Reconstruction and interpolation of manifolds I: The geometric Whitney problem
研究了如何构造黎曼流形$(M,g)$来逼近度量空间$(X,d_X)$的几何Whitney问题。这个问题与流形重建密切相关，其中需要构造光滑的$n$维子流形$S\subset {\mathbb R}^m$，$m>n$来近似${\mathbb R}^m$中的点云。这些问题在微分几何、机器学习和许多应用中遇到的逆问题中都会遇到。黎曼流形的确定包括其拓扑结构、可微结构和度量的构造。针对上述问题，提出了建设性的解决方案。此外，我们还刻画了度量空间可以被有界几何的黎曼流形逼近的特征：我们给出了充分条件以确保度量空间可以被固定维数的黎曼流形在Gromov-Hausdorff或拟等距意义下逼近，黎曼流形具有有界直径、截面曲率和内射性半径。此外，我们表明，类似的条件，修改的参数值，是必要的。作为主要结果的应用，我们给出了具有双边曲率界的Alexandrov空间的一个新的刻画。此外，我们还研究了欧氏空间的子集，这些子集在Hausdorff度量中可以用固定维数的子流形来近似，这些子流形具有有界的主曲率和法向内射半径。我们开发的算法程序，解决几何惠特尼问题的度量空间和欧氏空间中的流形重建问题，并估计这些程序的计算复杂性。
2019-11-14 math.DG math.MG
Reconstruction of piecewise constant functions from X-ray data
证明了在具有严格凸边界的二维紧致非陷波黎曼流形上，分段常数函数可以由它在测地线上的积分恢复出来。我们适应的注入证明，它使用通过测地线的变化，以恢复功能，我们改善了这一结果时，流形是简单的，功能是恒定的瓷砖测地线的边缘，显示这些变化的雅可比字段是足够的。我们也给出了明确的公式的值附近的边界。最后研究了重建方法的稳定性。
2019-04-08 math.DG
Reconstruction of the connection or metric from some partial information
在一个给定了特殊的、半测点坐标的（正定）黎曼空间的邻域中，度量张量可以由它在一个适当的超曲面上的值和$(1,3)$型曲率张量在坐标域中的某些分量来计算。半测点坐标是著名的费米坐标的推广，费米坐标在力学和物理学中起着重要的作用，广泛应用于闵可夫斯基空间和一般黎曼空间的微分几何中。在本文中，我们考虑一个更一般的情况。本文引入了特殊的预半测图，并给出了一阶常微分方程初值问题解的存在性和唯一性的Peano 's-Picard' s-Cauchy-like定理的一个形式.然后，我们使用该装置在一个固定的预半测图的流形配备的线性对称联络。我们的目的是重建，或建设，在某些邻域的对称线性连接的知识的“初始条件”：限制连接到一个固定的$(n-1)$维表面$S$和一些组件的曲率张量$R$在“体积”（坐标域）。通过类似的方法，我们从度量对某个非迷向超曲面和体积中的曲率张量的某些分量的已知限制中，在半测点坐标域中检索（或构造）伪黎曼流形的$(0,4)$型度量张量.与其他作者相比，我们基于一阶常微分方程（常微分方程）的经典结果给出了构造性的较短证明。
2010-06-16 math.DG
Inverse kinematic problem and boundary rigidity of Riemannian surfaces
给定一个具有未知黎曼度量的边界带边流形的紧致流形。问题是从所有闭测地线（运动学数据）的长度知识中重构一类共形度量中的度量。一个积分不等式，这意味着唯一性和稳定性的问题。如果不知道共形类，由于信息的缺乏，唯一的重建是不可能的。本文证明了在一个紧曲面上，所有测地线长度的列表足以唯一地确定一个黎曼度量，该曲面的边界直到一个固定边界的自同构。研究了积分几何中的一些相关问题。关键词：测地线，走时，共轭点，测地流，速端图，测地线积分变换。
2012-06-03 math.AP math.DG
A singular Riemannian geometry approach to Deep Neural Networks II. Reconstruction of 1-D equivalence classes
Università di Milano（米兰大学）；Gruppo Nazionale Calcolo Scientifico, INDAM（意大利国家数学研究所全国科学计算组）；Università degli Studi di Milano（米兰大学）；Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, INDAM（意大利国家数学研究所全国数学物理组）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare（意大利国家核物理研究所）
在以前的工作中，我们提出了一个几何框架来研究深层神经网络，将其视为流形之间的映射序列，采用奇异黎曼几何。在本文中，我们提出了这个框架的应用，提出了一种方法来建立一个输入点的等价类：这样的类被定义为输入流形上的点的集合映射到相同的输出由神经网络。换句话说，我们在输入空间中的输出流形中建立一个点的原像。尤其是。为了简单起见，我们集中于从n维实空间到（n - 1）维实空间的神经网络映射的情况，我们提出了一种算法，该算法允许建立位于同一等价类上的点的集合。这种方法导致两个主要的应用：新的合成数据的生成，并且它可以提供关于分类器如何被输入数据上的小扰动（例如，分类为包含吉娃娃的图像的企鹅图像）混淆的一些见解。此外，对于从二维到一维实空间的神经网络，我们还讨论了如何找到实直线的闭区间的原像。我们还提出了一些数值实验与几个神经网络训练执行非线性回归任务，包括二元分类器的情况下。
2022-09-23 cs.LG cs.NA math.DG
Reconstruction and stability in Gel'fand's inverse interior spectral problem
设$M$是一个紧的有界几何的黎曼流形，它的直径、里奇曲率和内射半径都受到限制.假设我们给出了拉普拉斯算子$Δ_g$在$M$上的第一本征值以及限制在$M$中的开集上的相应本征函数，但有一定的误差。然后，我们构造一个稳定的逼近流形$(M,g)$。也就是说，我们构造了一个度量空间和一个黎曼流形，在适当的意义下，当上述数据有一个小的误差时，它们与$M$只有一点点不同。我们给出了一个明确的$\log\log$型的稳定性估计如何构造的流形和度量依赖于给定的数据中的错误。此外，一个类似的稳定性估计的Gel'fand的反问题。证明的基础上的方法从几何收敛，定量的稳定性估计的唯一的延续和一个新版本的几何边界控制方法。
2019-12-27 math.AP math.DG
Recovering Riemannian Geometry from Diffusion
The Climate and Environmental Research Institute NILU（NILU气候与环境研究所）
本文提出通过扩散半群内在重建黎曼几何的方法，揭示几何结构由扩散行为决定，无需预设度量或坐标。
2026-01-23 math.AP math.DG math.PR
X-ray transforms in pseudo-Riemannian geometry
本文研究了三种几何中伪黎曼流形上的函数在所有零测地线上的积分恢复问题：黎曼流形的伪黎曼积，Minkowski空间和环面。我们给出了证明的唯一性和非唯一性在不同的设置特征。如果签名$(n_1,n_2)$满足$n_1\geq1$和$n_2\geq2$，或者反之亦然，并且总是当$n_1,n_2\geq2$。证明是基于佩斯托夫身份适应零测地线（产品流形）和傅里叶分析（其他几何）。在闵可夫斯基空间的任何签名的问题是一个特殊的情况下，恢复一个功能在欧几里得空间从其积分的所有线与任何给定的一组容许的方向，我们描述了一套线，这是可能的。在环面上零测地线射线变换的核的特征归结为某些丢番图系统的可解性。
2016-08-10 math.AP math.DG
An Inverse Kinematic Problem with Internal Sources
给定$\mathbb{R}^n$中的有界区域$M$，其共形欧氏度量为$g=ρ\,dx^2$，本文考虑由走时数据（定义如下）和$Γ$的直角坐标恢复区域$Γ\subset \partial M$的半测邻域和邻域中的共形因子$ρ$的反问题.我们开发了一个明确的重建程序，这个问题。关键成分是共形Killing方程的重建和柯西问题之间的关系。
2014-09-28 math.AP math.DG
Regularising orientation estimation in Cryo-EM 3D map refinement through measure-based lifting over Riemannian manifolds
本文提出椭球支撑提升（ESL）以正则化黎曼流形上的旋转估计，并将其融入 Cryo-EM 三维图谱与姿态联合重建的交替更新框架，证明适定性与误差界且实验显示旋转更接近真值。
2023-02-01 math.DG math.OC
Reconstructions from boundary measurements on admissible manifolds
本文证明了在一个固定的容许三维黎曼流形$(M,g)$中，由Schrodinger算子$-Δ_g + q$的Dirichlet-to-Neumann映射可以重构一个势$q$.我们还证明了在固定的共形类中，一个可容许的度量$g$可以从$Δ_g$的Dirichlet-to-Neumann映射构造。这是Dos Santos Ferreira等人关于容许流形的早期唯一性结果的构造性版本，并推广了Nachman在欧几里得空间中的重构过程.的要点是一个边界积分方程的推导，表征复杂的几何光学解决方案的边界值，和发展相关联的层电位适应的圆柱形的几何形状。
2010-11-02 math.AP math.DG
An Information-Theoretic Reconstruction of Curvature
本文提出了一种基于信息论的方法，通过热扩散数据重建黎曼曲率，利用相对熵分析曲率信息不平衡，提供了一种新的曲率分析视角。
2025-11-20 math-ph math.AP math.DG
Principal subbundles for dimension reduction
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文提出主子丛方法，将局部PCA近似组合为秩k切子丛并诱导次黎曼度量，利用次黎曼测地线实现子流形重建、低维表示与距离计算，且对噪声鲁棒并可推广到已知黎曼流形。
2023-07-06 cs.CV cs.LG math.DG
Dynamic off-the-grid untangling of curves by Riemannian metric
本文提出一种基于Benamou-Brenier正则化的离网点源追踪改进策略，通过在旋转平移群高维空间提升问题并引入松弛Reeds-Shepp度量，克服了缠绕轨迹的理论局限，实现了轨迹的重建与解缠。
2025-07-14 math.DG math.FA physics.optics
Lipschitz Stability of Travel Time Data
本文证明了一类长度空间在闭子集上的旅行时间数据重建具有Lipschitz稳定性，并给出了包括非简单Riemannian流形、非平凡拓扑Euclidean区域和度量树在内的适用例子。
2024-10-21 math.DG math.MG
Lens rigidity in 2D: The reconstruction of a Riemann surface from its geodesic lengths
本文研究了二维黎曼流形通过测地线长度重建的问题，证明了在无陷阱情况下凸边界具有刚性，并扩展了经典刚性理论。
2026-01-06 math.AP math.DG
Inverse problems for the connection Laplacian
从与联络拉普拉斯算子的波动方程相联系的双曲Dirichlet-to-Neumann算子出发，构造了一个具有相容联络的黎曼流形和一个Hermitian向量丛.边界数据是局部的，重建取决于问题的自然规范变换。作为一个推论，我们推导出一个椭圆模拟的主要结果，解决了Calderon问题的连接上的一个圆柱。
2017-05-22 math.AP math.DG
