipath matroids, digraph colourings, and the Tutte polynomial
本文刻画了多路构成拟阵的有向图，证明了其Tutte多项式与有向图着色计数相关，并揭示了MP-forests多路上同调去范畴化与Tutte多项式特殊化的关系。
Counting independent sets via Divide Measure and Conquer method
本文给出了一个计算给定图中所有独立集个数的算法，该算法对次三次图适用于时间$O^*(1.1394^n)$，对一般图适用于时间$O^*(1.2369^n)$，其中$n$是实例图的顶点数，多项式空间.其结果来自于结合两个众所周知的方法“分而治之”和“测量和征服”。我们介绍了这个新概念的划分，测量和征服方法，并期望它会发现在其他问题的应用。Björklund，Husfeldt和Koivisto的图着色算法，用我们的算法作为子程序，其复杂度为$O^*(2.2369^n)$，是目前多项式空间中最快的图着色算法。
Uniformly Random Colourings of Sparse Graphs
本文研究了在$Δ< k\ln k $区域中具有最大度$Δ$的稀疏图的均匀随机真$k$ -染色.该制度对应于随机图着色的破碎阈值的下侧，随机约束满足问题的破碎阈值的一个范例。我们证明了各种结果的解决方案空间的几何形状的着色固定图，推广工作Achlioptas，Coja-Oghlan，和Molloy随机图，并证明了随机局部搜索算法的性能在这个政权。我们的中心证明只依赖于基本的技术，即第一矩方法和定量归纳，但它加强了列表着色结果由于Vu，最近戴维斯，康，P。和Sereni，并概括了国家的最先进的界限，从拉姆齐理论的背景下，稀疏图。它进一步产生了一个近似紧的下界上的着色，也被称为分拆函数的波茨模型，与有效的近似计数的影响。
Colouring locally sparse graphs with the first moment method
给出了最大度$Δ$的图$G$的列表色数的一个界的一个简短证明，其中每个邻域的密度至多为$d$，即$χ_\ell(G) \le (1+o(1)) \fracΔ{\ln \fracΔ{d+1}}$为$\fracΔ{d+1} \to \infty$ .这个界限紧到一个渐近因子$2$，这是最好的可能，除非在拉姆齐理论的突破，并加强了由于Vu的结果，最近戴维斯，P.，康和塞雷尼我们的证明依赖于第一时刻的方法，并适应了一个聪明的计数罗森菲尔德在非重复着色的背景下开发的参数。作为最后的接触，我们表明，我们的方法提供了一个渐近紧的局部稀疏图的着色数的下界。
Multicolour containers, extremal entropy and counting
在突破性的成果中，Saxton-Morrison和Balogh-Morris-Samotij发展了超图容器的强大理论。在本文中，我们探讨了这些理论的一些后果。我们使用一个简单的容器定理的Saxton-Kazason和一个基于熵的框架推导容器和计数定理的遗传性质的k-着色的非常一般的对象，其中包括顶点和边着色的一般超图序列作为特殊情况。在完全图序列的情况下，我们进一步得到了遗传性质的稳定性族和极值熵的刻画和传递结果。这涵盖了一个统一的框架内的各种组合结构，其中一些以前没有通过容器研究：有向图，定向图，比赛，多重图与有界多重和多色图等。特里最近独立地获得了类似的结果。
Bravais colourings of planar modules with N-fold symmetry
第一步，在调查颜色对称性的周期性和非周期性的系统是确定所有的着色方案，是兼容的对称群的基础结构，或与一个子群it.For一类重要的着色平面结构，这主要是组合问题可以解决的方法代数数论。我们提出了相应的结果，所有平面模的N重对称出现的整数环的分圆域与类数1。计数函数是乘性的，可以封装在狄利克雷级数母函数中，它是相应分圆域的戴德金ζ函数.
Counting monochromatic copies of K_4: a new lower bound for the Ramsey multiplicity problem
用k_4（n）表示K_4的边的2-着色中K_4的最小单色拷贝数，设c_4：= lim k_4（n）/ \binom{n}{4} .到目前为止，最著名的界限是由格里森给出的，他证明了c_4 < 1/33 \approx 0.0303，而Giraud证明了c_4 > 1/46 \approx 0.0217。本文证明了新的下界c_4 > 204603019 / 7112448000 > 0.0287。
Counting homomorphisms in antiferromagnetic graphs via Lorentzian polynomials
该研究利用洛伦兹多项式理论与二分图列表着色的对数凹性，证明了两类反铁磁图同态不等式，推进了Zhao的$q$-着色猜想及Sah--Sawhney--Stoner--Zhao相关猜想的研究。
Counting coloured planar maps: differential equations
本文研究按边数和单色边数计数的 q-着色平面地图，证明其生成函数满足关于边变量的多项式微分方程，并给出显式微分系统，同时将结果推广到平面三角剖分，从而在随机平面格点上求解 q-态 Potts 模型。
List colouring of graphs and generalized Dyck paths
卡塔兰数出现在组合数学中的各种计数问题中。本文揭示了图的Catalan数与列表着色之间的联系。假设$G$是一个图，$f:V(G) \to N$是一个映射。对于一个非负整数$m$，令$f^{(m)}$是$f$到图$ G \diamondplus \overline{K_m}$的扩张，其中对于$\overline{K_m}$的每个顶点$v$，有$f^{(m)}(v)=|V(G)|$。令$m_c(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可选择的，并且$m_p(G,f)$为最小$m$，使得$ G \diamondplus \overline{K_m}$不是$f^{(m)}$可绘制的。研究了任意映射$f$的参数$m_c(K_n, f)$和$m_p(K_n,f)$。对于$\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，在$(a, b)$处结束的$\vec{x}$支配路径是$a \times b$网格的从$(0,0)$到$(a,b)$的单调路径$P$，使得$P$上的每个顶点$(i,j)$满足$i \le x_{j+1}$。令$ψ(\vec{x})$为以$(x_n,n)$结束的$\vec{x}$支配路径的数目。根据这个定义，加泰罗尼亚数$C_n$等于$ ψ((0,1, \ldots, n-1)) $。本文证明了若…
Approximate counting using Taylor's theorem: a survey
在这篇文章中，我们考虑一些著名的多项式与图，包括独立多项式和色多项式。这些多项式计算图中的某些对象：独立多项式情况下的独立集和色多项式情况下的适当着色。在统计物理学中，它们也被解释为配分函数。（近似）计算这些类型的多项式的算法问题已经研究了近50年，特别是使用马尔可夫链技术。大约八年前，Barvinok基于泰勒定理设计了一种新的算法方法来计算某些矩阵的永久性，并且该方法从那时起已应用于各种图形多项式。这篇文章的目的是作为一个温和的介绍的方法，以及相关的技术和结果的部分调查。
Homomorphism counting for immersion-closed classes is not isomorphism
本文证明了对于任何proper immersion闭的图类M，存在非同构的图G和H，其同构计数在M上无法区分。
Graph Puzzles III.1: A Proof of Sabidussi's Compatibility Conjecture
对有限连通多重图\(G\)，在其顶点度数为偶数且最小度数至少为\(4\)时，证明其边可按特定规则划分为回路，并能四着色，每条边的颜色对及对应子图满足一定条件，同时给出Lean 4形式化证明。
Logarithmic Weisfeiler-Leman Identifies All Planar Graphs
Weisfeiler-Leman（WL）算法是一种著名的用于检测图的对称性的组合方法，它被广泛地用于图同构测试。它通过迭代地细化顶点元组的着色来进行。获得最终输出所需的迭代次数对于算法的并行性至关重要。我们证明了存在一个常数k，使得每个平面图都可以通过k维WL算法在对数迭代次数内识别（即，与每个非同构图区分开）。这推广了Verbitsky（STACS 2007）的一个结果，他证明了3-连通平面图的相同结果。k维WL算法识别图所需的迭代次数对应于在具有计数量词的一阶逻辑的（k+1）变量片段C^{k+1}中定义图的句子的量词深度。因此，我们的结果意味着每个平面图都可以用对数量词深度的C^{k+1}-语句来定义。
Inapproximability of the Tutte polynomial of a planar graph
图G的Tutte多项式是一个二元多项式T（G;x，y），它编码了图的许多有趣的性质。我们研究以下问题的复杂性，对于有理数x和y：给定一个平面图G作为输入，确定T（G;x，y）。Vertigan完全映射了精确计算平面图的Tutte多项式的复杂性。他表明，这个问题可以解决在多项式时间，如果（x，y）是在双曲线H_q由（x-1）（y-1）=q为q=1或q=2或如果（x，y）是其中的两个特殊点（x，y）=（-1，-1）或（x，y）=（1，1）。否则，问题就是#P-hard。在本文中，我们考虑的问题，近似T（G;x，y），在通常意义上的“完全多项式随机逼近计划”或FPRAS。粗略地说，要求FPRAS在多项式时间内以高概率产生具有小的相对误差的答案。假设NP是不同的RP，我们表明，有没有FPRAS的Tutte多项式在很大一部分的（x，y）平面。特别地，如果x>1，y <-1 or if y>1，x<-1或者如果x<0，y <0 and q>5，则不存在FPRAS。此外，如果x<1，y<1且q=3，则不存在FPRAS。对于q>5，我们的结果是有趣的，因为它表明对于任何正的n，在（x，y）=（1-q/（1+ n），-n）处不存在FPRAS，但它留下了极限点n =0，这对应于近似计数平面图的q-着色。
On zero-free regions for the anti-ferromagnetic Potts model on bounded-degree graphs
对于图$G=(V,E)$、$k\in \mathbb{N}$和复数$w$，单变量Potts模型的配分函数定义为\[ {\bf Z}(G;k,w):=\sum_{ϕ:V\to [k]}\prod_{\substack{uv\in E \\ ϕ(u)=ϕ(v)}}w, \]，其中$[k]:=\{1,\ldots,k\}$。本文给出了有界度图上反铁磁Potts模型配分函数的无零区域。特别是，我们表明，对于任何$Δ\in \mathbb{N}$和任何$k\geq eΔ+1$，存在一个开集$U$在复平面中，包含的间隔$[0,1)$，使${\bf Z}(G;k,w)\neq 0$的任何$w\in U$和任何图形$G$的最大程度在最多$Δ$。(Here $e$表示自然对数的底。）对于较小的$Δ$值，我们能够给出更好的结果。作为我们的研究结果的应用，我们得到了改进的$k$上的界的存在的确定性近似算法计数正确的$k$染色的小的最大程度的图的数量。
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