Distances and intersections of curves
Yohsuke Watanabe
我们得到了一个粗略的关系曲线的几何相交数和它们的地下投影距离的总和显式准常数。利用这一关系，我们给出了曲线图和映射类群研究中的应用。
We obtain a coarse relationship between geometric intersection numbers of curves and the sum of their subsurface projection distances with explicit quasi-constants. By using this relationship, we give applications in the studies of the curve graphs and the mapping class groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The curve complex as a coset intersection complex
本文证明了陪集交复形与曲线复形在测度和同伦上等价，并展示了其自同构群为扩展映射类群，支持伊万诺夫元猜想。
Splittings of groups and intersection numbers
我们证明了自相交数为零的曲面上的曲线同伦于简单曲线的覆盖，以及自相交数为零的曲面上的两条简单曲线可以保序为不相交的事实的代数类比。
Minimal intersection of curves on surfaces
在八十年代高盛发现了一个李代数结构的向量空间所产生的自由同伦类定向曲线上的一个定向表面。李括号[a，b]被定义为a和b的交点上的圈积在交点处的有符号和。如果其中一类有一个简单的代表，我们给一个组合群论描述的条款的李括号，并证明，这个括号有尽可能多的条款，计数与多重性，作为最小数目的交点的a和b。换句话说，具有简单元素的括号没有取消并且确定最小的相交数。我们发现，类似的结果举行的李括号（也发现了高盛）的无方向曲线。我们给出三个应用：一个因式分解的瑟斯顿地图定义的边界Teichmuller空间，各种分解的基本向量空间的共轭类到广告不变子空间和双射之间的连接的一组共轭类曲线的表面上保持戈德曼括号和映射类群。
Geometric Intersection Number and analogues of the Curve Complex for free groups
对于有限秩的自由群$N \geq 2$，我们构造了一个规范的Bonahon型连续和$Out(F_N)$不变的\emph{geometric intersection form} \[ <, >: \bar{cv}(F_N)\times Curr(F_N)\to \mathbb R_{\ge 0}. \]这里$\bar{cv}(F_N)$是非投影化的Culler-Vogtmann外层空间$cv(F_N)$在等变Gromov-Hausdorff收敛拓扑中（或者等价地，在长度函数拓扑中）的闭包。已知$\bar{cv}(F_N)$由$F_N$在$\mathbb R$ -树上的所有\emph{very small}极小等距作用组成. $\bar{cv}(F_N)$的投影化提供了一个自由群类似于瑟斯顿的泰希米勒空间的紧化。作为应用，利用由交形式确定的\emph{intersection graph}，我们证明了自由群背景下曲线复形的几个自然类似物具有无穷大直径。
Curves on surfaces with prescribed pairwise intersection numbers
本文研究在环面及最小亏格曲面上构造具有指定成对相交数的简单闭曲线系统的问题，给出了环面情形下可实现性的充分必要条件，并对一般最小亏格实现问题提供了部分结果。
Intersection norms are integer norms on the first homology group of a surface. In this article, we prove that there are some polytopes which are not dual unit balls of such norms. By the way, we investigate the set of collections of curves on $Σ$2 whose complement is a disk.
Intersection numbers in the curve graph with a uniform constant
本文导出了曲线图中测地线和紧测地线所含曲线的相交数不等式。虽然已经存在这样的不等式紧测地线，我们的方法适用于设置的测地线。此外，该方法给出的不等式的一致常数只依赖于拓扑的曲面。
Geometric intersection of curves on punctured disks
给出了一个计算n次穿孔圆盘上一类积分层与另一类积分层的几何相交数的方法。当与Dynnikov和Wiest的算法相结合时，这提供了一种找到两个任意积分叠层的几何相交数的方法。
A flat virtual link is a finite collection of oriented closed curves $\mathfrak L$ on an oriented surface $M$ considered up to virtual homotopy, i.e., a composition of elementary stabilizations, destabilizations, and homotopies. Specializing to a pair of curves $(L_1,L_2)$, we show that the minimal number of intersection points of curves in the virtual homotopy class of $(L_1, L_2)$ equals to the number of terms of a generalization of the Anderson--Mattes--Reshetikhin Poisson bracket. Furthermore, considering a single curve, we show that the minimal number of self-intersections of a curve in i…
Geometry of meromorphic functions and intersections on moduli spaces of curves
本文研究曲线的模空间上相交数与Hurwitz数之间的关系。首先证明了曲线模空间上（广义）多项式通过交点表示Hurwitz数的两个公式。然后，我们显示，如何相交数可以通过Hurwitz数表示。进而得到了一个用基色的相关函数表示相交数$<τ_{n,m}\prod_{i=0}^{r-1}τ_{0,i}^{k_i}>_g$的算法。
Intersection numbers in the curve complex via subsurface projections
Lickorish和Hempel提出的一个经典不等式指出，曲线群中两条曲线之间的距离可以用它们的相交数来度量。在本文中，我们展示了一个相反的版本，两条曲线的相交数可以通过它们之间的所有地下投影距离的总和来测量。作为这个结果的应用，我们得到了紧多重测地线中多重曲线的相交数的一个粗减性质。利用这一性质，给出了一个确定曲线复形中两条曲线间距离的算法。事实上，这样的算法也发现了伯曼-Margalit-Menasco，Leasure，沙克尔顿，和韦伯：我们将简要地比较我们的算法与他们的一些算法，详细的定量比较所有已知的算法，包括我们的算法，我们请读者的文件伯曼-Margalit-Menasco \cite{BMM}。
A fast algorithm for counting intersections of two normal curves on a triangulated surface is proposed. It yields a convenient way for treating mapping class groups of punctured surfaces by presenting mapping classes by matrices, and the composition by an exotic matrix multiplication. An efficient solution of the word problem for mapping class groups of punctured surfaces is proposed, with efficiency understood in a more restrictive way than the most common one.
A topological viewpoint on curves via intersection
本文研究闭曲线能否由相交次数确定，构造并分析 $k$-等价曲线，揭示其与简单曲线相交的性质，并以定量方法联系 Otal 定理。
Intersections of curves on surfaces and their applications to mapping class groups
我们介绍了一个操作，测量的自相交的路径上的表面。作为应用，我们给出了广义Dehn扭可实现的一个判据，并导出了Johnson同态象的一个几何约束。
Small intersection numbers in the curve graph
令$S_{g,p}$表示具有$p \ge 0$穿刺的亏格$g$可定向曲面，令$ω(g,p)= 3g+p-4$。证明了曲线图中存在无限长的测地线$\left\{v_{0},v_{1}, v_{2}, ...\right\}$满足以下最优相交性质：对任意自然数$k$，任意长度$k$子段的端点$v_{i},v_{i+k}$相交$O(ω^{k-2})$次.通过结合第一作者的工作，我们回答了丹·马加利特的一个问题。
Geometric intersection number of simple closed curves on a surface and symplectic expansions of free groups
对于具有连通边界的紧致可定向曲面上的两条定向简单闭曲线，我们引入了曲面的第一同调群中一个值的简单计算，在某些情况下，当曲线的代数相交数为零时，它检测出曲线的几何相交数大于零.从对应于曲线的表面的基本群的两个元素计算的值，在其中一个元素与其沿另一个元素的德恩扭曲作用的图像之间的差中找到。描述自由群的差辛展开是一个有效的工具，因为我们有一个关于Dehn扭对因N而展开的目标空间的作用的显式公式。Kawazumi和Y.久野
Homeomorphic approximation of the intersection curve of two rational surfaces
提出了一种计算两个有理参数曲面$§_1(u,s)$和$§_2(v,t)$的交线$\mathcal{C}$的方法，其中一个曲面是可投影的，因此易于隐式化.将参数曲面插入隐式曲面会生成平面代数曲线$G(v,t)=0$。通过分析$G(v,t)=0$的拓扑图$\G$和相交曲线$\mathcal{C}$上的奇点，我们将空间拓扑图与$\mathcal{C}$联系起来，它与$\mathcal{C}$同胚，从而使我们在给定精度下得到$\mathcal{C}$的一个近似.
Self-intersection numbers of length-equivalent curves on surfaces
具有负欧拉示性数的可定向曲面中的两个自由同伦闭曲线类称为长度等价的，如果对曲面上的任意双曲结构，其中一类自由同伦闭曲线的测地线的长度等于另一类自由同伦闭曲线的测地线的长度.我们发现，有两个生成器的自由群中的元素是长度相等的，并具有不同的自相交数的元素在基本群的穿孔环面和元素在一条裤子。这一结果回答了关于长度等价类的公开问题，并提出了新的问题。
Stabilization, amalgamation, and curves of intersection of Heegaard splittings
我们解决一个特殊的情况下的稳定化问题的Heegaard分裂，建立一个上界的数量稳定化所需的Haken 3-歧管同位素的Heegaard分裂的合并沿本质表面。结果表明，对于任意正整数$n$，存在包含本质环面和Heegaard分裂的3-流形，使得环面和分裂面至少相交于$n$简单闭曲线.这些给出了第一个例子的下界的最小数量的曲线之间的相交的基本表面和Heegaard表面是大于一。
Self-intersection numbers of curves in the doubly-punctured plane
我们解决的问题的计算边界的自相交数（最小数目的自交点）的成员的自由同伦类的曲线在双穿孔平面作为其组合长度L的函数，这是一个最小的描述类的标准发电机的基本群和他们的逆所需的字母的数目。我们证明了自相交数在上界为L^2/4 + L/2 - 1，并且当L为偶数时，这个界是尖锐的;在这种情况下，正好有四个不同的类达到这个界。当L是奇数时，我们在某些情况下建立了一个更小的限制性上界（（L^2 - 1）/4）;在那里我们证明了它是尖锐的。此外，对于双穿孔平面，这些自相交数的界如下：如果L是偶数，则为L/2 - 1，如果L是奇数，则为（L - 1）/2;这些界是尖锐的。
Mapping class group orbits of curves with self-intersections
研究了自相交曲线的同伦类和合线类的映射类群轨道。我们展示了这样的轨道的曲线与有界数量的自相交的数量的渐近性，作为表面的复杂性趋于无穷大。我们还考虑了包含曲线的次表面的最小亏格。当曲面的复杂性趋于无穷大时，我们确定了具有固定极小亏格和有界自相交数的曲线的轨道的渐近数。作为我们的方法的推论，我们得到，大多数曲线是同伦的也是同位素。利用Basmajian的一个定理，得到了在给定的可包含短曲线的双曲曲面上映射类群轨道个数的一个界.对于一个固定的长度，这个界限是多项式的表面的签名。我们使用的参数是基于计数带状图的嵌入。
Self-intersection numbers of curves on the punctured torus
在穿孔环面上的自由同伦曲线类的成员的最小自交点的数目，是根据用基本群及其逆的生成元对该类进行最小描述所需的字母数目L而定的：如果L是偶数，则它小于或等于（L-2）^2/4;如果L是奇数，则它小于或等于（L-1）（L-3）/4。达到这个界限的类用生成元来明确描述;如果L是偶数，则有（L-2）^2 + 4个生成元，如果L是奇数，则有2（L-1）（L-3）+ 8个生成元;对于自相交数等于比最大值小小于的类，也给出了类似的描述和总数。证明使用组合计算和拓扑操作的代表曲线。计算机生成的数据被制成表格，对于每个非负整数，对于每个长度L小于或等于12，计算有多少长度L类具有该自相交数。实验数据也提出了对裤子表面。
Monodromy and vanishing cycles for complete intersection curves
本文研究了完全交曲线的monodromy与消失环，通过r-spin映射类群和张量积线丛的工具，实现了对(multi-)度数的归纳分析。
Generalized Kronecker formula for Bernoulli numbers and self-intersections of curves on a surface
给出了一个新的$m$阶Bernoulli数$B_m$的显式表达式，它包含两个整数参数$a$和$n$，其中有$0\le a\le m\le n$ .如果我们设置$a=0$和$n=m$，则公式简化为著名的$B_m$的克罗内克公式。给出了公式的两个证明。一个是解析的，使用两个变量的某个函数。另一个是代数的，是由有向曲面上的曲线自相交的拓扑考虑。
The geometric intersection number of a curve on a surface is the minimal number of self-intersections of any homotopic curve, i.e. of any curve obtained by continuous deformation. Given a curve $c$ represented by a closed walk of length at most $\ell$ on a combinatorial surface of complexity $n$ we describe simple algorithms to (1) compute the geometric intersection number of $c$ in $O(n+ \ell^2)$ time, (2) construct a curve homotopic to $c$ that realizes this geometric intersection number in $O(n+\ell^4)$ time, (3) decide if the geometric intersection number of $c$ is zero, i.e. if $c$ is hom…
This is a revision of some expository lecture notes written originally for a 5-hour minicourse on the intersection theory of punctured holomorphic curves and its applications in 3-dimensional contact topology. The main lectures are aimed primarily at students and require only a minimal background in holomorphic curve theory, as the emphasis is on topological rather than analytical issues. Some of the gaps in the analysis are then filled in by the appendices, which include self-contained proofs of the similarity principle and positivity of intersections, and conclude with a "quick reference" fo…
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