Asymptotic Betti numbers for hard squares in the homological liquid regime
本文研究了$q$ × $p$中$n$有序单位正方形的位形空间$C(n; p, q)$.我们的目标是估计大$n$、$j$、$p$和$q$的贝蒂数。我们考虑面积归一化坐标序列，其中当$n$、$j$、$p$和$q$接近无穷大时，$(\frac{n}{pq}, \frac{j}{pq})$收敛。对于每一个序列，收敛到一个点的“可行域“中的$(x,y)$平面，我们证明了阶乘增长率的贝蒂数是相同的阶乘增长率的$n!$。这意味着（1）贝蒂数远大于平面中$n$有序点的位形空间，其具有$j!$的阶乘增长率，以及（2）可行区域中的每个点最终都处于同调液体状态。
2022-07-26 math.AT math.CO
Central Limit Theorems for Persistent Betti Numbers
Mathematical Science Center for Co-Creative Society, Tohoku University（东北大学共创社会数学科学中心）
本文提出基于同调代数的方法，为泊松和吉布斯点过程构造的链复形推导持久Betti数的中心极限定理，并应用于多种同调情形。
2026-09-09 math.AT math.PR
Betti numbers of small covers and their two-fold coverings
指出了关于简单多面体小覆盖上同调的Davis-Januszkiewicz定理证明中的一个缺陷，并给出了一个修正.我们利用这个定理来明确计算小覆盖上的一类广泛的二重覆盖的贝蒂数。我们描述了一系列的例子，在这个类，并解释为什么这个类原来是特殊的背景下的一般问题的计算模2贝蒂数的两个折叠覆盖在小覆盖。
2017-09-20 math.AT
Von Neumann Betti numbers and Novikov type inequalities
证明了当用von Neumann贝蒂数代替Novikov数时，闭1-形式临界点的Novikov不等式成立.作为推论，我们得到了$L^2$上同调的一个消灭定理，推广了W.卢克我们还证明了vonNeumann贝蒂数与自由阿贝尔覆盖的Novikov数是一致的。
1998-10-18 math-ph math.AT math.DG
A limit theorem for the $1$st Betti number of layer-$1$ subgraphs in random graphs
本文开创了随机图局部拓扑的研究。高级目标是描述图中的局部“图案”。在本文中，我们考虑我们所谓的层$r$子图的输入图$G = (V,E)$：具体地说，层$r$子图在顶点$u \in V$，表示为$G_{u; r}$，是诱导子图的$G$的顶点集$Δ_{u}^{r}:= \left\{v \in V: d_G(u,v) = r \right\}$，其中$d_G$是最短路径距离$G$。将一个图看作是一个一维单纯复形，我们的目标是研究这类子图的$1$ st贝蒂数.我们的主要结果是：Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$的层- $1$子图的$1$ st贝蒂数满足中心极限定理.
2019-11-01 cs.DM math.AT math.CO
Amenable covers, volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds
我们提供了一个证明之间的不平等的体积和L2-贝蒂数的非球面流形格罗莫夫概述了一个战略的基础上的一般思想的Connes。该策略的实现涉及到测量等价关系，R-单纯复形的Gaboriau的L2-贝蒂数理论，以及可测群论的其他主题。进一步证明了L2-贝蒂数的消灭定理，推广了Cheeger和Gromov的一个经典结果.作为推论之一，我们得到了一个间隙定理，当非球面流形的极小体积足够小时，该定理意味着非球面流形的L2-贝蒂数为零。
2008-06-30 math.AT math.DG math.DS
$L^2$-Betti numbers of totally disconnected groups and their approximation by Betti numbers of lattices
主要结果是全不连通的群中格的Farber序列的正规化贝蒂数的一般逼近定理。进一步，我们对全不连通的群的$L^2$贝蒂数的一般理论作了一些计算和补充.
2018-01-26 math.AT math.GR math.OA
Homology bounds for hyperbolic orbifolds
我们将给出双曲轨道同调的贝蒂数和挠率部分的界。这些边界在体积上是线性的，并且是厚部分的有效单纯模型的直接结果，我们也将构造该模型。的同源性声明补充以前的工作巴德，Gelander和绍尔（扭转同源性的流形），Samet（贝蒂数的orbifolds）和一个经典定理格罗莫夫（贝蒂数的流形）。对于算术，非紧双曲orbifolds -即在算术的情况下，非均匀格在$\operatorname{Isom}(\mathbb{H}^n)$ -最强的结果将获得。
2020-12-30 math.AT math.GT
Curvature, diameter and bounded Betti numbers
本文研究有界Betti数，利用Kapovitch与Wilking证明的广义Margulis引理，为闭黎曼流形有界Betti数的有界性定理提供现代支撑，并探讨相关拓扑意义。
2026-10-14 math.AT math.DG
Law of large numbers for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes
Linial-Meshulam复合模型是Erdens-Rényi图模型的自然高维模拟。近年来，Linial和Peled建立了Linial-Meshulam复形的贝蒂数的一个极限定理，该定理具有适当的参数尺度.本文旨在将这一结果推广到更一般的随机单纯复形模型。引入了一类齐次且空间独立的随机单纯复形，包括Linial-Meshulam复形模型和随机团复形模型，并研究了它们的贝蒂数的渐近性质.此外，我们还得到了它们的拉普拉斯算子的经验谱分布的收敛性。论证中的一个关键要素是单纯复形的局部弱收敛。受Linial和Peled工作的启发，我们建立了齐次空间独立随机单纯复形的局部弱极限定理。
2021-01-22 math.AT math.CO math.PR
Rational homotopy type of the space of immersions of a manifold in an euclidian space
设$M$是有限型单连通$m$维流形，$k$是正整数.本文证明了$M$在$\mathbb{R}^{m+k}$中的浸入空间的每个分支的有理贝蒂数都是多项式增长的。由此，我们推出，如果$M$是一个具有欧拉示性数的流形，则光滑嵌入的贝蒂数$χ\left(M\right)\leq -2$是指数增长性的，如果$k\geq m+1$ .这项工作的主要工具是沉浸空间的明确模型的建设。
2015-06-17 math.AT
Euler series, Stirling numbers and the growth of the homology of the space of long links
研究了$\mathbb{R}^N$中长链空间$l$弦的Munson-Volić余单模型的Bousfield-Kan谱序列.我们显式地计算了与该谱序列第二页相关联的一些Euler-Poincaré级数，并推导出它们的贝蒂数的指数增长性。
2015-05-18 math.AT
Polynomial hierarchy, Betti numbers and a real analogue of Toda's theorem
户田在1989年证明了（离散的）多项式时间层次结构$\mathbf{PH}$包含在类$\mathbf{P}^{#\mathbf{P}}$中，即可以由图灵机在多项式时间内决定的语言类，该图灵机可以访问具有计算计数复杂性类$#\mathbf{P}$中的函数的能力的预言。这个结果说明了计数的力量，被认为是计算复杂性理论中的一个开创性的结果。到目前为止，在实数上的复杂性理论（在Blum-Shub-Smale真实机器的意义上）中还没有类似的结果。在本文中，我们制定和证明一个真正的模拟户田定理。不像户田的证明在离散的情况下，这依赖于复杂的组合参数，我们的证明是拓扑的性质。由于我们的技术，我们也能够涉及到计算硬度的两个非常好的研究问题，在算法半代数几何-即问题的决定句子在一阶理论的实数与常数数量的量词交替，并计算贝蒂数的半代数集。我们得到了一个多项式时间减少的第一个问题的紧凑版本的第二个。后者的结果可能是独立的兴趣，研究人员在算法半代数几何。
2010-01-09 cs.CC math.AT math.CO
Limit theorems for random cubical homology
本文研究了$\mathbb{R}^d$中的随机立方集。给定一个立方体集$X\subset \mathbb{R}^d$，随机变量$ω_Q\in[0,1]$被分配给$X$中的每个基本立方体$Q$，并且随机立方体集$X(t)$由$X$的子级集定义，该子级集由每个$t\in[0,1]$具有$ω_Q\leq t$的基本立方体组成。在此背景下，本文的主要结果给出了随机立方集和滤子的Betti数和寿命和的极限定理（大数定律和中心极限定理）.除了极限定理外，还证明了极限Betti数的正性.
2018-03-19 math.AT math.PR
Betti numbers and stability for configuration spaces via factorization homology
利用因子分解同调，我们将任意流形$M$（可能有边界）的无序位形空间的有理同调实现为由$M$的紧支撑上同调构造的李代数的同调.通过在这个李代数的Chevalley-Eilenberg复形中定位每个位形空间的同调，我们推广了Bödigheimer-Cohen-Taylor和Félix-Thomas的定理，并给出了Church和Randal-Williams的同调稳定性结果的一个新的组合证明.我们的方法适合于明确的计算，其中的例子，我们包括。
2017-01-26 math.AT
A spectral sequence to compute L2-Betti numbers of groups and groupoids
我们构造了离散可测群胚的L2型上同调群的谱序列。基于该谱序列，我们证明了具有多面基本群的非球面流形的Hopf-Singer猜想.在更一般的情形下，我们得到了Hopf-Singer猜想在底空间为具有多面基本群的非球面流形的纤维丛中的持久性结果.作为谱序列的进一步应用，我们得到了群和流形的L2-贝蒂数的消灭定理和显式计算，以及在度量等价关系中存在正规子关系的障碍.
2009-02-09 math.AT math.DS
On $p$-adic limits of topological invariants
本文的目的是定义和研究拓扑空间中新的不变量：$p$ -adic贝蒂数和$p$ -adic挠。这些不变量取$p$进数中的值，并从基本群的虚拟pro- $p$完成构造。本文的关键结果是一个逼近定理，它表明$p$ -进不变量是其经典类似物的极限。这让人想起了Lück关于$L^2$ -贝蒂数的逼近定理。经过调查的基本性质和例子，我们讨论的$p$ -adic模拟的Atiyah猜想：当$p$ -adic贝蒂数采取整数值？我们建立了这一性质的一类空间，并讨论应用上同调增长。
2018-11-01 math.AT math.GR
Candidates for non-zero Betti numbers of monomial ideals
设$I$是由次数至多为$d$的元素生成的多项式环$S$中的单项式理想.本文证明了：若$I$的$i$ -次合点不含$j, \ldots, j+(d-1)$度元（其中$j \geq i+d$），则$I$的$(i+1)$ -合点不含$j+d$度元.然后我们给出了这个结果的几个应用，包括图的边理想的Green-Lazarsfeld指标的另一种证明以及Fröberg关于具有线性分解的二次生成的无平方单项式理想的分类定理的另一种证明。其中，我们描述了可能的索引$i, j$，其中$I$可能具有非零贝蒂数$β_{i,j}$。
2016-07-03 math.AC math.AT
The Asymptotics of the Expected Betti Numbers of Preferential Attachment Clique Complexes
本文研究优先连接随机图团复形的期望 Betti 数，确定其渐近增长率，证明一维为线性增长、高维为次线性增长，并以模拟验证理论结果。
2024-06-11 math.AT math.CO math.PR
Topology and local geometry of the Eden model
Eden细胞生长模型是一个简单的离散随机过程，它在$\mathbb{R}^d$中产生一个“blob”：从规则网格中的一个立方体开始，在每个时间步均匀随机地添加一个相邻的立方体。该过程已被用作聚集体、肿瘤和细菌菌落的生长以及伤口愈合等自然过程的模型。在这里，我们研究的拓扑结构和局部几何结构，建立贝蒂数的渐近界。我们的主要结果是，贝蒂数的增长率之间的预测增长率的网站周长和网站周长的实际增长率。我们还提出了计算实验的结果更精细的几何和拓扑结构，如持久的同源性和孔的形状分布。
2020-12-11 math-ph math.AT math.CO
Approximating L^2-invariants and homology growth
本文研究了贝蒂数、奇异同调的生成元的最小个数、奇异同调的挠子群的阶以及挠不变量等不变量的渐近性质.我们将证明，所有这些都消失在极限，如果CW-复杂的考虑纤维在一个特定的方式。特别地，如果考虑一个非球面闭流形，它允许一个非平凡的S^1-作用，或者它的基本群包含一个无限正规初等顺从子群，我们将证明所有这些在极限中消失。通过考虑分类空间，我们也得到了群的结果。
2012-10-17 math.AT
Bounding Helly numbers via Betti numbers
我们表明，非常弱的拓扑假设足以确保存在的Helly型定理。更精确地说，我们证明了，对于任何非负整数$b$和$d$，存在一个整数$h(b,d)$，使得下面的成立。如果$\mathcal F$是$\mathbb R^d$的子集的有限族，使得对于任何$\mathcal G \subsetneq \mathcal F$和每个$0 \le i \le \lceil d/2 \rceil-1$都有$\tildeβ_i\left(\bigcap\mathcal G\right) \le b$，则$\mathcal F$的Helly数至多为$h(b,d)$。这里$\tildeβ_i$表示约化的$\mathbb Z_2$ -贝蒂数（具有奇异同调）。这些拓扑条件是尖锐的：不控制任何这些$\lceil d/2 \rceil$第一贝蒂数允许家庭与无界Helly数。我们的证明结合了同调非嵌入性的结果与拉姆齐为基础的方法来建立，给定一个任意的单纯复$K$，一些行为良好的链映射$C_*(K) \to C_*(\mathbb R^d)$。
2016-11-09 cs.CG cs.DM math.AT
Telescopic Linkages and Topological Approach to Phase Transitions
统计物理学中平衡相变理论的拓扑方法是基于拓扑假设（TH），该假设声称相变是由于位形空间中合适子流形的拓扑变化。在本文中，我们详细研究了反铁磁平均场XY模型，并研究了子能量流形的拓扑结构。后者可以机械地解释为具有一个伸缩腿的连杆的配置空间。我们使用莫尔斯理论的方法来明确地描述这个位形空间的贝蒂数。我们将这些结果应用到反铁磁平均场XY模型中，计算了总贝蒂数的指数增长性。前人研究的是欧拉示性数而不是总贝蒂数。我们表明，在存在一个外部磁场的模型经历了一个单一的“总贝蒂数相变”。
2011-04-04 math-ph math.AT math.MP
Random geometric complexes in the thermodynamic regime
本文研究了具有随机点过程的顶点和由顶点间距离关系确定的面的单纯复形的拓扑。特别是，我们研究了这些复杂的贝蒂数的顶点数变得很大，得到的极限定理的手段，强法律，浓度不等式和中心极限定理。作为反对大多数以前的文件处理随机复合物，我们的工作限制是在所谓的“热力学”制度（其中包括渗流阈值），其中的复合物变得非常大和复杂，复杂的同源性，其特征在于由发散贝蒂数。证明结合概率参数的理论稳定的泛函点过程和拓扑参数利用Mayer-Vietoris确切序列的属性。迈耶-维托里斯的论证是至关重要的，因为一般的同调，特别是贝蒂数，是全局的而不是局部的现象，大多数标准的概率论证都是基于局部性的结果而产生的泛函的可加性。
2015-09-09 math.AT math.CO math.PR
Bootstrapping Persistent Betti Numbers and Other Stabilizing Statistics
本文研究了用于拓扑数据分析等稳定化统计量的多元Bootstrap方法，证明了平滑Bootstrap在标准非参数方法失效时能提供一致的置信区间估计，并放宽了无需连续底层密度等理论条件，最后通过模拟和SDSS宇宙网数据验证了其有效性。
2021-03-26 math.AT math.ST stat.TH
Limit Theorems for Persistent Homology of Multiparameter Complex Processes
Department of Mathematics, Graduate School of Science, Kyoto University（京都大学理学研究科数学系）；School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽皇后学院数学科学学院）
本文针对基于Costa-Farber模型的多参数复过程，建立其持续Betti数的大数定律，证明持续图依概率弱收敛到确定性有限测度，并推导了相关测度在最优传输距离下的收敛性。
2026-10-09 math.AT math.PR
Holes in planar parallel sets: An integrated Betti-number bound and its pointwise failure
CY Cergy Paris Universit\'e, Laboratoire Thema, 33 boulevard du port, F-95011 Cergy-Pontoise Cedex, France
本文证明平面紧集平行集空洞数的积分贝蒂数界，并构造反例说明固定半径下该界失效，为 Wiener 香肠持续同态极限定理提供确定性基础。
2026-09-29 cs.CG math.AT
Limit theorems for persistence diagrams
研究了${\bf R}^N$上的一个平稳点过程的持久同调性.作为连续渗流理论的推广，我们在多尺度下研究了点过程的高维拓扑特征，如圈、腔等。关键要素是持久性图，它是持久性同源性的表达。证明了窗口大小趋于无穷大时持久图的强大数律，并给出了极限持久图具有完全支持的充分条件。我们还讨论了持久贝蒂数的一个中心极限定理.
2016-12-26 math.AT math.PR
