Abelian-square factors and binary words
在这项工作中，我们肯定了由Gabriele Fici和Filippo Mapposi在第10届词组合数学会议上提出的猜想。
2019-07-04 cs.FL
Repetition Avoidance in Circular Factors
我们考虑以下来自单词组合学的经典避免问题的新变化：不是避免单词的所有因素中的重复，而是避免所有因素中的重复，其中每个单独的因素被认为是“循环单词”，即，这个词的结尾会绕到开头。我们确定最好的可能避免指数为字母大小2和3，并提供了一个更大的字母的下限。
2013-03-17 cs.FL math.CO
Mechanical proving with Walnut for squares and cubes in partial words
University of Oregon（俄勒冈大学）
本研究利用自动机定理证明软件Walnut，开展部分字中平方与立方的规避研究，既证明新结果也复证旧结论，还定义了反平方概念并初步研究含固定数量平方与反平方的二元部分字。
2022-08-09 cs.FL
Circular repetition thresholds on some small alphabets: Last cases of Gorbunova's conjecture
如果一个字没有大于或等于$β$的指数因子，则该字称为无$β$。重复阈值$\mathrm{RT}(k)$是所有$β$的集合的下确界，使得存在任意长的$k$元无$β$字（或等效地，存在每个足够大的长度或甚至每个长度的$k$元无$β$字）.重复阈值的这三个等价定义产生了循环词重复阈值的三个自然定义。所有$β$的集合的下确界使得-存在任意长的$k$元$β$ -自由循环字被称为弱循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(k)$ ; -存在$k$元$β$ -自由循环字，每个足够大的长度被称为中间循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(k)$ ;- 存在$k$ -元$β$ -每个长度的无循环字被称为强循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(k)$。我们证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(4)=\tfrac{3}{2}$和$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(5)=\tfrac{4}{3}$，证实了Gorbunova的猜想，并提供了最后的未知值的强循环重复阈值。我们还证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(3)=\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(3)=\mathrm{RT}(3)=\tfrac{7}{4}$ .
2018-05-29 cs.FL math.CO
A ternary square-free sequence avoiding factors equivalent to $abcacba$
我们解决了一个问题的Petrova，完成分类的字母模式避免三元平方自由的话，我们表明，有一个三元平方自由字避免字母模式$xyzxzyx$。事实上，我们：（1）刻画所有避免字母模式$xyzxzyx$的（双向）无限三进制无平方词（2）刻画避免字母模式$xyzxzyx$的词典学上最少的（单向）无限三进制无平方词（3）表明避免字母模式$xyzxzyx$的长度为$n$的三进制无平方词的数量随着$n$呈指数增长。
2016-03-09 cs.FL
The Morphisms With Unstackable Image Words
在尝试用拉丁方态射来构造性地分类所有的无模态射时，我们遇到了一个有趣的反例，Leech无平方态射。我们推广的利奇平方自由态射的组合性质，以获得更大的类的自由态射和平方自由态射的见解。
2010-06-07 cs.FL
Circular critical exponents for Thue-Morse factors
我们证明了各种结果的最大指数的重复在一个因素的Thue-Morse字，当该因素被认为是一个循环词。我们的结果证实并推广了Fitzpatrick和Aberkane & Currie的结果。
2018-08-07 cs.DM cs.FL math.CO
Nondeterministic automatic complexity of overlap-free and almost square-free words
Shallit和Wang研究了单词的确定性自动复杂性。他们证明了无限Thue字的自动Hausdorff维数$I(\mathbf t)$满足$1/3\le I(\mathbf t)\le 2/3$。我们通过证明$I(\mathbf t)\ge 1/2$。对于不确定的自动复杂性，我们展示了$I(\mathbf t)=1/2$。我们证明了这样的复杂性$A_N$的一个字$x$的长度$n$满足$A_N(x)\le b(n):=\lfloor n/2\rfloor + 1$。这使我们能够定义复杂性缺陷$D(x)=b(n)-A_N(x)$。如果$x$无平方，则$D(x)=0$。如果$x$在Fraenkel和Simpson的意义下几乎是无平方的，或者如果$x$是一个强无立方的二进制字，如无限Thue字，那么$D(x)\le 1$。另一方面，有没有恒定的上限$D$强立方自由的话，在一个三元字母表，也没有立方自由的话，在一个二进制字母表。对于给定的$x$，$d$是否属于$NP\cap E$的判定问题。
2020-01-31 cs.FL
Deleting Powers in Words
我们认为语言由所有的词组成，使得有可能通过迭代地删除幂来获得空词。事实证明，在删除二进制单词中的方块的情况下，这种语言是正则的，而在删除更大字母表中的方块的情况下，这种语言是不正则的。然而，对于删除任何字母表上的方块，我们发现这种语言可以由线性索引语法生成，这是一种温和的上下文敏感的语法形式主义。在一般情况下，我们表明这种语言是由索引语法生成的。
2017-09-05 cs.FL
Standard words and solutions of the word equation $X_1^2 \dotsm X_n^2 = (X_1 \dotsm X_n)^2$
我们认为解决方案的字方程$X_1^2 \dotsm X_n^2 = (X_1 \dotsm X_n)^2$，使广场$X_i^2$是最小的平方发现在最佳平方无限的话。我们应用第二作者开发的方法研究字方程，并证明了有两个家庭的解决方案：反向标准字和字从反向标准字通过一个简单的替代方案。一个特殊而显著的结果是，一个词$w$是一个标准词，当且仅当它的逆是一个词方程和$\gcd(|w|, |w|_1) = 1$的解。这个结果可以解释为标准Sturmian词的另一个特征。我们将所得结果应用于第一作者和M. A.怀特兰我们证明，如果语言的最小子移位$Ω$包含无穷多个解决方案的字方程，那么要么$Ω$是Sturmian和$\sqrt{\cdot}$ -不变或$Ω$是所谓的SL-子移位，而不是$\sqrt{\cdot}$ -不变。这个结果是一个进展，证明了猜想，一个最小的和$\sqrt{\cdot}$不变的子移位必然是Sturmian。
2020-11-03 cs.FL
Infinite ternary square-free words concatenated from permutations of a single word
我们回答了Harju的一个问题：一个无限的无平方三进制字与$n$ -干分解存在任何$n\ge 13$。我们证明了对于每个$k\ge 23$，存在长度为$k$的一致三元态射.这几乎完全解决了作者和Rampersad的一个问题。
2012-07-20 cs.FL math.CO
Cubefree words with many squares
我们构建无限立方二进制字包含指数许多不同的平方长度为n。我们还证明了对每一个正整数n，都存在一个长度为2n的无立方二进平方。
2008-11-19 cs.FL math.CO
Counting ternary square-free words quickly
本文提出了一种有效的算法，与穷举法相比，该算法用于计算字母表$\{a, b, c\}$上长度为$n$的无平方词的数目。
2021-05-10 cs.FL math.CO
Lengths of extremal square-free ternary words
固定字母表$Σ$上的无正方形字$w$是极值的，如果通过插入来自$Σ$的单个字母（在任何位置）从$w$获得的每个字都包含正方形。Grytczuk等人最近引入了极值无平方字的概念，并证明了存在任意长的极值无平方三进制字。我们发现所有的长度，承认一个极值平方免费三进制字。特别是，我们表明，有一个极值平方免费三进制字的每一个足够大的长度。我们还解决了循环词的类似问题。
2020-01-31 cs.DM cs.FL math.CO
Constructing Words with High Distinct Square Densities
弗伦克尔和辛普森证明，在一个长度为n的单词中，不同的方块的数量从上到下以2n为界，因为最多两个不同的方块在每个位置的最右边或最后一个出现。Ilie对$2n-Θ(\log n)$的改进和Deza等人对11 n/6的改进依赖于FS-双平方的组合学研究，当最后两次出现的平方的最大数量开始时。在本文中，我们首先研究如何最大化一个词的前缀中的FS-双平方的游程。我们表明，对于一个给定的正整数m，一个字的最小长度开始的m FS-双平方，其长度是相等的，是7 m +3。我们构造了这样一个词，并分析了它的异方序列和异方密度。然后我们推广我们的构造。我们还构建了具有接近5/6的高独特平方密度的单词。
2017-08-22 cs.FL math.CO
Rich square-free words
如果一个词w有|w| +1许多不同的回文因子，包括空词，那么这个词是丰富的。如果一个词没有因子uu，则它是无平方的，其中u是非空词。Pelantová和Starosta（Discrete Math.313（2013））证明了每一个无限丰富的词都包含一个平方。我们将给出这个结果的另一个证明。Pelantová和Starosta用r（n）表示，在一个大小为n的字母表上，最长的无平方丰富词的长度。r（n）的确切值是一个悬而未决的问题。我们将给出r（n）的一个上界和一个下界，并猜想我们的下界是精确的。我们还将推广的概念重复阈值有限类无限的话。episturmian和丰富的单词的重复阈值是一个悬而未决的问题。
2016-03-03 cs.FL math.CO
Square-Free Shuffles of Words
令$u \shuffle v$表示单词$u$和$v$的所有混洗的集合。它表明，对于每个整数$n \geq 3$存在一个无平方三进制字$u$的长度$n$，使$u\shuffle u$包含一个无平方字。然后，这个属性被证明也适用于无限的单词，即，在三个字母上存在无限无平方码字$u$，使得$u$可以与其自身混洗以产生无限无平方码字$w \in u \shuffle u$。
2013-09-09 cs.DM cs.FL math.CO
Maximum Number of Distinct and Nonequivalent Nonstandard Squares in a Word
一个词中的平方的组合学取决于平方的两半的等价是如何定义的。我们考虑阿贝尔平方，参数化的平方和订单保持平方。如果$u$和$v$在阿贝尔（参数化的，保序的）意义上等价，则单词$uv$是阿贝尔（参数化的，保序的）平方。已知一个字中最大的普通平方数是渐近线性的，但精确的界仍在研究中。我们提出了几个结果的最大数目不同的平方非标准的子字等价关系。令$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,σ)$和$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ)$分别表示长度为$n$的字在大小为$σ$的字母表上的最大阿贝尔平方数，它们作为字是不同的，在阿贝尔意义上是不等价的。对于$σ\ge 2$，我们证明了$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,σ)=Θ(n^2)$，$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ)=Ω(n^{3/2})$和$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ) = O(n^{11/6})$。我们还给出了线性边界参数化和保序广场的字母表的恒定大小：$\mathit{SQ}_{\mathrm{param}}(n,O(1))=Θ(n)$，$\mathit{SQ}_{\mathrm{op}}(n,O(1))=Θ(n)$。对于保序正方形，上界对字母表大小有二次依赖性，对于参数化正方形，上界对字…
2016-04-08 cs.DM cs.FL
Words with the Maximum Number of Abelian Squares
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字可以包含作为阿贝尔平方的$Θ(n^2)$不同因子。我们研究无限的话，使长度$n$的阿贝尔平方因子的数量与$n$二次增长。
2015-06-11 cs.DM cs.FL math.CO
Infinite words containing squares at every position
Richomme问了以下问题：什么是下确界的实数$α$ > 2，这样就存在一个无限的字，避免$α$ -权力，但包含任意大的广场开始在每一个位置？我们解决这个问题的情况下，一个二进制字母表的答案是$α$ = 7/3。
2008-04-04 cs.FL math.CO
The Weak Circular Repetition Threshold Over Large Alphabets
在$n$字母上的单词的重复阈值（记为$\mbox{RT}(n)$）是所有$r$的集合的下确界，使得在$n$字母上存在任意长的无$r$的单词。$n$字母上的循环词的重复阈值可以以三种自然的方式定义，这产生了$n$字母的弱、中等和强循环重复阈值，分别表示为$\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)$、$\mbox{CRT}_{\mbox{I}}(n)$和$\mbox{CRT}_{\mbox{S}}(n)$。Currie和本作者证实，所有$n\geq 4$的$\mbox{CRT}_{\mbox{I}}(n)=\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)=\mbox{RT}(n)$。我们证明了对于所有的$n\geq 45$，$\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)=\mbox{RT}(n)$，这证实了这个猜想的一个弱版本，但$n$的许多值。
2019-12-23 cs.DM cs.FL math.CO
Abelian-Square-Rich Words
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字最多可以包含$Θ(n^2)$不同因子，并且存在长度为$n$的字包含$Θ(n^2)$不同的阿贝尔平方因子，即，是阿贝尔平方的不同因子。这促使我们研究无限的话，使不同的阿贝尔平方因子的长度$n$的数量与$n$二次增长。更确切地说，我们说一个无限字$w$是{ \it阿贝尔平方丰富}，如果对于每个$n$，长度为$n$的$w$的每个因子平均包含许多不同的阿贝尔平方因子，这些因子在$n$中是二次的;和{ \it一致阿贝尔平方丰富}，如果$w$的每个因子包含许多不同的阿贝尔-与其长度的平方成比例的平方因子。当然，如果一个词是一致阿贝尔平方丰富，那么它是阿贝尔平方丰富，但我们表明，反过来是不正确的一般。我们证明了Thue-Morse字是一致阿贝尔平方丰富的，并且计数Thue-Morse字的长度为$2n$的不同阿贝尔平方因子的个数的函数是$2$ -正则的。对于Sturmian词，我们证明了角为$α$的Sturmian词$s_α$是一致交换方富的当且仅当无理$α$有界偏导数，即当且仅当$s_α$有界指数.
2017-02-24 cs.DM cs.FL math.CO
Infinite square-free self-shuffling words
在本文中，我们回答了Charlier等人和Harju最近提出的两个关于自洗牌词的问题。一个无限字$w$称为自混洗，如果$w=\prod_{i=0}^\infty U_iV_i=\prod_{i=0}^\infty U_i=\prod_{i=0}^\infty V_i$对于某些有限字$U_i$，$V_i$ . Harju最近提出了一个问题，即是否存在无方块的自洗牌单词。我们肯定地回答这个问题。除此之外，我们建立了一个无限的字，使没有字在其移动轨道关闭是自洗牌，积极回答一个问题，从Charlier等人。
2014-11-08 cs.DM cs.FL math.CO
More on the dynamics of the symbolic square root map
在我们早期的论文[A square root map on Sturmian words，Electron. J. Combin. 24.1（2017）]，我们引入了一个符号平方根映射。每一个最优平方无限字$s$恰好包含六个最小平方，可以写成这些平方的乘积：$s = X_1^2 X_2^2 \cdots$。$s$的平方根$\sqrt{s}$是通过删除每个正方形的一半而获得的无限字$X_1 X_2 \cdots$。我们证明了平方根映射保持Sturmian词（最佳平方词）的语言。平方根映射在Sturmian子移位上的动力学是很好理解的。在我们的早期工作中，我们介绍了另一种类型的最佳平方字的子移位，它与平方根映射一起形成一个动力系统。在本文中，我们更详细地研究这些动力系统，并比较它们的性质的Sturmian的情况下。主要结果是周期点和极限集的特征。结果表明，虽然有一些相似之处，但平方根映射可能表现出与Sturmian情况完全不同的行为。
2018-01-03 cs.FL math.DS
The non-abelian squares are not context-free
最近的问题Crochemore，我们证明了语言的话，不是阿贝尔广场是不是上下文无关的。
2011-10-18 cs.FL
The Simplest Binary Word with Only Three Squares
我们重新审视以前的建设无限二进制字包含几个不同的广场的目标是找到“最简单的”，在一定意义上。我们展示了几种新的结构。而不是使用繁琐的基于案例的参数来证明结构具有所需的属性，我们依靠定理证明软件来证明它们的正确性。
2020-07-16 cs.DM cs.FL math.CO
Avoiding Squares and Overlaps Over the Natural Numbers
我们考虑避免平方和对自然数的重叠，使用在每一步选择最小可能整数的贪婪算法;生成的词在所有此类无限词中是词典学上最小的。在避免方块的情况下，单词是01020103...，熟悉的标尺函数，并通过迭代均匀态射生成。重叠的情况更具挑战性。我们给出了一个显式定义的态射phi：N* -> N*，它通过迭代生成字典上最小的无限无歧义词。此外，我们证明了对于N中的所有h，k，其中h <= k，词phi^{k-h}（h）是以字母h开始并以字母k结束的词典学上最少的无符号词，并给出了它的一些对称性。
2009-01-12 cs.FL math.CO
Shuffle Squares in Differentiable Words
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
本研究通过计算机辅助实验，在不同可微性类别下确定了洗牌方阵的尖锐判据和阈值，并刻画了态射类及删除距离等性质。
2026-10-07 cs.FL math.CO
Palindromic Subsequences in Finite Words
在1999年，Lyngsweed和Pedersen提出了一个猜想，指出每个长度为$n$且0和1个数相等的二进制循环字都有一个长度至少为$\frac{2}{3}n$的反回文线性子序列。从那时起，在平凡的$\frac{1}{2}n$界限上没有取得任何进展。我们提出了一个回文对应这个猜想，并提供了一个非平凡的无限系列的循环的话，证明了上界的$\frac{2}{3}n$在同一时间的两个命题。这个构造也适用于字母表大小为$k$的单词，并引起了Lyngsweeten和Pedersen猜想的推广。此外，我们讨论了一些可能的加强和削弱命名的结构。我们还提出了线性词的两个相似的结构，并为它们提供了一些证据。
2019-01-22 cs.DM cs.FL math.CO
Avoiding 2-binomial squares and cubes
两个有限字$u,v$是2-二项式等价的，如果对于所有长度最多为2的字$x$，作为$u$的（分散的）子字的$x$的出现次数等于$v$中$x$的出现次数。这个概念是通常的阿贝尔等价的一个改进。2-二项平方是一个字$uv$，其中$u$和$v$是2-二项等价的。在本文中，考虑纯态词，我们证明了2-二项平方（分别）。cubes）在3个字母上是可避免的（resp. 2个字母）字母表。字母的大小是最佳的。
2013-10-17 cs.FL math.CO
Borders, Palindrome Prefixes, and Square Prefixes
我们表明，长度为n的单词的数量在一个k字母表，甚至没有回文前缀是相同的长度为n的无边框的单词的数量，通过构建一个明确的双射之间的两个集合。一个稍有不同但类似的结果适用于那些没有奇数回文前缀的单词。利用边界上的已知结果，我们得到了没有偶数的单词的数量的渐近枚举（分别为，奇数）回文前缀。我们得到一个类似的结果，没有非平凡的回文前缀的话。最后，我们得到了类似的结果，没有平方前缀的话，从而证明了2013年Chaffin，Linderman，Sloane和Wilks的猜想。
2020-06-03 cs.DM cs.FL math.CO
Shuffle squares in smooth binary words and the Kolakoski sequence
本文证明长度至少18且两字母出现偶数次的光滑二元词必为洗牌平方，并应用于Kolakoski序列，刻画其洗牌平方前缀的条件。
2026-10-05 cs.FL math.CO
Order-Preserving Squares in Strings
字符串中的保序正方形是$uv$形式的片段，其中$u\neq v$和$u$与$v$序同构。我们表明，一个字符串$w$的长度$n$在一个字母表的大小$σ$包含$\mathcal{O}(σn)$顺序保持广场是不同的话。这改进了Kociumaka、Radoszewski、Rytter和Walegaly的$\mathcal{O}(σ^{2}n)$上限[TCS 2016]。此外，对于每一个$σ$和$n$，我们展示了一个字符串与$Ω(σn)$保序平方是不同的字，从而建立我们的上限是渐近紧。最后，我们设计了一个$\mathcal{O}(σn)$时间算法，输出所有的顺序保持广场出现在一个给定的字符串，是不同的话。根据我们的下限，这在最坏的情况下是最优的。
2023-02-01 cs.DS cs.FL
On the maximal number of cubic subwords in a string
我们调查的最大数量的立方子字（形式$www$）在一个给定的词的问题。我们还考虑正方形子字（形式为$ww$）。一个单词中最大平方数的问题还没有很好地理解。文中给出了与此问题有关的几个新结果。我们考虑两个简单的问题，这是平方或高度重复的子字的最大数量，然后我们提供了一个非平凡的估计立方体的数量。我们表明，最大数量的平方$xx$，$x$是不是一个原始的字（非原始平方）在一个字的长度$n$正是$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor - 1$，和最大数量的子字的形式$x^k$，为$k\ge 3$，正是$n-2$。特别地，字中的立方体的最大数量也不大于$n-2$。使用非常技术性能的出现立方体，我们提高了这个界限显着。我们表明，在一个字的长度$n$的立方体的最大数量是$(1/2)n$和$(4/5)n$之间。(In特别是，我们从会议版本的文件中改进了下界。
2009-11-06 cs.DM cs.FL
Square-free Walks on Labelled Graphs
对于顶点集$A_n = \{0,1,..., n-1\}$上的标号图$G$，如果$w = i_1i_2...i_k \in A_n^*$，其中每个因子$i_ji_{j+1}$是$E$的一条边，即$w$表示$G$中的一条游动，则称有限或无限字为$G$ -字.证明了存在无平方的无限$G$ -字当且仅当$G$没有子图同构于圈$C_3, \ C_4, \ C_5$、路$P_5$或爪$K_{1,3}$之一.图$G=(A_n,E)$的色数$γ(G)$是最小的整数$k$，如果它存在的话，对于它存在一个映射$ϕ\colon A_n \to A_k$，使得对于一个无限$G$ -字$w$，$ϕ(w)$是无平方的。我们发现，$γ(G)=3$为$G=C_3, C_5, P_5$，但$γ(G)=4$为$G=C_4, K_{1,3}$。特别地，$γ(G) \leq 4$用于所有至少具有五个顶点的图。
2011-06-24 cs.FL math.CO
Scattered Factor-Universality of Words
一个词$u=u_1\dots u_n$是一个词$w$的分散因子，如果$u$可以从$w$通过删除它的一些字母获得：存在（可能为空的）词$v_0,v_1,..,v_n$，使得$w = v_0u_1v_1...u_nv_n$。直到一个词的长度$k$的所有分散因子的集合被称为它的全$k$谱。首先，我们展示了一个算法，决定是否$k$ -频谱为给定的$k$的两个字是相等的或不，运行在最佳的时间。其次，我们考虑分散因子普遍性的概念：单词$w$与$\letters(w)=Σ$一起被称为$k$ -如果它的$k$ -谱包括字母表$Σ$上长度为$k$的所有单词，则它是普遍的;我们将这个概念扩展到$k$ -循环普遍性。经过一系列的初步组合结果，我们提出了一个算法计算，对于一个给定的$k'$ -通用字$w$的最小$i$，$w^i$是$k$ -通用的一些$k>k'$。其他几个相关的问题也被考虑。
2020-03-10 cs.FL math.CO
Algorithmical Aspects of Some Bio Inspired Operations
本文研究前后缀复制、有界前后缀复制和前后缀平方补全三类生物启发字操作，分析其语言与无限字生成性质，并扩展有间隙重复及回文检测问题。
2025-01-12 cs.DS cs.FL
An inequality for the number of periods in a word
我们证明了一个不等式的周期数在一个字x的长度x和它的初始临界指数。接下来，我们刻画了一个特征Sturmian词的长度为n的前缀的所有周期的懒惰的Ostrowski表示的n，并使用这个结果表明，我们的不等式是紧无限多个字x。我们提出了两个相关的措施的周期性无限的话。最后，我们还考虑了x是无平方或无平方的特殊情况。
2020-05-27 cs.DM cs.FL math.CO
