Bounds on generalized Frobenius numbers
令$N \geq 2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为没有$\sum_{i=1}^N a_i x_i$表示的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。更一般地说，$s$ -Frobenius数被定义为最大的正整数，它具有精确的$s$不同的表示。我们使用的技术，从数的几何号码给上界和下界的$s$ -Frobenius数的任何非负整数$s$。
2011-07-05 math.CO math.MG math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
2021-09-29 math.CO math.NT
The Parametric Frobenius Problem
给定互素的正整数a_1，.，a_n，Frobenius数是不能写成a_i的非负整数组合的最大整数。我们研究这个问题的参数版本：给定a_i=a_i（t）作为t的函数，计算作为t的函数的Frobenius数。一个函数f是拟多项式，如果存在一个周期m和多项式f_0，.，f_{m-1}使得对于所有正整数t，f（t）= f_{t mod m}（t）。我们猜想，如果a_i（t）是关于t的多项式（或拟多项式），那么对于足够大的t，Frobenius数与拟多项式一致。我们在a_i（t）是线性函数的情况下证明了这一点，并且在n（生成元个数）至多为3的情况下也证明了这一点。
2015-05-22 math.CO math.NT
An Extreme Family of Generalized Frobenius Numbers
我们研究了一个推广的\emph{Frobenius problem}：给定$k$正相对素数，什么是最大的整数$g_0$，不能表示为一个非负整数线性组合这些参数？更一般地说，恰好具有$s$这种表示的最大整数$g_s$是多少？我们说明了一个家庭的参数，Tripathi，其广义Frobenius数$g_0, \ g_1, \ g_2, ...$表现出不自然的跳跃，即$g_0, \ g_1, \ g_k, \ g_{\binom{k+1}{k-1}}, \ g_{\binom{k+2}{k-1}}, ...$形成一个等差数列，任何整数大于$g_{\binom{k+j}{k-1}}$至少有$\binom{k+j+1}{k-}$表示。在此过程中，我们引入了一个广义Frobenius数的变化，并证明了它的一些基本结果。
2011-01-27 math.CO math.NT
Some experimental results on the Frobenius problem
研究Frobenius问题：给定互素正整数$a_1,...,a_d$，求t（Frobenius数）的最大值，使得$\sum_{k=1}^d m_k a_k = t$在非负整数$m_1,...,m_d$中无解.基于经验数据，我们猜想，除某些特殊情况外，Frobenius数可以由$\sqrt{a_1 a_2 a_3}^{5/4} - a_1 - a_2 - a_3$从上有界.
2005-01-02 math.CO math.NT
The Frobenius number for shifted geometric sequences associated with the number of solutions
本文给出了移位几何序列$\{a b^n-c\}_n$的$p$-Frobenius数的闭式公式，涵盖几何、Thabit和Mersenne序列及其变体，解决了$p>0$时广义Frobenius数公式缺失的问题。
2024-02-09 math.CO math.NT
The Frobenius Problem in a Free Monoid
经典的Frobenius问题是计算不能表示为非负整数x_1，x_2，.的非负整数线性组合的最大数g，x_k，其中gcd（x_1，x_2，.，x_k）= 1。在本文中，我们考虑推广的Frobenius问题的非交换设置的自由幺半群。不像交换的情况下，g的界限是二次的，我们能够显示指数或次指数行为的模拟g，这取决于特定的措施选择。
2007-08-23 cs.DM math.CO
The Frobenius problem, rational polytopes, and Fourier-Dedekind Sums
本文研究了有理多胞形$P = (x_1,...,x_n) \in \R_{\geq 0}^n : \sum_{k=1}^n x_k a_k \leq 1$的整数扩张中的格点数，其中$a_1,...,a_n$为正整数.这个多面体与弗罗贝纽斯的线性丢番图问题密切相关：给定互素正整数$a_1,...,a_n$，找到t（弗罗贝纽斯数）的最大值，使得$m_1 a_1 + ... + m_n a_n = t$在正整数$m_1,...,m_n$中没有解。这等同于找到最大扩张tP使得小平面$\sum_{k=1}^n x_k a_k = t$不包含晶格点的问题。本文给出了计算P的Ehrhart拟多项式的两种方法，即计算扩张多胞形及其内部的整数点。在计算中，出现了类似戴德金的有限傅立叶和。我们得到了这些款项的倒易律，推广了Gessel定理。作为我们的公式的推论，我们重新推导Zagier的高维Dedekind和的互易定律。最后，我们找到了Fourier-Dedekind和的界，并利用它们给出了Frobenius数的新界。
2003-05-28 math.CO math.NT
Frobenius problem and the covering radius of a lattice
令$N \geq2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为不能表示为$\sum_{i=1}^N a_i x_i$的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。$gcd(a_1,...,a_N)=1$表示该数存在的条件。在给定$N$和$a_1,...,a_N$的情况下，确定Frobenius数的一般问题是NP困难的，但是不同的作者对Frobenius数给出了许多不同的界限。我们使用的技术，从数的几何数字，以产生一个新的界限，有关Frobenius数的覆盖半径的零格的$N$元组。我们的界限是特别有趣的情况下，当这个格有相等的连续极小值，这，正如我们证明，发生无限频繁。
2006-07-13 math.CO math.NT
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
2003-06-02 math.CO math.NT
On a conjecture of Wilf about the Frobenius number
给定互质正整数$a_1 < ...< a_d$，Frobenius数$F$是不能表示为$a_i$的非负整数组合的最大整数.令$g$表示所有不可表示的正整数的个数：Wilf证明了$d \geq \frac{F+1}{F+1-g}$。我们证明，对于每一个固定值的$\lceil \frac{a_1}{d} \rceil$的猜想成立的所有值的$a_1$是足够大的，是不是整除由一个有限的素数集。我们还提出了一个推广的上下文中的一维局部环和一个问题的平等$d = \frac{F+1}{F+1-g}$。
2015-05-20 math.AC math.CO math.NT
The Frobenius problem for a class of quotients of numerical semigroups
Capital Normal University（首都师范大学）
本文研究了数值半群商的阿佩尔集特征，推导了半开形式的弗罗贝尼乌斯数和亏格公式，并在特定参数下得到某些商的弗罗贝尼乌斯数显式公式。
2026-04-29 math.CO
Resolvable Mendelsohn designs and finite Frobenius groups
证明了$(p(k)-1)$ -fold完美可分解$(v, k, 1)$ -Mendelsohn设计的存在性，并给出了其构造，其中$(p(k)-1)$ -fold完美可分解$(v, k, 1)$ -Mendelsohn设计对任意具有$v \equiv 1 \mod k$的整数$v > k \ge 2$，使得存在一个有限Frobenius群，其核$K$的阶为$v$，其补群包含一个阶为$k$的元素$ϕ$，其中$p(k)$是$k$的最小素因子.这样的设计允许$K \rtimes \langle ϕ\rangle$作为一组自同构，并且当$k$是素数时是完美的。作为一个应用，我们证明了对于任意整数$v = p_{1}^{e_1} \ldots p_{t}^{e_t} \ge 3$的素因子分解，以及任意素数$k$除$p_{i}^{e_i} - 1$为$1 \le i \le t$，存在可分解的完美$(v, k, 1)$ -Mendelsohn设计，其中Frobenius群是自同构群.我们还证明了，如果$k$是偶数，并划分$p_{i} - 1$为$1 \le i \le t$，那么至少有$φ(k)^t$可分解的$(v, k, 1)$ -Mendelsohn设计，承认Frobenius群作为一组自同构，其中$φ$是欧拉的totient函数。
2018-09-26 math.CO
Sylvester power and weighted sums on the Frobenius set in arithmetic progression
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。Frobenius数是不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的最大正整数。当$k\ge 3$时，一般没有显式公式，但对于特殊序列$a_1,a_2,\dots,a_k$，可能存在一些公式，包括形成等差数列及其修改的公式。本文给出了不可表示的正整数的幂和加权和的计算公式。作为应用，我们显示了明确的表达式，这些总和$a_1,a_2,\dots,a_k$形成等差数列。
2022-04-15 math.CO math.NT
Gr{ö}bner basis. a "pseudo-polynomial" algorithm for computing the Frobenius number
让我们考虑$n$自然数$a\_1 ,\ldots , a\_{n} $。设$S$是由$a\_1 ,\ldots , a\_{n} $生成的数值半群.设置$A=K[t^{a\_1}, \ldots , t^{a\_n}]=K[{x\_1}, \ldots , {x\_n}]/I$。本文的目的是：\begin{enumerate}\item Give an effective pseudo-polynomial algorithm on $a\_1$, which computes The Ap{é}ry set and the Frobenius number of $S$. As a consequence it also solves in pseudo-polynomial time the integer knapsack problem : given a natural integer b, b belongs to $S$?\item The \gbb of $I$ for the reverse lexicographic order to $x\_n,\ldots ,x\_1$, without using Buchberger's algorithm. \item $\ini{I} $ for the reverse lexicographic order to …
2015-12-18 math.AC math.CO
Refined upper bounds for the linear Diophantine problem of Frobenius
我们研究Frobenius问题：给定互素正整数a_1，.，a_d，找到t的最大值（Frobenius数g（a_1，...，a_d）），使得m_1a_1 +. m_d a_d = t在非负整数m_1，.，m_d。我们介绍了一种方法来计算g（a_1，a_2，a_3）的上界，它的增长速度似乎比以前已知的界慢得多.我们的计算是基于一个公式的限制分拆函数，其中涉及Dedekind-Rademacher总和，和这些总和的互易定律。
2005-01-02 math.CO math.NT
On the determination of $p$-Frobenius and related numbers using the $p$-Apéry set
本文利用p-Apéry集给出p-Frobenius数及相关值的显式公式，并推广加权和公式，从而系统化地求解广义Frobenius问题。
2024-01-13 math.CO math.NT
Frobenius numbers associated with Diophantine triples of $x^2+y^2=z^r$ (extended version)
本研究推导了与丢番图方程$x^2+y^2=z^r$相关三元组的$p$-Frobenius数显式公式，明确了其定义，补充了$r=2$时该数已有结论的背景，拓展了相关数论问题的研究结果。
2024-03-12 math.CO math.NT
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression with initial gaps
本文针对具有初始间隙的等差数列，给出了不可表示正整数之和（Sylvester和）、Frobenius数及不可表示正整数个数的显式公式。
2022-10-31 math.AC math.CO math.NT
A fast algorithm for the Frobenius problem in three variables
本文针对三变量Frobenius问题提出一种新算法，其基础与Tripathi算法相同但实现显著不同，并证明其最坏情况时间复杂度同样为A的对数函数。
2025-01-02 cs.DS math.CO
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
Frobenius Numbers and Automatic Sequences
具有$\gcd 1$的非负整数集合$S$的Frobenius数$g(S)$是不能表示为$S$的元素的线性组合的最大整数。给定序列${\bf s} = (s_i)_{i \geq 0}$，我们可以定义相关序列$G_{\bf s} (i) = g(\{ s_i,s_{i+1},\ldots \})$。在本文中，我们计算$G_{\bf s} (i)$的一些经典的自动序列：邪恶的号码，可憎的号码，和上下Wythoff序列。与通常的方法相比，我们的证明主要是基于自动机理论和逻辑。
2021-03-22 cs.DM cs.FL math.CO
On the Frobenius Number and Genus of a Collection of Semigroups Generalizing Repunit Numerical Semigroups
Capital Normal University（首都师范大学）
本文研究了特定数数半群的弗罗贝尼乌斯数和亏格，提出d可为负整数的新方法，并针对特殊情形如梅森、塔比特和雷努特数数半群给出简化公式，部分解决了普罗思数数半群的开放问题。
2025-03-06 math.CO math.NT
$p$-numerical semigroups with $p$-symmetric properties
本文引入$p$-数值半群，推广数值半群理论，定义$p$-间隙、$p$-对称半群等，并研究其性质，当$p=0$时还原为经典情形。
2023-06-19 math.AC math.CO math.NT
Congruences for an arithmetic function from 3-colored Frobenius partitions
设$a(n)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n := \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{3n})(1-q^n)^3}.$本文证明了对每个非负整数$n$，a（15 n +6）\equiv 0 \pmod{5}，a（15 n +12）\equiv 0 \pmod{5} .作为推论，我们得到了Ono的一些结果
2010-04-27 math.CO math.NT
The Diophantine Frobenius Problem revisited
本文重新考察丢番图 Frobenius 问题，证明了在系数互素且表示中变量也互素的条件下存在最大不可表示数，并显式研究了二元情形的大小，强化了经典结果。
2025-09-10 math.CO math.NT
Cores and quotients of partitions through the Frobenius symbol
Frobenius符号最早由Frobenius于1900年引入，作为一种对整数分区进行编码的方法。1941年，受到对称群的模表示理论的启发，中山提出了p-核分区的概念，对于p素数，使用钩子移除。在接下来的十年里，罗宾逊、利特尔伍德、斯塔尔和法拉哈特使用星图的变体，编纂了这种划分的$p$-商。自20世纪70年代以来，国际上的惯例是以珠算结构为基础，建立核心与结果理论。James.在本文中，我们回到了前面的观点。首先，我们证明了对任意正整数t，整数分拆的t-核和t-商可以直接由它的Frobenius符号得到。该论证也在相反的方向上起作用：即，给定t核的Frobenius符号和Frobenius符号的$t$元组，可以恢复对应分区的Frobenius符号。一个直接的应用是从核和商的弗罗贝纽斯符号计算相关分区的杜菲数。在1991年，J. Scopes收集了$p$-核心划分成家庭，以证明多诺万的猜想持有的对称群在素数p。我们描述，使用我们的方法，行动的仿射Weyl群W_p的类型$A$对Frobenius符号，并使用此参数化和计算显式数量的Scopes家庭。特别是，我们列举了无限和有限范围的家庭。核心划分也吸引了最近的兴趣在数论。通过构造显式和组合双射，我们重新审视了一些著名的身份最初获得使用复杂的方法。最后，我们仔细研究了商中的某些钩子和相关分区中的某些钩子之间的关系。
2019-11-27 math.CO math.NT math.RT
On the Frobenius Coin Problem in Three Variables
University of Tehran（德黑兰大学）；Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
本文提出基于同步欧几里得除法序列的算法求解三变量Frobenius硬币问题，复杂度为Θ(log a1)，并给出常数开销归约及Frobenius数上界。
2026-09-09 math.CO math.NT
Morphic words, Beatty sequences and integer images of the Fibonacci language
形态词是有限字母表上态射的不动点$x$的字母到字母的图像。在某些情况下，这些字母到字母的映射不是自然发生的，而是必须被一个态射所取代。我们称之为$x$的装饰。从理论上讲，修饰态词也是态词，但在一些问题中，修饰态射的不动点的想法是有用的。我们提出两个这样的问题。第一个考虑所谓的$AA$序列，其中$α$是二次无理数，$A$是由$A(n)=\lfloor αn\rfloor$定义的Beatty序列，$AA$是序列$(A(A(n)))$。第二个例子考虑了Fibonacci语言到整数中的同态嵌入，这导致了具有$V(n)=p\lfloor αn\rfloor+qn+r$形式的项的广义Beatty序列，其中$p,q$和$r$是整数。
2019-09-29 math.CO
A Combinatorial Approach to Frobenius Numbers of Some Special Sequences (Complete Version)
School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
本文提出一种新的组合方法来解决弗罗贝尼乌斯问题，通过将问题转化为更易处理的优化问题，推导出弗罗贝尼乌斯数、赛尔伯格数和赛尔伯格和的公式。
2023-03-13 math.CO math.NT
Modular Forms and $k$-colored Generalized Frobenius Partitions
设$k$和$n$为正整数。设$cϕ_{k}(n)$表示$n$的$k$着色广义Frobenius划分的个数，$\mathrm{C}Φ_k(q)$表示$cϕ_{k}(n)$的生成函数.本文利用模形式理论对$\mathrm{C}Φ_k(q)$进行了研究，发现了$\mathrm{C}Φ_k(q)$新的令人惊讶的性质。
2021-06-01 math.CO math.NT
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。在\cite{KZ0,KZ}中引入了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}$的概念，其中${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数的集合。当$λ=1$，这样的总和通常被称为西尔维斯特总和。本文的主要目的是给出Sylvester和（$λ=1$）与加权和（$λ\ne 1$）的显式表达式，其中$a_1,a_2,\dots,a_k$构成等差数列.作为应用，还考虑了各种其他情况，包括加权和，几乎等差数列，等差数列与附加项，和几何类序列。几个例子说明并证实了我们的结果。
2022-03-23 math.CO math.NT
Maximal lattice free bodies, test sets and the Frobenius problem
极大格自由体是没有内部整点的极大多面体。斯卡夫开始研究最大晶格自由体相对于一个固定的矩阵的小平面法线。本文给出了计算整矩阵A的极大格自由体的一个有效算法。一个重要的组成部分是与A相关联的某个整数规划的测试集。该测试集可以使用代数方法来计算。作为应用，我们将三维Frobenius问题的Scarf-Shallcross算法推广到任意维数。在这种情况下，我们的方法的灵感来自新的算法由爱因斯坦，Lichtblau，Strzebonski和货车和Groebner基础的方法由Roune。
2007-05-30 math.CO math.OC
The Frobenius Problem for the Proth Numbers
本文定义了Proth数值半群$P_{k}(n)$，给出了其嵌入维数公式，并通过推导Frobenius数的闭式公式解决了该半群的Frobenius问题，同时证明了其满足Wilf性质。
2023-11-21 math.CO math.NT
The Frobenius Formula for $A=(a,ha+d,ha+b_2d,...,ha+b_kd)$
School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
研究了特定序列 $A$ 的弗罗贝尼乌斯数，发现其具有稳定性质，并通过构造特定有序序列 $B$ 得到关于 $a$ 的良好界，计算了多个具体情形下的弗罗贝尼乌斯数。
2023-04-26 math.CO math.NT
$p$-numerical semigroup of generalized Fibonacci triples
本文针对非负整数 $p$，给出了涉及 Jacobsthal 多项式（包含 Fibonacci 数）的广义 Fibonacci 数值半群的 $p$-Frobenius 数和 $p$-亏格显式公式，并探讨了其在 $p$-Hilbert 级数上的应用。
2023-04-02 math.CO math.GR math.NT
