Higher Inductive Types as Homotopy-Initial Algebras
同伦类型论是基于马丁-洛夫构造性类型论和抽象同伦理论之间令人惊讶的和优雅的对应关系的一个新的数学领域。我们在这些学科之间有着强大的相互作用--我们可以使用几何直观来表述类型论中的新概念，相反，我们可以使用类型论的机器来验证并经常简化现有的数学证明。这个新系统中的一个关键成分是更高的归纳类型，它允许我们表示诸如球体、环面、推出物和平行物之类的对象。我们研究了一种高阶归纳类型的变体，它的计算行为取决于一个高阶路径，我们证明了在这种情况下，高阶归纳类型的特征在于它是一个同伦初始代数的泛性质.
2014-02-04 cs.LO math.CT math.LO
Greatest HITs: Higher inductive types in coinductive definitions via induction under clocks
守护递归是一种强大的模式递归方法，可以看作是步进索引的抽象形式。它目前被广泛用于分离逻辑，通过求解具有负出现的域方程来模拟具有高级功能的程序设计语言。在其多时钟版本中，保护递归也可以用于对共归纳类型进行编程和推理，编码类型中递归定义所需的生产力条件。本文提出了第一种类型论，它结合了多时钟保护递归和立方类型论的特点，并给出了一个指称语义。结合使用高阶归纳类型（Higher Inductive Types，HIT）和保护递归，可以对传统上难以在类型论中表示的共归纳类型进行简单的编程和推理，例如标记转移系统的分支分支类型。例如，我们的研究结果意味着这些双相似性意味着路径平等，因此证明可以沿着双相似性证明。我们的技术贡献之一是一个新的原则下的时钟感应。这允许在时钟上的通用量化与HIT交换直到等价的类型，并且对于共归纳类型的编码至关重要。这种交换性的要求已经制定了归纳类型的公理在以前的类型论与多时钟保护递归，但我们目前的配方作为一个归纳原则允许制定一般的计算规则。
2022-06-03 cs.LO
Impredicative Encodings of (Higher) Inductive Types
本文针对依赖类型论中非直谓编码缺乏 η-等式和依赖消去的问题，提出基于同伦类型论的精化构造方法，并将其扩展至高阶归纳类型如 1-截断和单位圆 S1。
2018-02-08 cs.LO math.CT math.LO
On the Formalization of Higher Inductive Types and Synthetic Homotopy Theory
本论文的目的是在同伦型理论的背景下提出综合同伦理论。我们将提出各种结果在这个框架中，最值得注意的是建设的Atiyah-Hirzebruch和塞尔谱序列的上同调，已完全正式的精益证明助手。
2018-08-31 cs.LO math.AT math.LO
Inductive types in the Calculus of Algebraic Constructions
在以前的工作中，我们证明了归纳构造演算（CIC）的一个重要部分，Coq证明助手的基础，可以被看作是代数构造演算（CAC），一个扩展的构造演算的功能和谓词定义的高阶重写规则。在本文中，我们证明了几乎所有的CIC可以被看作是一个CAC，它可以进一步扩展与非严格的积极类型和归纳递归类型与非自由构造函数和模式匹配定义的符号。
2006-10-12 cs.LO
Inductive types in the Calculus of Algebraic Constructions
在以前的工作中，我们证明了几乎所有的归纳构造演算（CIC），这是证明助手Coq的基础上，可以被看作是一个代数构造演算（CAC），一个扩展的构造演算的功能和谓词定义的高阶重写规则。在本文中，我们不仅证明了CIC作为一个整体可以被看作是一个CAC，但它也可以扩展与非自由的构造器，模式匹配上定义的符号，非严格正类型和归纳递归类型。
2006-10-11 cs.LO
The Calculus of Algebraic Constructions
本文讨论了代数构造演算（CAC）的基础，CAC是构造演算的归纳数据类型的扩展。CAC通过模式匹配提供函数的定义来概括配备高阶原始递归的归纳类型，该模式匹配捕获满足严格正性条件的任意非依赖和非多态归纳类型的递归定义。CAC还通过提供依赖类型和高阶重写规则来概括抽象数据类型的一阶框架。
2008-05-27 cs.LO
Partiality, Revisited: The Partiality Monad as a Quotient Inductive-Inductive Type
Capretta的延迟单子可以用来模拟部分计算，但它有一个“错误”的概念，即内置的相等性，强双相似性。另一种方法是用“右”相等的概念，弱双相似性来商延迟单子。然而，查普曼等人最近的工作表明，如果不假设可数选择公理（的实例），就不可能在类型论的常见形式中定义一个单子结构。利用同伦类型论的一个思想--一种更高级的归纳-归纳类型--我们在不依赖可数选择的情况下构造了一个幺半群。我们证明了，在可数选择的存在下，我们的单变量等价于延迟单变量的弱双相似性。此外，我们概述了几个应用程序。
2017-06-27 cs.LO
Quotient inductive-inductive types
同伦类型论（HoTT）中的高阶归纳类型（HIT）允许定义具有定义类型上的等式的构造函数的数据集。HIT概括了商类型，并允许定义在HoTT意义上不是集合的类型（即不满足等式证明的唯一性），例如球体，悬浮体和环面。然而，HIT也有一些有趣的用法来定义集合，比如柯西实数、多项式和类型论的内部、总体语法。在每个例子中，我们定义了几个相互依赖的类型，即它们是归纳-归纳定义。我们称这些HIT为商归纳-归纳类型（QIIT）。虽然最近在HIT的一般理论方面取得了一些进展，但等式构造子和归纳-归纳的结合尽管有许多有趣的应用，但还没有理论基础。在本文中，我们提出了第一步的语义定义QIIT。特别是，我们给出了一个初始代数语义，并表明这是等价的部分归纳原则，这证明了直观预期的消除规则。
2017-11-16 cs.LO
Cubical informal type theory: the higher groupoid structure
在同伦类型论一书中进行了一个为非正式类型论开发约定和符号的项目，该项目是为了建立一个框架，该框架是通过Voevodsky的univalance公理和更高的归纳类型来管理高维结构的公理来增强建设性类型论的，本文提出了一种以立方类型论为基础的非正式类型论的方法。为此，我们采用了一个立方体类型论最近提出的Angiuli，侯（Favonia）和哈珀，一个框架与累积层次的单价Kan宇宙，充分的univalence和实例的高归纳类型。本文只研究关于型的高广群结构的几个基本定理。
2018-06-22 cs.LO
The Integers as a Higher Inductive Type
考虑了同伦类型论（HoTT）中整数的定义问题.我们可以将整数的类型定义为带符号的自然数（即，使用余积），但是它的归纳原理非常不方便使用，因为它导致了案例的爆炸。另一种方法是使用集合截断，但这里我们需要使用集合截断来避免非平凡的更高等式。这导致了一个递归原则，它只允许我们将函数定义为集合（满足UIP的类型）。在本文中，我们考虑使用小论域或双可逆映射的更高归纳类型。这些类型表示没有显式集截断的整数，等价于通常的余积表示。这是一个有趣的例子，因为它展示了如何在HoTT中处理一些一致性问题。我们讨论了这项工作引发的一些悬而未决的问题。证明已正式验证使用立方阿格达。
2020-07-01 cs.LO math.LO
A Natural Deduction style proof system for propositional $μ$-calculus and its formalization in inductive type theories
在本文中，我们提出了一个形式化的Kozen的命题模态$μ$ -演算，在演算的归纳结构。我们解决了几个有问题的问题，如使用高阶抽象语法在归纳集合中存在的递归构造器，编码的模态（“证明”）规则和上下文敏感的语法。该编码可用于\Coq系统中，为$μ$ -演算中的无错证明的交互式开发提供了一个实验性的计算机辅助证明环境。我们采用的技术可以很容易地移植到其他语言和证明系统具有类似的问题。
1998-09-29 cs.LO
Constructing Higher Inductive Types as Groupoid Quotients
本文在同伦类型论中证明所有有限一截断高阶归纳类型可由群胚商构造，定义签名及代数双范畴，并给出例子、极限与第一同构定理，形式化于Coq。
2021-04-21 cs.LO
Global semantic typing for inductive and coinductive computing
归纳和共归纳类型通常被解释为本体（教会式）类型，表示规范的数据集，如自然数，列表和流。出于各种目的，特别是在全局语义上下文中研究程序，最好将类型视为语义属性（Curry风格）。内在理论是在20世纪90年代后期引入的，为程序及其语义类型的推理提供了一个纯粹的逻辑框架。在这里，我们将它们扩展到由归纳和共归纳定义的任何组合给出的数据。这种方法是有趣的，因为它与形式逻辑的语法，语义和证明理论基础紧密配合，在隐式计算复杂性以及从证明中提取程序方面具有潜在的应用。我们证明了一个规范性定理，表明程序类型的全球定义，通过通常的（塔斯基）语义的一阶逻辑，同意其操作语义在预期的模型。最后，我们表明，每一个内在的理论是一个保守的一阶算术扩展解释。这意味着对无限数据对象的量化本身不会导致证明理论的强度超过皮亚诺算术。内在理论完全服从于Curry-Howard态射公式，并被用来表征主要的计算复杂性类。
2014-12-24 cs.LO
Parametric Cubical Type Theory
我们展示了一个计算类型论，它结合了高维结构的carnivical立方类型论的内部参数化原语的参数类型论，绘制出两者之间的相似性和区别。结合理论既支持一价性，也支持它的关系等价物，我们称之为相对论。我们展示了使用的理论，通过分析多态类型，包括更高的归纳类型之间的功能，我们通过例子展示了如何相对性可以用来表征归纳类型的关系解释。
2019-07-08 cs.LO
Mechanizing Coinduction and Corecursion in Higher-order Logic
递归和上递归定义的理论已经在高阶逻辑（HOL）中得到了发展，并使用Isabelle进行了机械化。最小不动点表示归纳数据类型，如严格列表;最大不动点表示共归纳数据类型，如懒惰列表。良基递归表示归纳数据类型上的递归函数;协递归表示产生共归纳数据类型元素的函数。该理论依赖于传统的形式化的无限树。该理论旨在用于规范和验证。它支持大范围的可计算函数的推理，但没有形式化它们的操作语义，也可以表示不可计算函数。该理论说明使用有限和无限的列表。共递归表示无限列表上的函数;共归纳推理这类函数。
2000-10-31 cs.LO
Path Spaces of Higher Inductive Types in Homotopy Type Theory
等式类型的研究是同伦类型论的核心。描述这些类型通常很棘手，并且已经开发了各种策略，例如编码-解码方法。我们证明了一个定理的平等类型的coequalizers和pushout，让人想起一个归纳原则，没有任何限制的截断水平。这一结果使得有可能直接推理某些等式类型，并通过消除辅助结构的必要性来简化现有的证明。为了证明这一点，我们给出了一个很短的参数计算的基本群的圆（利卡塔和舒尔曼'13），并为事实，即推出保持嵌入。此外，我们的发展提出了一个更高版本的Seifert-van Kampen定理，并且集合截断算子将其映射到标准的Seifert-van Kampen定理（由于Favonia和Shulman '16）。我们提供了证明助理精益的主要技术成果的形式化。
2019-05-14 cs.LO math.LO
Semantics for a Turing-complete Reversible Programming Language with Inductive Types
本文研究基于Theseus的高阶可逆编程语言，通过模式匹配保证函数可逆，证明其可编码任意可逆图灵机，构建了带模式匹配结构的并逆范畴语义，并证明其完全完备性，即可计算部分单射函数均为语言项的像。
2024-10-09 cs.LO
Formalizing the Real Numbers in Homotopy Type Theory with Cubical Agda
The University of Utah（犹他大学）
本文用立方阿格达形式化同调类型理论中的实数，避免了经典证明中的可数选择、 Bishop 集合构造的持久书务开销和 Dedekind 切割在预设类型理论中的繁琐层级跟踪。
2026-04-23 cs.LO
Homotopies for Free!
我们显示“自由定理”的风格Wadler多态函数同伦类型论的抽象定理的后果。作为一个应用，它遵循每个定义为更高归纳类型的空间具有相同的同伦群作为某些类型的多态函数定义没有univalence或更高归纳类型。
2017-04-19 cs.LO math.LO
Towards One-Shot Learning for Text Classification using Inductive Logic Programming
University of Surrey（萨里大学）
本文提出利用归纳逻辑编程中的元解释学习框架，结合ConceptNet常识知识，实现从极少量样本进行文本分类的一次性学习，并发现示例复杂度越高准确率越高。
2023-08-30 cs.CL cs.LG cs.LO
Type Theory based on Dependent Inductive and Coinductive Types
我们开发了一个依赖的类型论，纯粹基于归纳和共归纳类型，以及相应的递归和共递归原则。这就产生了一个只有少量规则集的类型论，同时仍然具有相当的表达能力。例如，所有众所周知的基本类型和类型的形式，需要使用这个类型论作为一个逻辑是可定义的：命题连接词，如虚假，合取，析取，和功能空间，依赖功能空间，存在量化，平等，自然数，向量等。众所周知的类型的归约关系由此产生。为了进一步支持这个新的类型论的引入，我们还证明了它的项演算的基本性质。最重要的是，我们证明了主题减少和强规范化的减少关系，这使得计算意义的条款。所提出的类型论是基于第一作者以前研究过的分类逻辑的思想，它将Hagino的分类数据类型扩展到依赖类型化的设置。通过将类型论建立在范畴论的概念上，我们保持了归纳类型和上归纳类型之间的对偶性，并且它允许我们将函数空间描述为上归纳类型。
2016-05-07 cs.LO
Inductive Generalization in Reinforcement Learning from Specifications
School of Computer Science（计算机学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Indian Institute of Technology - Kanpur（坎普尔印度理工学院）
本文提出一种归纳泛化框架，通过从逻辑规范中学习高阶策略生成器，实现归纳任务实例的零样本策略生成，并在控制基准上验证了其泛化能力。
2024-06-05 cs.AI cs.LG cs.LO
Refining Inductive Types
依赖类型的程序设计语言允许在类型系统中表达数据的复杂属性。在依赖类型编程中特别有用的是索引类型，它通过计算上有用的信息来细化数据。例如，N索引类型的向量通过它们的长度来细化列表。其他数据类型也可以用类似的方式进行细化，但是程序员必须根据特定的目的进行细化，开发人员必须预测库中要包含哪些细化，并且实现必须经常存储有关数据及其细化的冗余信息。在本文中，我们将展示如何一般地推导归纳类型的细化归纳特征，并认为这些特征可以减轻一些与特设细化相关的上述困难。我们的特征也确保了标准的编程技术和推理归纳类型适用于细化，细化本身可以进一步细化。
2012-06-01 cs.LO cs.PL
The equivalence of the torus and the product of two circles in homotopy type theory
同伦类型论是一个新的数学分支，它融合了抽象同伦论和高级范畴论与逻辑和类型论的观点。它允许我们将各种数学对象表示为基本类型论构造，更高的归纳类型。证明了在同伦类型论中，环面等价于两个圆的乘积。这一结果表明，环面作为高阶归纳型的综合定义是正确的。
2015-10-13 cs.LO math.LO
Inductive types in homotopy type theory
同伦类型论（英语：Homotopy type theory）是马丁-勒夫的构造性类型论在抽象同伦理论中的一种解释。有结果之间的联系建设性数学和代数拓扑，提供拓扑语义内涵系统的类型理论，以及计算方法，代数拓扑通过类型理论为基础的证明助手，如Coq。目前的工作调查归纳类型在这种情况下。修改规则的归纳类型，包括类型的良基树，或W型，提出了，并确定了基本的同伦语义，这样的类型。所有结果的证明都已由Coq证明助理正式验证，并且用于此验证的证明脚本构成了本研究的重要组成部分。
2012-05-02 cs.LO math.CT math.LO
A Weakly Initial Algebra for Higher-Order Abstract Syntax in Cedille
Cedille是一个相对较新的工具，基于Curry风格的纯类型论，没有原始的数据类型系统。使用新技术的基础上依赖的交叉类型，归纳数据集及其归纳原则。这种方法的一个好处是它允许探索新的或高级形式的归纳数据类型。本文报告的工作进展中的一个这样的形式，即高阶抽象语法（HOAS）。我们在纯类型论的背景下考虑HOAS的性质，与传统的λ演算的环境模型的概念进行比较。我们看到了一种替代方案，基于我们所称的Kripke函数空间，我们可以在Cedille中推导出弱初始代数。使用编码给出了几个例子。
2019-10-24 cs.LO cs.PL
Quantum Programming with Inductive Datatypes: Causality and Affine Type Theory
程序设计语言中的归纳数据库允许用户定义有用的数据结构，如自然数、列表、树等。在本文中，我们将展示如何归纳数据库可以添加到量子程序设计语言QPL。我们构建了一个健全的分类模型的语言，并通过这样做，我们提供了第一个详细的语义处理用户定义的归纳数据在量子编程。我们还表明，我们的指称解释是不变的大步骤减少，从而建立另一个新的结果量子编程。与经典的编程相比，这个属性是相当困难的证明，我们展示了它的有用性，它如何立即意味着在所有类型的计算充分。为了进一步巩固我们的结果，我们的语义完全基于冯诺依曼代数的物理自然模型，冯诺依曼代数是物理学家用来研究量子力学的数学结构。
2019-10-21 cs.LO cs.PL math.CT
(Co)condition hits the Path
本文提出依赖类型理论中归纳类型与记录类型的（余）条件增强，推广了高阶归纳类型与路径类型，并展示了条件与余条件的对偶性及类型检查，但不涉及元理论。
2024-05-25 cs.LO cs.PL
Constructive higher sheaf models with applications to synthetic mathematics
University of Gothenburg, Sweden（哥德堡大学）；Chalmers University of Technology, Sweden（查尔姆斯理工大学）
本文提出了一种构造性高sheaf模型，用于合成数学中的类型理论扩展，包括univalence和高诱导类型，并构建了这些形式系统的构造性模型。
2026-05-18 cs.LO math.LO
Computing Cohomology Rings in Cubical Agda
在同伦类型论中，上同调理论是用高阶归纳类型和单叶性来综合研究的。本文通过给出上同调环的第一个完全机械化的定义，推广了以前的发展。这些环可以被定义为上同调群的直和加上由上积引起的乘法，并且在许多情况下可以被表征为多元多项式环的直积。为此，我们引入适当的定义的直和和分次环，然后我们使用定义的上同调环和多元多项式环。利用这一性质，我们计算了一些经典空间的上同调环，如球面和克莱因瓶.形式化是建设性的，因此它可以用来做具体的计算，它依赖于立方体Agda系统，它本身支持更高的归纳类型和计算的univalence。
2022-12-08 cs.LO math.AT
