退化轨迹与阿贝尔簇中的不预期交集
Degeneracy loci and unlikely intersections in abelian schemes
- Roma Tre University（罗马第三大学）
- Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
- Westlake University（西湖大学）
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AI总结：
本文证明在阿贝尔簇的正维子簇中，除退化轨迹外，相对维数小于给定阈值的平坦群子簇中的点至多有限，并由此提出并部分证明了相对 Mordell--Lang 猜想。
AI中文摘要：
设 $\mathcal{A}\to S$ 为数域上正规拟射影簇上的阿贝尔簇，$\mathcal{X}\subseteq\mathcal{A}$ 为正维数子簇。对于每个整数 $t>0$，我们证明在 $\mathcal{X}$ 的 $t$-退化轨迹之外，至多有限个点位于相对维数小于 $t$ 的平坦群子簇中。特别地，当 $\mathcal{X}$ 为 $t$-非退化时，该交集不是 Zariski 稠密的。证明结合了有界高度定理、一致大伽罗瓦轨道估计、o-极小点计数以及混合 Ax--Schanuel 定理，遵循 Pila--Zannier 策略。算术输入是对自同态关系复杂性的显式界，该界通过几何数论和阿贝尔簇的高度估计获得。作为应用，我们提出了相对 Mordell--Lang 猜想，证明了其在某些阿贝尔簇幂中截面像的情形，并在变化和维数假设下建立了截面群特殊化在适当闭子集之外的单射性。
英文摘要：
Let $\mathcal{A}\to S$ be an abelian scheme over a normal quasi-projective variety over a number field, and let $\mathcal{X}\subseteq\mathcal{A}$ be a positive-dimensional subvariety. For every integer $t>0$, we prove that, outside the $t$-degeneracy locus of $\mathcal{X}$, at most finitely many points lie in flat group subschemes of relative dimension less than $t$. In particular, this intersection is not Zariski dense whenever $\mathcal{X}$ is $t$-nondegenerate. The proof combines a bounded height theorem with uniform large Galois orbit estimates, o-minimal point counting, and mixed Ax--Schanuel, following the Pila--Zannier strategy. The arithmetic input is an explicit bound for the complexity of endomorphism relations, obtained from geometry of numbers and height estimates for abelian varieties. As applications, we formulate a relative Mordell--Lang conjecture, prove it for section images in powers of certain abelian schemes, and establish injectivity of specialization of the group of sections outside a proper closed subset under variation and dimension hypotheses.
