AI 中文总结
该研究通过经典方法证明了矩阵和协向量的半不变量环是一个多项式环，并将其解释为有向图表示论中的概念。
AI 中文摘要
我们证明了以下定理：令$\mathcal{M}_d$表示无限域$K$上的$d \times d$矩阵集，令$(K^d)^*$表示行向量集。定义$\mathrm{SL}_d(K)$在$X:= \mathcal{M}_d \oplus (K^d)^*$上的作用由$g \cdot (A,\phi) = (gAg^{-1}, \phi g^{-1})$定义。然后$K[X]^{\mathrm{SL}_d}$是一个多项式环，由$A$的特征多项式系数和一个进一步的不变量，即$\Delta(A,\phi):= \det(\phi,\phi A,\phi A^2,\ldots, \phi A^{d-1})^t$生成。我们的证明完全是经典性质的，但我们将结果及其证明解释为有向图表示论中的概念。
英文摘要
We prove the following theorem: let $\mathcal{M}_d$ denote the set of $d \times d$ matrices over an infinite field $K$, and let ${(K^d)^*}$ be the set of row vectors. Define an action of $\mathrm{SL}_d(K)$ on $X:= \mathcal{M}_d \oplus (K^d)^*$ by \[ g \cdot (A,ϕ) = (gAg^{-1}, ϕg^{-1}).\] Then $K[X]^{\mathrm{SL}_d}$ is a polynomial ring, generated by the coefficients of the characteristic polynomial of $A$ and one further invariant, namely $Δ(A,ϕ):= \det(ϕ,ϕA,ϕA^2,\ldots, ϕA^{d-1})^t.$ Our proof is entirely classical in nature, but we give an interpretation of the result and its proof in terms of quiver representation theory.
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