Unlikely intersections in products of families of elliptic curves and the multiplicative group
令$E_λ$为方程$Y^2=X(X-1)(X-λ)$的勒让德椭圆曲线。我们最近证明了，给定$n$上的线性无关点$P_1(λ), \dots,P_n(λ)$，其坐标在$\bar{\mathbb{Q}(λ)}$中，至多有1000个复数$λ_0$使得点$P_1(λ_0), \dots,P_n(λ_0)$满足$E_{λ_0}$上的两个独立关系.在这篇文章中，我们继续我们的调查不可能相交的家庭的交换品种，并考虑的情况下，在产品的两个非等距族的椭圆曲线和家庭的分裂半交换品种的曲线。
2017-03-02 math.AG math.NT
Unlikely Intersections with Bruhat Strata
设$\mathcal{A}_{g}$是$\mathbb{Z}$上$g$维主极化阿贝尔簇的模空间，$\mathcal{T} \subset \mathcal{A}_{g}$是一个闭轨迹，也定义在$\mathbb{Z}$上.出于不太可能的交叉构造，我们研究了交叉点的$\mathcal{T}_{\mathbb{F}_{p}}$与布鲁哈特层在$\mathcal{A}_{g,\mathbb{F}_{p}}$作为$p$ -变化，这些层的特点是存在一定的子群计划内的$p$ -扭转的纤维。我们发现，远离一组有限的素数，正维的“不太可能”交叉的$\mathcal{T}_{\mathbb{F}_{p}}$与这样的地层都占交叉的$\mathcal{T}$与特殊位点内$\mathcal{A}_{g}$。这一结果推广到所有阿贝尔型志村品种，并配备一定motivic数据的霍奇结构的变化。此外，它给出了另一个例子，如何功能超越原则的特征零可以用来研究不可能的交叉点的积极特征，作者最近的工作的基础上。
2022-09-22 math.AG math.NT
Likely and unlikely ramification of algebraic points on curves
University of Washington（华盛顿大学）；Brown University（布朗大学）
本文研究曲线上任意次数闭点的算术性质，证明秩0无点曲线对足够大素数ℓ仅含有限个循环ℓ次点，提出介于两个著名猜想间的中间猜想并推导相关结果。
2026-10-14 math.NT
On compatibility between isogenies and polarisations of abelian varieties
我们讨论的概念极化同源的阿贝尔簇，也就是说，同源兼容给定的主极化。这是出于志村品种不太可能的交叉问题。我们的目的是表明，某些问题的极化同质异能素可以减少到非极化同质异能素的问题，反之亦然。我们的主要定理涉及到与固定的阿贝尔簇A同构的阿贝尔簇B。它建立了存在一个极化的Issues A到B的次数是多项式有界的n，如果存在一个非极化Issues A到B的次数n和一个极化Issues A到B的未知程度。作为进一步的结果，我们证明了任何两个主极化阿贝尔簇由一个非极化等距线联系，在它们的四次方之间存在一个极化等距线。这两个定理的证明涉及计算的自同态代数的阿贝尔簇，使用阿尔伯特分类这些自同态代数和分类的厄米特形式划分代数。
2016-03-18 math.NT
Admissible pairs and $p$-adic Hodge structures III: Variation and unlikely intersection
本文扩展了II部分中关于可接受对和$p$-adic Hodge结构的相对理论，允许在$\mathbb{Q}_p$-向量空间和isocrystals的底层局部系统中变化，研究由此产生的覆盖及其周期映射，并提出Ax-Schanuel猜想以改进Ax-Lindemann定理。
2026-03-23 math.NT
Newton polygon stratification of the Torelli locus in PEL-type Shimura varieties
我们研究了交叉的Torelli轨迹与牛顿多边形分层的模$p$减少某些PEL型志村品种。我们开发了一个离合器的方法来证明开放的Torelli轨迹与一些牛顿多边形地层的交集是非空的。这使我们能够给出一个积极的答案，在一定的兼容性条件下，奥尔特关于平滑曲线的特点$p$的牛顿多边形是一个合并和的问题。作为一个应用程序，我们产生无穷多个新的例子牛顿多边形发生的平滑曲线是循环覆盖的投影线。其中大多数出现在归纳系统，表现出不太可能的交叉点的开放Torelli轨迹与牛顿多边形分层西格尔模块化品种。此外，对于Moonen工作中发现的20个特殊的PEL型Shimura簇，我们证明了所有的牛顿多边形层相交于开Torelli轨迹（如果在超奇异情况下$p>>0$）。
2019-08-19 math.NT
Unlikely intersections problem for automorphisms of Markov surfaces
本文研究马尔可夫曲面正熵自同构的不可能交集问题，证明特定参数下两自同构共享Zariski稠密周期点集当且仅当共享公共迭代，方法涉及算术等分布、层流流与拟Fuchsian表示理论。
2025-04-23 math.AG math.DS math.GT
Homogeneous Dynamics and Unlikely Intersections
这是一本关于齐次动力学的专著的初步版本，并应用于志村品种中不太可能相交的一些问题。它由四篇文章组成，可以独立阅读。第一个，由两个第一命名的作者，讨论了主要的应用，一些改进的安德烈-平克-赞尼尔猜想封闭的子集限制Hecke轨道志村品种。第二篇文章，由第一和最后命名的作者，建立了关于序列的动力学的一些措施在空间中的$S$算术格。这些结果是第一篇文章中方法的基石。最后两篇文章，由第一个命名的作者，建立的结果是至关重要的第二篇文章。第三篇文章给出了一个超度量的类似阿基米德的结果理查德和沙阿，并包含方法的独立利益有关的稳定性，Berkovich空间和Bruhat-Tits建筑物。最后一篇文章与第二篇文章的背景相同，讨论了所研究的翻译序列的非发散性。
2018-09-11 math.AG math.DS math.GR
Unlikely intersections with CM abelian varieties in a family and explicit bounds for canonical heights under endomorphisms
Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal, Université Clermont Auvergne（布莱斯·帕斯卡数学实验室，克莱蒙奥弗涅大学）
研究\(\overline{\mathbb{Q}}\)上阿贝尔概型中曲线与CM纤维代数子群的交集问题，推广前人成果。核心方法是通过控制自同态下典范高度，确定相关除子充裕时\(\lambda\)值来显式界定高度，给出了关于曲线与特定子群交集及高度界的结论。
2026-07-22 math.AG math.NT
Galois conjugates of special points and special subvarieties in Shimura varieties
设$S$是具有反射域$E$的Shimura簇。证明了$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/E)$在$S$上的作用将特殊点映射到特殊点，将特殊子簇映射到特殊子簇.此外，特殊点的伽罗瓦共轭都具有相同的复杂性（如不可能相交理论中所定义的）。这些结果遵循米尔恩和施的建设典范模型志村品种，根据猜想朗兰兹证明Borovoi和米尔恩。
2019-08-19 math.AG math.NT
G-functions, motives, and unlikely intersections -- old and new
本综述梳理G-函数在算术几何中的作用、其特殊值多项式关系与动机对称性的关联及Bombieri原理的应用，介绍该方法在非典型交与Zilber-Pink猜想研究中的新发展。
2025-01-16 math.AG math.NT
Modular Zilber-Pink for geometrically generic varieties
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Universität Wien（维也纳大学）
该研究证明，对满足特定投影条件的$\mathrm{Y}(1)^n$的子簇，模块化齐尔伯-平克猜想成立。
2026-08-19 math.AG math.LO math.NT
Unlikely and just likely intersections for high dimensional families of elliptic curves
该论文肯定回答了Shou-Wu Zhang的AIM小组提出的问题：模曲线高维乘积中，簇V上为另一簇W的Hecke平移的点在V中稠密，并探讨了维数假设的必要性及有限域上的例外情形。
2023-05-10 math.AG math.NT
Greatest Common Divisor results on semiabelian varieties and a Conjecture of Silverman
可除性序列是整数序列$\{d_n\}$，使得如果$m$整除$n$，则$d_m$整除$d_n$。Bugeaud，Corvaja，Zannier等人的结果表明，对应于乘法群子群的两个整除序列的gcd以受控的方式增长。西尔弗曼指出，类似的行为应该出现在许多代数群。我们推广了Ghioca-Hsia-Tucker和Silverman关于椭圆曲线的结果，证明了Silverman关于函数域上阿贝尔簇和分裂半阿贝尔簇的猜想的一个类似结果，并推广了这个结果.我们采用的工具来自理论的不太可能的交叉点，以及所谓的贝蒂映射相关的阿贝尔计划的一部分的属性。
2022-05-11 math.AG math.NT
Unlikely intersections and the Chabauty-Kim method over number fields
Chabauty-Kim方法是一种通过某些超越$p$ -adic解析函数来寻找数域上的簇上的积分或有理点的工具，这些解析函数来自于与簇的基本群相关联的某些Selmer方案。本文建立了数域上曲线的Chabauty-Kim方法的几个基本结果。在证明这些结果的两个主要成分是一个不太可能的交叉结果为零的迭代积分，并仔细分析交叉的Selmer计划的原始曲线与单能阿尔巴尼亚品种的某些$\mathbf{Q} _p $ -subvariants的限制标量的曲线。主要定理还部分回答了Siksek关于数域上Chabauty方法的一个问题，并给出了Siksek问题的强形式的一个明确的反例.
2021-11-30 math.AG math.NT
O-minimality and certain atypical intersections
我们证明了O-极小结构中的点计数策略可以应用于超越Manin-Mumford和André-Oort的不太可能的交叉点上的各种问题。在假设Galois轨道有一个下界和一个足够强的模Ax-Schanuel猜想的情况下，我们在一个模曲线的乘积中验证了所谓的Zilber-Pink猜想.在阿贝尔簇的背景下，我们得到了曲线的Zilber-Pink猜想，当一切都定义在数域上时，无条件。对于阿贝尔簇的高维子簇，我们得到了一些较弱的结果和一些条件结果。
2014-09-02 math.LO math.NT
Generic rank of Betti map and unlikely intersections
设$\mathcal{A} \rightarrow S$是相对维数为$g$的$\mathbb{C}$上的不可约簇上的阿贝尔格式.对于$S^{\mathrm{an}}$的任何单连通子集$Δ$，可以通过Betti同调用$\mathbb{T}^{2g}$识别$\mathcal{A}_Δ \rightarrow Δ$的每个闭合纤维来定义从$\mathcal{A}_Δ$到$\mathbb{T}^{2g}$的Betti映射，即维度$2g$的实环面。计算限定在$\mathcal{A}$的一个子簇$X$上的Betti映射的通有秩对于研究丢番图问题是有用的，例如证明特征$0$上的几何Bogomolov猜想和研究相关的Manin-Mumford猜想.在本文中，我们给出了一个几何准则来检测这个秩。作为一个应用，我们表明，它是最大的后采取足够大的纤维功率（如果$X$满足某些条件）：这是一个重要的步骤，以证明曲线上的有理点的数量的界限[DGH 20]。另一个应用是回答André-Corvaja-Zannier的一个问题并改进Voisin的一个结果。我们还系统地研究了它与相对Manin-Mumford猜想的联系，将后者简化为一个更简单的猜想。我们的工具是功能超越和不太可能的交叉点混合志村品种。
2021-12-26 math.AG math.NT
Height Estimates for Equidimensional Dominant Rational Maps
设F：W --> V是同维数的拟射影簇之间的支配有理映射.本文给出了W的非空Zebrski开子集中所有点P的h_V（F（P））>> h_W（P）的两个证明。对于占优有理映射F：P^n --> P^n，给出了一个一致估计，其中隐含常数只依赖于n和F的次数.作为一个应用，我们证明了一个特殊化定理等维占主导地位的合理映射到半交换品种，提供了一个补充Habegger最近定理不太可能的交叉。
2009-08-26 math.AG math.NT
Singular intersections in families of abelian varieties
本文证明阿贝尔概形中曲线与适当平坦子群概形的切向交点有限，并给出椭圆曲线情形的 Pila-Zannier 方法新证明，属于非预期交点问题及相对 Pink 猜想的变体。
2025-09-10 math.AG math.NT
$p$-adic monodromy and mod $p$ unlikely intersections, II
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文研究$p$-adic monodromy和mod $p$ 不可能交点，通过建立MT_p与logAL_p的等价关系，以及利用晶格Hodge领域证明logAL_p，并为许多四维阿贝尔簇建立MTT_p。
2025-11-30 math.NT
Density of algebraic points on Noetherian varieties
设$Ω\subset{\mathbb R}^n$是一个相对紧的域。$Ω$上的实值函数的有限集合称为\emph{Noetherian chain}，如果每个函数的偏导数可以表示为函数中的多项式。\emph{Noetherian function}是诺特链元素的多项式组合。我们引入了\emph{Noetherian parameters}（度，系数的大小）来衡量诺特链的复杂性。我们的主要结果是一个明确的形式的皮拉-威尔基定理的集合定义使用诺特等式和不等式：对于任何$ε>0$，点的高度$H$在超越部分的集合是最多$C\cdot H^ε$其中$C$可以估计\emph{explicitly}从诺特参数和$ε$。我们发现，许多功能的兴趣在算术几何属于诺特类，包括椭圆和阿贝尔函数，模块化功能和通用覆盖的紧凑黎曼曲面，雅可比θ函数，代数积分期间，和均匀化地图的西格尔模块品种$\mathcal{A}_g$。因此，我们effectivize（几何方面）皮拉-赞尼尔战略不太可能在这些情况下，只涉及紧凑的领域的交集。
2017-04-03 math.LO math.NT
Degeneracy loci and unlikely intersections in abelian schemes
Roma Tre University（罗马第三大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）；Westlake University（西湖大学）
本文证明在阿贝尔簇的正维子簇中，除退化轨迹外，相对维数小于给定阈值的平坦群子簇中的点至多有限，并由此提出并部分证明了相对 Mordell--Lang 猜想。
2026-10-06 math.AG math.NT
Effective transcendental Zilber-Pink for variations of Hodge structures
我们证明功能字段版本的Zilber-Pink代数的品种支持的霍奇结构的变化。在不太可能交叉的背景下，志村品种的这些结果的一种形式如下。设$S$是具有固定拟投射嵌入的连通纯Shimura簇.我们证明了存在一个两个自然数自变量的显式可计算函数$B$，使得对于复数的任意域扩张$K$和Hodge一般不可约真子簇$X \subsetneq S_K$，$X$与$S$中维数小于$X$余维数的$X$的所有特殊子簇的并的交中的非常点集包含在$X$的真子簇中以$B(\operatorname{deg}(X),\dim(X))$为界的度。我们的技术是微分代数和依赖于Ax-Schanuel功能超越定理。我们使用这些结果表明，与志村品种的微分方程给出了新的例子，最小的，有时，强烈极小，平凡的分叉几何，但非$\aleph_0$范畴诱导结构的类型。
2021-05-12 math.AG math.LO math.NT
Linear relations in families of powers of elliptic curves
受Masser和Zannier最近关于方程$Y^2=X(X-1)(X-λ)$的Legendre椭圆曲线$E_λ$上的同时挠问题的工作的启发，我们证明了：给定$E_λ$上的点$P_1(λ), ...,P_n(λ)$与$\bar{\mathbb{Q}(λ)}$中的坐标线性无关，至多有1000个复数$λ_0$使得点$P_1(λ_0), ...,P_n(λ_0)$满足$E_{λ_0}$上的两个独立关系.这是关于阿贝尔簇族的不可能交的一个特例。
2015-11-28 math.AG math.NT
Unlikely intersections in families of polynomial skew products
Burapha University（芭堤雅大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究多项式斜积家族中的意外交集问题，通过分类特殊领域、定义良好高度函数以及应用高度函数验证猜想，探讨了动态Manin-Mumford猜想的特殊情况。
2026-04-06 math.AG math.DS math.NT
