关于向量与余向量的不变域
On invariant fields of vectors and covectors
摘要：
设${\mathbb{F}_{q}}$是$q$阶的有限域。令$G$是三个组${\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$、${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$或${\rm U}(n, \mathbb{F}_q)$之一，并令$W$是$G$的标准$n$ -维表示。对于非负整数$m$和$d$，我们让$mW\oplus d W^*$表示由$m$向量和$d$余向量的直和给出的$G$的表示。我们展示了一个最小的齐次不变多项式$\{\ell_1,\ell_{2},\dots,\ell_{(m+d)n}\}\subseteq \mathbb{F}_q[mW\oplus d W^*]^G$，使$\mathbb{F}_q(mW\oplus d W^*)^G=\mathbb{F}_q(\ell_1,\ell_2,\dots,\ell_{(m+d)n})$的所有情况下，除了当$md=0$和$G={\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$或${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$。
英文摘要：
Let ${\mathbb{F}_{q}}$ be the finite field of order $q$. Let $G$ be one of the three groups ${\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$, ${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$ or ${\rm U}(n, \mathbb{F}_q)$ and let $W$ be the standard $n$-dimensional representation of $G$. For non-negative integers $m$ and $d$ we let $mW\oplus d W^*$ denote the representation of $G$ given by the direct sum of $m$ vectors and $d$ covectors. We exhibit a minimal set of homogenous invariant polynomials $\{\ell_1,\ell_{2},\dots,\ell_{(m+d)n}\}\subseteq \mathbb{F}_q[mW\oplus d W^*]^G$ such that $\mathbb{F}_q(mW\oplus d W^*)^G=\mathbb{F}_q(\ell_1,\ell_2,\dots,\ell_{(m+d)n})$ for all cases except when $md=0$ and $G={\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$ or ${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$.
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