Monotonicity formulas for harmonic functions in ${\rm RCD}(0,N)$ spaces
本文将Colding和Minicozzi关于具有非负里奇曲率的黎曼流形中正调和函数的一族单调性公式推广到${\rm RCD}(0,N)$集.刚性和几乎刚性的陈述也被证明，第二个似乎是新的，即使在顺利的设置。受[AFM]最近工作的启发，我们还在${\rm RCD}$空间中引入了静电势的概念，它也满足我们的单调性公式。我们的论点主要是基于${\rm RCD}(K,N)$空间中调和函数的新估计和“（几乎）外体积锥蕴涵（几乎）外度量锥”定理的新泛函形式。
2021-12-30 math.DG math.MG
Monotonicity and rigidity of the W-entropy on RCD(0, N) spaces
利用时空Wasserstein控制，在适当的意义下，证明了具有非负里奇曲率和有限维数上界的可能奇异度量测度空间上的W-熵泛函沿热流在时间上的单调性.还证明了关于W熵耗散率的相关刚性结果。这些结果在某些方面甚至推广了加权黎曼流形上的已知结果。此外，我们还揭示了在光滑加权黎曼流形类中，某些奇异空间具有刚性模型，而只有欧几里得空间具有刚性模型。
2018-11-17 math.AP math.DG math.MG
Volume entropy and rigidity for RCD-spaces
本文发展BCG重心技术至RCD空间，证明熵-体积不等式及刚性结果，并推广Lipschitz体积刚性至RCD$(K,N)$空间，应用于4-orbifolds上的爱因斯坦度量。
2024-11-07 math.DG math.GT math.MG
Monotonicity formula and stratification of the singular set of perimeter minimizers in RCD spaces
本文在RCD(0,N)度量测度锥中建立周长极小化集合的单调性公式及刚性陈述，并由此得到非塌缩RCD空间中奇异分层的尖锐Hausdorff维数估计，以及非负Ricci曲率流形中全局周长极小化子blow-down锥的存在性。
2025-02-03 math.DG math.MG
Sharp gradient estimate, rigidity and almost rigidity of Green functions on non-parabolic $\mathrm{RCD}(0,N)$ spaces
本文将Colding的结果推广到非抛物型$\n\trm{RCD}(0,N)$空间，证明格林函数导出的光滑化距离函数的梯度精确上界，建立对应的刚性与近刚性结论，其中近刚性结果在光滑框架下也属新成果。
2023-12-17 math.DG
Rigidity and regularity for almost homogeneous spaces with Ricci curvature bounds
本文研究几乎齐次RCD$(K,N)$空间的Gromov-Hausdorff极限，证明其必为Ricci曲率下界为$K$的幂零Lie群，并建立了拓扑刚性定理及光滑情形下Riemannian orbifold的刚性与$ε$-正则性结果。
2024-12-29 math.DG math.MG
Rigidity and almost rigidity of Sobolev inequalities on compact spaces with lower Ricci curvature bounds
本文证明了：如果$M$是一个闭的$n$维黎曼流形$n \ge 3$，它具有${\rm Ric}\ge n-1$，并且它的临界Sobolev不等式中的最优常数等于$n$维球面$\mathbb{S}^n$中的最优常数，则$M$等距于$\mathbb{S}^n$ .还建立了几乎刚性的结果，即如果几乎达到相等，则$M$在Gromov-Hausdorff意义上接近于球形悬架。这些声明中获得的${\rm RCD}$ -设置（可能是非光滑的）度量测度空间满足合成的下里奇曲率界。我们的分析的一个独立的结果是Sobolev不等式的最佳常数的任何紧${\rm CD}$空间的特征，扩展到非光滑设置的经典结果由Aubin。我们的论证是基于${\rm RCD}$空间的mGH-收敛序列的一个新的集中紧性结果和${\rm CD}$空间的一个欧氏型Polya-Szego不等式.作为技术工具的应用，我们证明了Yamabe方程的存在性结果和广义Yamabe常数在测度格罗莫夫-豪斯多夫收敛下的连续性，在${\rm RCD}$ -设置。
2022-06-09 math.AP math.DG math.MG
Improvement of the dimension bound for unweighted RCD spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Warwick（华威大学）
该研究针对无权重RCD空间的维数界问题，证明有限维无权重RCD空间的维数界可自动改进为其Hausdorff维数，且在额外假设n-可求长性时，该结论对N=∞的情形也成立，推进了RCD空间理论的相关研究。
2026-09-01 math.DG math.MG
Principal frequency of clamped plates on RCD(0,N) spaces: sharpness, rigidity and stability
本文研究了满足 RCD(0,N) 条件的度量测度空间中夹紧板主频率的精细性质，在 N 接近 2 或 3 时提出了包含渐近体积比的新等周不等式，并证明了其锐度、基于锥结构的刚性及稳定性，结果对黎曼流形亦属全新。
2024-09-06 math.AP math.DG math.MG
Almost volume cone implies almost metric cone for annuluses centered at a compact set in $RCD(K, N)$-spaces
在\cite{CC1}中，Cheeger-Colding考虑了具有Ricci曲率下界的流形，给出了关于翘曲积的几乎刚性结果，包括几乎度量锥刚性和数量分裂定理。作为Ricci曲率下界流形的推广，对于$RCD(K, N)$，$1<N<\infty$中的度量测度空间，证明了\cite{Gi13}的分裂定理和点的球和环的“体积锥蕴涵度量锥”刚性.本文将Cheeger-Colding的\cite{CC1}关于“紧子集的环的几乎体积锥蕴涵几乎度量锥“的结果推广到$RCD(K, N)$ -空间。更准确地说，考虑$RCD(K, N)$ -空间$(X, d, \mathfrak m)$和Borel子集$Ω\subset X$ .如果闭子集$S=\partial Ω$有有限的外曲率，直径${diam}(S)\leq D$和平均曲率的$S$满足$$m(x)\leq m, \, \forall x\in S,$$和\begin{equation*}\mathfrak m(A_{a, b}(S))\geq (1-ε)\int_a^b \left({sn}'_H(r)+ \frac{m}{n-1}{sn}_H(r)\right)^{n-1}dr \mathfrak m_S(S)\end{equation*}然后$A_{a', b'}(S)$测量Gromov-Hausdorff接近扭曲产品$(a', b')\t…
2022-01-20 math.DG
Perelman's entropy and heat kernel bounds on RCD spaces
本文研究了有限维RCD空间上的Perelman W-熵泛函，严格论证了其时间导数公式并推导单调性与刚性性质，同时建立了具有独立意义的热方程解的界。
2025-03-04 math.DG
A Talenti-type comparison theorem for $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces and applications
我们证明逐点和$L^{p}$ -梯度比较结果椭圆狄利克雷问题的解决方案定义在一个（可能是非光滑的）空间的正里奇曲率（更精确地说，一个$\mathrm{RCD}(K,N)$度量测度空间，与$K>0$和$N\in (1,\infty)$）的开放子集。所得到的Talenti-type比较是尖锐的，刚性和稳定的$L^{2}$ /测量Gromov-Hausdorff拓扑，此外，几个方面似乎新的光滑黎曼流形。作为这种Talenti-type比较的应用，我们证明了一系列改进的Sobolev型不等式，以及St. Venant-Pólya扭转刚度比较定理（与相关的刚度和稳定性声明）。最后，我们给出了一个概率的解释（在设置光滑的黎曼流形）的上述比较结果，在出口时间从一个开子集的布朗运动。
2021-03-23 math.AP math.DG math.FA
Removability of non-isolated singularities for Einstein metrics and RCD spaces
本文建立了爱因斯坦度量及里奇曲率有下界度量的非孤立奇点可去性结果，证明特定奇异集外有界的度量可延拓，还可用于证明Schoen的标量曲率奇点猜想。
2026-09-02 math.DG math.MG
Ricci curvature bounds and rigidity for non-smooth Riemannian and semi-Riemannian metrics
本文研究低正则性度量的Riemannian与semi-Riemannian流形刚性问题，证明了Cheeger-Gromoll分裂定理和C^1平坦性准则，建立了非光滑度量和向量场的Bochner-Weitzenböck恒等式，并给出了分布Ricci曲率与RCD型界限等价性的新证明。
2025-07-16 math.DG math.MG
On quotients of spaces with Ricci curvature bounded below
设$(M,g)$是光滑黎曼流形，$\mathsf{G}$是有效地等距作用在$M$上的紧李群.众所周知，$(M,g)$的截面曲率的下界也是商空间的曲率的界，商空间是曲率在下面有界的亚历山德罗夫空间。此外，类似的稳定性性质也适用于度量叶理和淹没。本文的目的是证明相应的稳定性的综合里奇曲率下界。具体来说，我们表明，这种稳定性的$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间的子，同构紧群的行动下，更普遍的度量措施叶理和submetries。一个$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间是一个度量测度空间，它的上维数有界$N$，加权里奇曲率在广义意义下由$K$有界。特别地，这表明如果$(M,g)$具有由$K\in \mathbb{R}$和维度$N$限定的里奇曲率，则商空间是$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间。此外，我们解决了同样的问题，为$\mathsf{CD}/\mathsf{CD}^*$和$\mathsf{MCP}$曲率尺寸的条件。我们提供以及几何应用，其中包括：一个推广小林的分类定理齐性流形$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间与基本最小尺寸$n\leq N$ ;一个结构定理$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间承认行动的大（紧凑）群体;和几何刚性结果orbifolds，如程的最大直径和最大体积刚性定理。最后，在两…
2017-04-18 math.DG math.MG
The equality case in Cheeger's and Buser's inequalities on $\mathsf{RCD}$ spaces
本文证明了前两个作者在$\mathsf{RCD}(1,\infty)$空间框架下得到的Sharp Buser不等式是刚性的，即等式成立的充要条件是空间同构地分裂为Gauss空间.结果是新的，即使在顺利设置。我们还表明，在Cheeger不等式的平等从来没有达到的设置$\mathsf{RCD}(K,\infty)$空间有限直径或正曲率，我们提供了几个例子的空间与里奇曲率有界以下这些假设不满足和平等的实现。
2021-04-02 math.DG math.FA math.MG
Embedding of $RCD^*(K,N)$ spaces in $L^2$ via eigenfunctions
本文研究了紧$RCD^*(K,N)$空间$(X,d,m)$到$L^2(X,m)$的嵌入族$Φ_t$.推广了Bérard，Bérard-Besson-Gallot关于闭黎曼流形的部分经典结果，证明了由$Φ_t$诱导的重标拉回度量$Φ_t^*g_{L^2}$在$L^2(X,m)$中的收敛性为$t\downarrow 0$.此外，我们还讨论了$Φ_t^*g_{L^2}$相对于测量的Gromov-Hausdorff收敛和$t$的行为。应用包括定量$L^p$ -收敛在noncollapsed设置为所有$p<\infty$，新的结果，甚至封闭的黎曼流形和亚历山德罗夫空间。
2021-02-18 math.DG math.MG
Sharp Cheeger-Buser type inequalities in $ \mathsf{RCD}(K,\infty)$ spaces
本文的目标是锐化和概括涉及的Cheeger的等周常数$h$和拉普拉斯算子的第一特征值$λ_{1}$的界限。1970年Cheeger对光滑黎曼流形证明了$h$的一个著名的下界，即$λ_{1}\geq h^{2}/4$。关于$h$的一个上界是由Buser在1982年建立的（有维数常数），并由Ledoux在2004年改进（无维数估计），用于光滑黎曼流形，里奇曲率在下面有界。本文的目的有两个方面。第一个：我们锐化了Buser和Ledoux得到的不等式，得到了一个无量纲的尖锐Buser不等式，该不等式适用于具有（Bakry-Émery加权）里奇曲率的空间，该曲率由$K\in {\mathbb R}$限制（该不等式对于$K>0$是尖锐的，因为等式是在高斯空间上得到的）。第二个：我们的所有结果在综合意义下具有里奇曲率有界的度量测度空间（可能是非光滑的）的更高的一般性中成立，即所谓的$ \mathsf{RCD}(K,\infty)$空间。
2020-02-10 math.DG math.FA math.MG
A Talenti-type comparison theorem for the $p$-Laplacian on $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces and some applications
本文在正曲率$\mathrm{RCD}(K,N)$空间中证明带Dirichlet边界的$p$-Laplacian Talenti型比较定理，并据其得到第一特征函数的反向Hölder不等式与定量稳定性。
2024-01-21 math.DG math.MG
Quantitative maximal volume entropy rigidity on Alexandrov spaces
我们将证明在Alexandrov空间上定量的最大体积熵刚性成立。更精确地说，给定$N, D$，存在$ε(N, D)>0$，使得对于$ε<ε(N, D)$，如果$X$是一个具有曲率$\geq -1$，$\operatorname{diam}(X)\leq D, h(X)\geq N-1-ε$的$N$维亚历山德罗夫空间，那么$X$是接近于双曲流形的Gromov-Hausdorff。这一结果将\cite{CRX}的定量极大体积熵刚性推广到Alexandrov空间.在非塌缩情形下，我们也给出了$\op{RCD}^*$ -空间的一个定量的极大体积熵刚性.
2021-12-17 math.DG
Riemannian Ricci curvature lower bounds in metric measure spaces with $σ$-finite measure
利用度量空间中的最优输运和梯度流技巧，推广了黎曼曲率维数条件$RCD(K,\infty)$的概念（在参考测度是有限的情况下）由第一和第二作者Giuseppe Savare '，对于参考测度是$σ$ -有限的情况;以这种方式该理论包括自然的例子如被赋予勒贝格测度的欧几里得$n$维空间，和非紧流形与有界几何赋予黎曼体积测度。本文的另一个主要目标是简化$RCD(K,\infty)$的公理化（即使在有限参考测度的情况下），用$CD(K,\infty)$的经典概念代替严格$CD(K,\infty)$的假设。
2013-02-17 math.DG math.MG
Isometric immersions of RCD$(K,N)$ spaces via heat kernels
本文利用热核构造RCD$(K,N)$空间的等距浸入，证明紧致等距热核浸入空间必为无权重闭光滑黎曼流形，并给出相应黎曼流形类的$C^\infty$-紧性定理。
2023-02-25 math.DG math.MG
$\mathrm{RCD}^*(K,N)$ spaces and the geometry of multi-particle Schrödinger semigroups
有了$(X,\mathfrak{d},\mathfrak{m})$，一个用于某个$K\in\mathbf{R}$的$\mathrm{RCD}^*(K,N)$空间，$N\in [1,\infty)$，令$H$是由基础Cheeger形式诱导的自伴拉普拉斯算子。给定$α\in [0,1]$，我们在$(X,\mathfrak{d},\mathfrak{m})$上引入了$α$-Kato势类，并给出了该类中的一个势$V:X\to \mathbf{R}$，其中$H_V$是薛定谔算子$H+V$在$L^2(X,\mathfrak{m})$中的自然自伴实现，我们利用布朗耦合方法和微扰理论证明了对所有的$t>0$，存在一个显式给定的常数$A(V,K,α,t)<\infty$，使得对所有的$Ψ\in L^{\infty}(X,\mathfrak{m})$，$x,y\in X$一个有\begin{align*} \big|e^{-tH_V}Ψ(x)-e^{-tH_V}Ψ(y)\big|\leq A(V,K,α,t) \|Ψ\|_{L^{\infty}}\mathfrak{d}(x,y)^α. \end{align*}特别是，所有$L^{\infty}$ -特征函数的$H_V$是全球$α$ -Hölder连续。这一结果适用于多粒子薛定谔半群，并通过Hölder常数的显式性，揭示了此类算子的几何。
2020-08-17 math-ph math.DG math.MP
On the rigidity of Wasserstein contraction along heat flows
本文证明热流 Wasserstein 收缩刚性等价于 Bakry–Émery 梯度估计刚性，并在 RCD 空间与加权流形中推出等号情形的直线分裂及加权欧氏空间刻画。
2025-07-25 math.DG math.MG
Half Space Property in RCD(K,N) spaces
本文在RCD(K,N)空间中证明了半空间性质：对于抛物型RCD(0,N)空间，若周长最小化集合的边界包含于半空间，则该边界为水平切片的局部有限并集；对一般RCD(K,N)空间在全局最小化假设下同样成立，并由此得到极小超曲面的振荡估计与半空间定理。
2025-09-23 math.AP math.DG math.MG
On fundamental groups of RCD spaces
本文研究了 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间的基本群，在固定曲率、维数和直径有界条件下，证明了生成元个数有界、泛覆盖直径有界及包含阿贝尔子群等结论。
2023-04-13 math.DG math.MG
Optimal boundary regularity of harmonic maps from $RCD(K,N)$-spaces to $CAT(0)$-spaces
本文在$RCD(K,N)$度量测度空间中建立Gauss-Green公式，并应用于证明从$RCD(K,N)$空间到$CAT(0)$空间的调和映射的最优边界正则性，该结果对欧氏空间中Lipschitz域上的调和函数也是新的。
2025-05-26 math.DG math.MG
Heat flow on 1-forms under lower Ricci bounds. Functional inequalities, spectral theory, and heat kernel
研究了$\mathrm{RCD}(K,\infty)$空间$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$，$K\in\boldsymbol{\mathrm{R}}$上余切模$L^2(T^*M)$上的正则热流$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$.本文证明了Hess-Schrader-Uhlenbrock不等式，并证明了当$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$也是$\mathrm{RCD}^*(K,N)$空间时，$N\in(1,\infty)$，Bakry-Ledoux不等式对$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ w.r.t. $L^2(M)$上的热流$(\mathsf{P}_t)_{t\geq 0}$。这些估计的变量版本进行了讨论。结合对$1$ -形式的对数Sobolev不等式的研究，前面的不等式给出了$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$，$p\in [1,\infty]$的各种$L^p$ -性质.然后，我们建立显式包含其生成器，霍奇拉普拉斯$\smash{\vecΔ}$，负功能的拉普拉斯$-Δ$，和薛定谔算子$-Δ+K$的频谱之间。在$\mathrm{RCD}^*(K,N)$的情况下，我们证明了当$M$是紧的时，$\smash{\vecΔ^{-1}}$是紧的，并且在体积增长的条件下，$\smash{\v…
2022-06-13 math.DG math.FA math.MG
Convergence of pointed non-compact metric measure spaces and stability of Ricci curvature bounds and heat flows
本文讨论了点度量测度空间在没有紧性条件下的收敛性。我们提出了各种定义，证明了它们都是等价的，并且对于加倍空间，它们也等价于著名的测度-格罗莫夫-豪斯多夫收敛.然后，我们表明，曲率条件$CD(K,\infty)$和$RCD(K,\infty)$是稳定的，在这个概念下的收敛和热流传递到极限，以及在Wasserstein和$L^2$ -框架。我们还证明了在自然适应$Γ$ -Mosco意义下的Cheeger能量的变分收敛性和在空间一致有界或满足$RCD(K,\infty)$条件和$K>0$的情况下Laplacian谱的收敛性。当应用到黎曼流形，我们的结果允许序列的发散尺寸。
2013-11-19 math.AP math.DG math.FA
The rigidity of sharp spectral gap in nonnegatively curved spaces
该研究将非负Ricci曲率下的第一尖锐谱隙刚性推广到紧RCD(0,N)空间，证明谱隙取极值等价于空间为一维常密度，所用的Sobolev理论与奇异一维局部化结合的新技术有独立价值，并导出几乎刚性结果。
2023-05-07 math.AP math.DG math.MG
Lipschitz-Volume Rigidity and Globalization
设$X$和$Y$是长度度量空间。令$\mathcal H^n$表示$n$维Hausdorff测度。Lipschitz-体积刚性是指如果存在1-Lipschitz映射$f\colon X\to Y$和$0<\mathcal H^n(X)=\mathcal H^n(f(X))<\infty$，则$f$保持路径长度的性质，该性质对光滑流形成立，但对所有奇异空间不成立.本文综述了具有曲率下界的奇异空间上的Lipschitz体积刚性定理，并讨论了一些相关的公开问题。
2019-10-31 math.DG math.MG
Measure rigidity of synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds
本文研究了带边界的黎曼流形上的Lott-Sturm-Villani综合里奇曲率下界.我们证明了一些重要的泛函和几何不等式的测度刚性结果，这些结果完全刻画了带边界的黎曼流形上的${\rm CD}(K, \infty)$条件和非塌陷${\rm CD}(K, N)$条件.特别地，利用$L^1$ -最优运输理论，证明了${\rm CD}(K, \infty)$条件蕴涵测地线凸性.
2021-08-16 math.DG math.FA math.MG
Scalar curvature rigidity of spheres with subsets removed and $L^\infty$ metrics
Institute of Mathematics, Chinese academy of sciences（中国科学院数学研究所）；Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯农工大学数学系）
本文研究了在 $L^\infty$ 度量下，球面部分移除后的标量曲率刚性问题，证明了满足特定包裹性质的闭集的标量曲率刚性，并进一步推广到托里上远离某些子集的 $L^\infty$ 度量情况，作为推论得到了关于完备渐近扁旋 manifold 的正质量定理。
2026-05-20 math.DG
Isometric Rigidity of compact Wasserstein spaces
设$(X,d,\mathfrak{m})$是度量测度空间. Wasserstein空间$(\mathbb{P}_p(X),\mathbb{W}_p)$与$X$的研究已被证明是有用的，在描述几个几何性质的$X.$在本文中，我们专注于研究等距的$\mathbb{P}_p(X)$为$p \in (1,\infty)$的假设下，有一些表征措施之间的最佳映射，所谓的良好的运输行为$GTB_p$。我们的第一个结果指出，狄拉克三角洲的集合是不变的等距下的Wasserstein空间。此外，我们还得到了基黎曼流形$M$的等距群与Wasserstein空间$\mathbb{P}_p(M)$的等距群在流形的假设下是一致的，即对于$p=2$，截面曲率是严格正的，对于一般的$p\in (1,\infty)$，$M$是紧致秩一对称空间.
2021-02-17 math.DG math.MG
Rigidity of the L^p norm of the Poisson bracket on surfaces
对于辛流形$M$，令$\{\cdot,\cdot\}$是相应的泊松括号。本文证明了当$\dim M = 2$和$p < \infty$满足时，泛函$(F,G) \mapsto \|\{F,G\}\|_{L^p(M)}$关于$C^\infty_c(M)$上的$C^0$ -范数是下连续的，推广了以前关于$p = \infty$在任意维上的刚性结果.
2016-09-28 math.DG math.SG
Codimension Bounds and Rigidity of Ancient Mean Curvature Flows by the Tangent Flow at $-\infty$
受一类显式紧致古曲线缩短流的极限行为的启发，我们利用古平均曲率流在$-\infty$上的切流证明了古平均曲率流的余维界，推广了[CM 19 b]中关于圆柱的一个定理.在$m$ -覆盖圆的情况下，我们应用这个界证明了一个强刚性定理。此外，我们扩展了这种范式下，充分快速收敛的假设下，一个紧凑的古代中曲率流是相同的，它的切线流在$-\infty$。
2021-10-26 math.AP math.DG
Heat Kernel Bounds on Metric Measure Spaces and Some Applications
设$(X,d,μ)$是一个具有$K\in \mathbb{R}$和$N\in [1,\infty]$的$RCD^\ast(K, N)$空间。对于$N\in [1,\infty)$，利用抛物Harnack不等式和比较原理，得到了$(X,d,μ)$上热核的上、下界及其梯度的精确界.当$N=\infty$时，我们还利用无量纲Harnack不等式建立了热核的一个尖锐的上界。作为应用，我们研究了热核的大时间行为，热方程解的稳定性，并证明了（局部）里斯变换的$L^p$有界性。
2015-12-01 math.AP math.DG math.MG
Stability of metric measure spaces with integral Ricci curvature bounds
本文研究了w.r.t.的稳定性和紧性。具有整里奇曲率界光滑度量测度空间的测度Gromov-Hausdorff收敛性更精确地说，我们证明了一个序列的$n$维黎曼流形子收敛到一个度量测度空间，满足曲率维数条件$CD(K,n)$在Lott-Sturm-Villani的意义下提供的$L^p$ -范数$p>\frac{n}{2}$的一部分的里奇曲率低于$K$收敛到$0$。对于一般光滑度量测度空间$(M,g_M, e^{-f}\mbox{vol}_M)$，当Bakry-Emery曲率代替里奇曲率时，所得结果也成立.推论是一个Brunn-Minkowski型不等式，一个Bonnet-Myers估计和一个关于基本群有限性的陈述。与一致的非塌缩条件一起，极限甚至满足黎曼曲率维数条件$RCD(K,N)$。这意味着体积和直径几乎刚性定理。
2020-07-28 math.DG math.MG
Non-collapsed eGH convergence and dimension
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；Universidad Politécnica de Madrid（马德里理工大学）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）
本文研究了非塌陷eGH收敛下等度群维度的下界，推广了Mazur-Rong-Wang的结果，并应用于RCD空间的大等度群研究。
2026-07-08 math.DG math.MG
Convergence of the area functional on spaces with lower Ricci bounds and applications
本文证明热流在 RCD 空间上逼近面积泛函，建立面积公式与松弛一致性，获得周长最小化函数的正则性与唯一性，并应用于极限空间中的极小元逼近及 Ricci 极限空间。
2025-01-21 math.DG
On the regularity of harmonic maps from ${\sf RCD}(K,N)$ to ${\sf CAT}(0)$ spaces and related results
本文证明了从 RCD(K,N) 空间到 CAT(0) 空间的调和映射的 Lipschitz 估计，结合 Moser 迭代、Bochner 型不等式与逆 Poincaré 不等式，并提出了一个关键变分原理与 Rademacher 型结果。
2023-08-04 math.AP math.DG math.MG
McKean Rigidity for Cocompact Negatively Curved Manifolds and the \(p\)-Laplacian
Tsinghua University（清华大学）
该研究针对截面曲率不超过-1的闭黎曼流形，证明其万有覆叠的底部谱达到McKean下界当且仅当万有覆叠为常曲率-1的双曲空间，还推广了p-基本音的相关刚性结果，通过转化缺陷为平稳测度并利用热核正性完成证明。
2026-08-04 math.DG
The Li-Yau Inequality and Heat Kernels on Metric Measure Spaces
设$(X,d,μ)$是一个具有$K\in mathbb{R}$和$N\in [1,\infty)$的$RCD^\ast(K, N)$空间。设$(X,d)$是连通的、完备的、可分的，且$\supp μ=X$ .本文证明了当$K\ge 0$时，热流的Li-Yau不等式在$(X,d,μ)$上成立。在$(X,d,μ)$上对一般的$K\in \mathbb{R}$建立了热流的Baudoin-Garofalo不等式和Harnack不等式.本文还研究了热核的大时间行为。
2014-10-30 math.AP math.DG math.MG
On $BV$ functions and essentially bounded divergence-measure fields in metric spaces
本文利用N. Gigli，我们首先给出了完备可分度量测度空间$(\mathbb{X},d,μ)$上的有界变差函数（$BV$）的概念，该度量测度空间具有在有界集上有限的非负Radon测度$μ$.然后，我们扩展的概念，任何$p\in[1,\infty]$的发散测度向量场$\mathcal{DM}^p(\mathbb{X})$，并通过简单地要求，此外，度量空间是局部紧的，我们确定了适当的一类域，它是可能的，以获得一个高斯-格林公式的正规迹的$\mathcal{DM}^\infty(\mathbb{X})$向量场。这种微分机制也是我们专门分析${\mathsf{RCD}(K,\infty)}$空间的自然框架，在这里，我们利用潜在的几何来确定$\mathcal{DM}^\infty(\mathbb{X})$的莱布尼茨规则，并最终扩展我们对高斯-格林公式的讨论。
2021-09-22 math.AP math.DG math.MG
A rigidity result of spectral gap on Finsler manifolds and its application
本文研究了加权里奇曲率有界的Finsler流形上的锐谱隙的刚性问题，得到了$\text{Ric}_{\infty} \geq K > 0$ .我们的主要结果表明，如果等式成立，流形必然允许一个同构分裂（或等距分裂的特殊类的Berwald空间）。这种分裂现象可与Ohta的Cheeger-Gromoll型分裂定理相比较。作为推论，我们还利用Needle分解得到了对数Sobolev不等式和Bakry-Ledoux不等式的等周不等式的刚性结果.
2022-07-23 math.DG
A boundary version of Cartan-Hadamard and applications to rigidity
本文证明了关于维数为$n\neq 5$且具有非空全测地边界的负曲流形的经典Cartan-Hadamard定理的一个版本。更精确地说，如果$M_1^n,M_2^n$是任意两个这样的流形，我们证明了（1）$\partial ^\infty \tilde M_1^n$同胚于$\partial ^\infty \tilde M_2^n$，（2）$\tilde M_1^n$同胚于$\tilde M_2^n$。作为一个例子，我们证明了简单的，厚的，负弯曲的P-流形的尺寸$\geq 6$是拓扑刚性的。我们包括一些简单的后果拓扑刚性（图刚性，弱的共同的霍普夫财产，和尼尔森实现问题）。
2006-06-24 math.DG math.GR math.GT
An elementary approach to some rigidity theorems
利用初等比较几何，证明了：设$(M,g)$是维数为$(M,g)$的单连通完备黎曼流形.假设截面曲率$K$满足$ -1-s(r) \le K \le -1$，其中$r$表示到$M$中的固定点的距离。如果是$\lim_{r \rt \infty} e^{2r}s(r) =0$，则$(M,g)$必须与${\mathbb H}^n$等距。同样的证明还得出，如果$K$满足$-s(r) \le K \le 0$，其中$\lim_{r \rt \infty} r^2s(r)=0$，则$(M,g)$与$\R^n$等距，这是Greene和Wu的结果。我们的第二个结果是局部的：设$(M,g)$是任意的黎曼流形。对于$a \in \R$，如果$M$中测地线球$B_p(R)$上的$K \le a$和$\partial B_p(R)$上的$K = a$，则$B_p(R)$上的$K= a $。
2008-01-01 math.DG
Integral of Scalar Curvature: Sharp Asymptotic Bounds and Rigidity
Tsinghua University（清华大学）
该研究针对非负截面曲率的完备非紧流形，建立了数量曲率积分的尖锐渐近界及刚性分类，并推广到闭流形情形。
2026-09-23 math.DG
Polya-Szego inequality and Dirichlet $p$-spectral gap for non-smooth spaces with Ricci curvature bounded below
本文研究了定义在（可能是非光滑的）度量测度空间上的函数的递减重排，这种度量测度空间的里奇曲率由$K>0$限制，维数由$N\in (1,\infty)$限制，即所谓的$CD(K,N)$空间.我们首先建立了一个Polya-Szego型不等式，说明$W^{1,p}$ -Sobolev范数在这样的重排下减小，并应用该结果对每个$p\in (1,\infty)$显示出具有Dirichlet边界条件的$p$ -Laplace算子（在开子集上）的尖锐谱隙。这延伸到非光滑设置一个经典的结果贝拉尔迈耶和马泰;显着的例子空间装修的框架和结果似乎新的包括：测量格罗莫夫豪斯多夫限制黎曼流形与里奇$\geq K>0$，有限维亚历山德罗夫空间的曲率$\geq K>0$，芬斯勒流形与里奇$\geq K>0$。在本文的第二部分中，我们证明了新的刚性和几乎刚性的结果附加到上述不等式，在$RCD(K,N)$空间的框架下，这似乎是原始的，甚至光滑黎曼流形与Ricci $\geq K>0$。
2019-11-01 math.DG math.FA math.MG
New stability results for sequences of metric measure spaces with uniform Ricci bounds from below
本文的目的是提供新的稳定性结果的度量测度空间序列的$(X_i,d_i,m_i)$收敛于测量Gromov-Hausdorff意义。通过采用将所有度量空间嵌入到一个公共的$(X,d)$中的所谓的外部方法，我们推广了Gigli-Mondino-Savaré的结果，给出了在整个Sobolev空间$H^{1,p}$范围内Cheeger能量的Mosco收敛性和紧性定理，包括空间$BV$，甚至是变指数的空间$p_i\in [1,\infty]$ .此外，建立在Ambrosio-Stra-Trevisan的结果，我们提供了局部收敛结果的梯度导子。我们使用这些工具，以改善频谱稳定性的结果，以前已知的$p>1$和Ricci极限空间，获得连续的Cheeger常数。在维数情形$N<\infty$中，改进了Ketterer和Cavaletti-Mondino的一些刚性和几乎刚性结果.在Gigli的二阶微积分的基础上，在$RCD(K,\infty)$空间类中，我们给出了Hessians函数和$W^{2,2}$函数的稳定性结果，并讨论了Bakry-Émery条件$BE(K,N)$和${\bf Ric}\geq KI$的稳定性，其中$K$和$N$不一定是常数.
2016-07-05 math.AP math.DG math.FA
Rigidity theorems of complete Kähler-Einstein manifolds and complex space forms
利用Weitzenböck公式分别对具有常数量曲率的Kähler流形的无迹Ricci张量和Kähler-Einstein流形的Bochner张量导出了一些椭圆型微分不等式.利用椭圆估计和最大值原理，建立了一些$L^p$和$L^\infty $ pinching结果，刻画了常数量曲率Kähler流形中的Kähler-Einstein流形，以及刻画了Kähler-Einstein流形中的复空间型.最后，这些拼挤结果可以结合起来刻画具有常数数量曲率的Kähler流形中的复空间型。
2014-09-12 math.DG
Rigidity of conformal submersions and quasi-Einstein manifolds
Indian Institute of Science Education and Research Bhopal（印度科学教育研究所博帕尔分校）
本文研究仿射子浸入和准爱因斯坦流形的刚性概念，通过子浸入技术证明了闭合准爱因斯坦流形在λ>0时的刚性结果，探讨了曲率条件对子浸入和相关流形刚性的影响。
2026-04-23 math.DG
Spectral rigidity of manifolds with Ricci bounded below and maximal bottom spectrum
本文研究满足渐近双曲型 Ricci 下界的完备非紧流形，证明底端谱达到最大临界值时 Laplacian 谱与双曲空间一致，并可局部化到无限体积端。
2025-07-27 math.DG math.SP
