Quadratic Differentials, Quaternionic Forms, and Surfaces
借助二次微分和浸入之间的联系定义和研究了全局等温浸入。应用程序是两个问题源于基本问题：需要多少数据来识别表面浸没（Christoffel问题）或其形状（Bonnet问题）。一个简短的完整解决方案的Christoffel的问题，包括封闭的曲面，给出。证明了亏格为$\neq$ 1的有向闭曲面的每个浸入都由它的共形类和切平面映射唯一地决定直至相似。所有通用的Bonnet曲面的分类来自Bonnet、Cartan和Chern的一系列论文。这里显示了一类新的Bonnet曲面的存在性。为了研究闭曲面的刚性，理解这门课程是必要的.
1997-12-30 dg-ga math.DG
A generalization of the Gauss-Bonnet and Hopf-Poincaré theorems. Part II
本文是F. A. Arias和M. Malakhaltsev“A generalization of the Gauss-Bonnet and Hopf-Poincaré theorems”，ArXiv：1510.01395 [MathDG] 5 Oct 2015.设$π: E \to M$是二维流形$M$上的局部平凡纤维丛，$Σ\subset M$是离散子集.如果$Q' = π^{-1}(M \setminus Σ) \cap Q$是$M \setminus Σ$的$n$ -片覆盖，则子集$Q \subset E$称为丛$π$的$n$ -片分支部分.集合$Σ$称为分支截面$Q$的奇点集。我们定义了分支截面的奇点指数，并给出了计算实例，特别是对于二元微分方程确定的$M$的射影切丛的分支截面.定义了分支截面奇点的分解，并证明了分支截面奇点分解的类似Hopf-Poincaré-Gauss-Bonnet定理。
2016-10-09 math.DG
Compact Bonnet Pairs: isometric tori with the same curvatures
我们构造了第一对紧致 Bonnet 环面，它们由保持平均曲率的等距变换联系，解决了度量与平均曲率函数是否唯一决定紧致浸入的长期问题，并证明了实解析性。构造基于等温曲面与共形变换，源于离散微分几何的计算研究。
2023-12-27 math.DG
Uniqueness of the Bonnet problem in Thurston geometries
在Thurston几何中，研究Bonnet问题的唯一性，通过建立Bonnet配对的唯一性，探讨等距浸入连续变形的条件，发现仅极小曲面和主曲率恒定曲面满足要求。
2025-12-02 math.DG
The Bonnet-Myers theorem on Finsler manifolds with integral weighted Ricci curvature bounds
该研究在芬斯勒度量测度流形上，推导了受积分加权里奇曲率控制的体积比较定理，建立非同心球的Bishop-Gromov体积比较定理，进而证明了具积分加权里奇曲率界的芬斯勒流形上的博内-迈尔斯型定理。
2026-09-03 math.DG math.GT
Some topics in differential geometry of normed spaces
对于一个浸入三维空间的曲面，赋予它一个范数而不是一个内积，人们可以定义类似的曲率和度量概念。有了这些概念，各种问题立即出现。本文的目的是提出并回答其中的一些问题。在这个框架中，我们证明了极小曲面的几个特征，以及一些整体定理的类似物（例如，Hadamard型定理）也是推导出来的。还给出了常Minkowski宽度曲面曲率的一个结果。最后，我们研究了曲面上诱导的环境度量，证明了经典Bonnet定理的一个推广。
2017-09-02 math.DG
Exploring Surfaces through Methods from the Theory of Integrable Systems. lectures on the Bonnet problem
欧氏空间中的一般曲面由其度量和曲率唯一确定。所有特殊曲面的分类，如果不是这种情况，即具有保持中曲率的等距曲面的分类，被称为Bonnet问题。关于Bonnet问题，我们展示了如何分析方法的理论的可积系统-如有限间隙积分，isomonodromic变形，和循环组描述-可以应用于研究全球性的特殊表面。本文介绍了1999年4月12日至30日在的里雅斯特的阿卜杜勒·萨拉姆国际理论物理中心（ICTP）微分几何学院所作的讲座的内容。
1999-09-01 math-ph math.DG math.MP
Discrete curvature
本综述探讨“离散曲率”这一看似矛盾的概念，介绍其在多边形、多面体曲面及抽象多面体流形中的定义，复现经典几何定理，并指出多面体逼近光滑对象时离散曲率趋近于光滑曲率的收敛性结果。
2025-02-13 math.DG math.MG
Crystallization in two dimensions and a discrete Gauss-Bonnet theorem
我们表明，新兴领域的离散微分几何可以有效地带来承担结晶问题。特别地，我们给出了Heitmann-Radin结晶定理（R. C.海特曼角Radin，J. Stat. 22，281-287，1980），其涉及二维中的$N$相同原子的系统，如果$r<1$，则经由理想化对势$V(r)=+\infty$，如果$r=1$，则经由$-1$，如果$r>1$，则经由理想化对势$0$相互作用。这是通过赋予一般粒子构型的键合图{ \it离散曲率}的适当概念，并诉诸{ \it离散高斯-邦内定理}（O. Knill，Elem.Math.67，1-17，2012），其作为其连续表兄弟，将曲率的和/积分与拓扑不变量相关联。这导致了Heitmann-Radin能量的精确几何分解为（i）组合体项，（ii）组合周长，（iii）欧拉特征的倍数，以及（iv）由于缺陷引起的自然拓扑能量贡献。一个类似的精确的几何分解也建立了软势，如Lennard-Jones势$V(r)=r^{-6}-2r^{-12}$，其中两个额外的贡献出现，（v）弹性能和（vi）由于非键相互作用的能量。
2016-04-29 math-ph math.DG math.MP
Multi linear formulation of differential geometry and matrix regularizations
我们证明了嵌入黎曼流形的微分几何的许多方面可以用光滑函数空间上的多重线性代数结构来表示。特别是，我们发现代数式的Weingarten公式，里奇曲率和Codazzi-Mainardi方程。对于嵌入曲面的矩阵类似物，我们定义了离散曲率和欧拉示性数，并证明了一个非交换的Gauss-Bonnet定理。我们推导出简单的表达式的离散高斯曲率的矩阵表示的嵌入坐标，并提供了一个大类的明确的例子。此外，我们说明了这样一个事实，即从微分几何的技术可以结转到矩阵的类似物，证明了一个边界上的离散高斯曲率意味着一个边界上的离散拉普拉斯算子的特征值。
2010-09-24 hep-th math.DG
The Binary $\mathfrak{aff}(n|1)$-Invariant Differential Operators On Weighted Densities On The Superspace $\mathbb{R}^{1|n}$ And $\mathfrak{aff}(n|1)$-Relative Cohomology
本文研究微分双线性算子空间上的$\mathfrak{aff}(n|1)-$模结构，它作用在加权密度超空间上。本文对作用于加权密度空间的$\mathfrak{aff}(n|1)-$不变二元微分算子进行了分类。这一结果使我们能够计算第一$\mathfrak{aff}(n|1)-$相对微分上同调$\mathcal{K}(n)$的系数在超空间的线性微分算子上的加权密度的超空间。
2018-02-03 math.DG
On the shape operator of relatively parallel hypersurfaces in the $n$-dimensional relative differential geometry
我们在$n$维相对微分几何的框架下处理超曲面.我们考虑一个超曲面$\varPhi$的$\mathbb{R}^{n+1}$与位置向量场$\mathbf{x}$，这是相对正规化$\mathbf{y}$相对正规化。则$\mathbf{y}$也是超曲面$\varPhi_μ$的单参数族$\mathcal{F}$的每个成员与位置向量场$$\mathbf{x}_μ= \mathbf{x} + μ\, \mathbf{y},$$的相对正规化，其中$μ$是实常数。我们称每一个超曲面$\varPhi_μ\in \mathcal{F}$相对平行于$\varPhi$在“相对距离”$μ$。本文研究了相对平行超曲面$\left( \varPhi_μ,\mathbf{y}\right)$到$\left(\varPhi,\mathbf{y}\right)$的（a）形状（或Weingarten）算子，（b）相对主曲率，（c）相对平均曲率函数和（d）仿射正规化.
2017-12-28 math.DG
On the Tchebychev Vector Field in the Relative Differential Geometry
本文讨论了n+1维欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中超曲面的相对正规化问题。考虑超曲面$Φ$的相对归一化$\bar{y}$，我们将相应的切比雪夫向量$\bar{T}$分解为两个分量，一个平行于欧几里得归一化$\barξ$的切比雪夫向量$\bar{T}_{EUK}$，一个平行于$Φ$的切超平面中的$\bar{y}$的正交投影$\bar{y}_{T}$。利用这种分解研究了$Φ$的高斯曲率、支撑函数、Tchebychev向量场等性质。
2015-11-29 math.DG
Discrete differential geometry in homotopy type theory
本文在同伦类型论中基于单纯复形定义了主丛、联络、曲率和向量场等微分几何构造，并证明了一个关联总曲率与总指数的定理，为证明 Gauss-Bonnet 定理和 Poincaré-Hopf 定理奠定关键基础。
2025-04-29 math.CT math.DG
Notes on relative algebroids
本文介绍相对代数胚的起源与结构理论，并探讨其与具有对称性的偏微分方程的联系，为统一李代数胚与偏微分方程提供框架。
2025-10-24 math.DG
Relative differential cohomology
利用微分特征标模型，研究了两个相对微分上同调的概念。这两个概念来自于构造相对同调的两种选择，或者通过商复形的圈，或者通过映射锥复形的圈。我们讨论了相对微分上同调的两个概念之间的关系。我们讨论了这两个概念的长正合序列，从而澄清了它们与绝对微分上同调的关系。构造了相对特征标和绝对特征标的外积和内积，证明了相对微分上同调是绝对微分上同调环上的右模.最后，我们构建了相对差异性状的纤维整合和超进。
2013-10-10 math.AT math.DG
Relative BGG sequences; II. BGG machinery and invariant operators
对于实或复半单李群$G$和两个嵌套抛物子群$Q\subset P\subset G$，我们研究了$(G,Q)$型抛物几何.在群$P$的基础上，引入了一类相对自然丛和相对牵引丛，并在这类丛上构造了一些基本不变的微分算子。我们定义了一个（相当弱）的概念“压缩性”的相对微分形式的值在相对拖拉机束的操作。我们开发了一个通用的机器，将压缩运营商的操作相关的完全可约表示的相对李代数同调群的丛。将这一机制应用于一个特定的一阶可压缩不变微分算子，得到了BGG（Bernstein-Gelfand-Gelfand）序列的一个相对形式.我们所有的建设适用于情况下$P=G$，生产新的和更简单的证明标准BGG序列的情况下。我们的特点的情况下，相对BGG序列是复杂的，甚至精细分辨率的某些层，并描述这些层。我们表明，这给出了新的不变的微分算子的建设，以及在某些弯曲的BGG序列的新的子复形。结果是明确的情况下，广义路径几何。
2015-10-14 math.DG
A Simple Differential Geometry for Networks and its Generalizations
基于一般度量空间中曲线曲率的两个经典概念，即Menger曲率和Haantjes曲率，我们引入了网络及其高维对应的截面曲率、Ricci曲率和数量曲率的新定义.这些适用于加权和非加权、有向或无向网络的新类型的曲率比其他网络曲率更直观、更容易计算。特别是，建议的曲率的基础上的解释Haantjes定义为测地曲率，并通过拟合离散高斯-邦纳定理，是相当灵活的。我们还提出了更简单，更直观的Haantjes曲率的替代品，允许在大规模网络中更快，更容易的计算。
2019-10-14 cs.NI cs.SI math.DG
Geometry of the Ising persistence problem and the universal Bonnet-Manin Painlevé VI distribution
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CEA Saclay（法国原子能和替代能源委员会萨克雷中心）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Sorbonne université（索邦大学）；ENS Paris-Saclay（巴黎萨克雷高等师范学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文研究了非马尔可夫随机过程的持久性概率分布，揭示了其与皮埃-VI方程的关系，并通过几何解释阐明了持久性指数的来源。
2026-03-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.CA
A Parametrix Construction for the Laplacian on Q-rank 1 Locally Symmetric Space
本文给出了Q秩1局部对称空间上非紧流形上Gauss-Bonnet算子和Hodge Laplace算子的参数集的构造。这些运营商，直到一个标量因子，$ϕ$ -微分算子，也就是说，他们生活在广义$ϕ$ -演算研究的作者在以前的文件，扩展工作的梅尔罗斯和Mazzeo。然而，因为它们在这个演算中不是完全椭圆元素，所以不可能在$ϕ$演算中为这些算子构造参数。本文利用R. Melrose和$ϕ$ -伪微分算子演算。该结构简化并推广了Vaillant在他的论文中为狄拉克算子所做的结构。此外，我们还研究了这些算子的映射性质，并确定了Gauss-Bonnet和Hodge Laplace算子是Fredholm的适当的Hlibert空间。最后，我们建立这些运营商的核心元素的正则性结果。
2013-01-10 math.AP math.DG
Relative differential characters
相对Cheeger-Simons微分性状组有两个自然的候选者。第一个直接扩展了Cheeger和Simons的工作，第二个扩展了Hopkins和Singer对Cheeger-Simons群的描述，作为某个上链复形的同调。我们讨论了这两种方法，并将两个相对的群体联系起来。
2004-08-24 math.AT math.DG
Differential Geometry of Relative Gerbes
本文对流形上的光滑映射引入了“相对格伯”的概念，并讨论了它们的微分几何。利用三次相对积分上同调，对相对格的等价类进行了分类。进一步，利用相对格贝的概念，发展了李群值矩映射的预量子化，并建立了它与无限维Hamilton圈群空间的预量子化的等价性.
2005-05-12 math.DG math.SG
Scalar relative differential invariants
UiT the Arctic University of Norway（挪威北极大学）
研究标量相对微分不变量的有限生成性，展示正反两面结果，探讨其权重及阶数限制，并通过实例验证应用。
2026-05-15 math.DG math.RA
Detecting horizons of symmetric black holes using relative differential invariants
本文提出利用标量相对微分不变量检测对称黑洞视界的方法，通过构造在不变Killing视界上恒消失的0阶相对微分不变量，成功应用于几种著名黑洞的视界检测。
2024-05-30 gr-qc math.DG
Relative (generalized) differential cohomology
设h为有理偶上同调理论，h^为自然微分加细，如霍普金斯和辛格所定义。我们考虑相对微分上同调群的可能定义，推广了Deligne上同调群的类似情形，并给出了相应的长正合列。
2016-06-19 math.AT math.DG math.KT
Relative differential cohomology and generalized Cheeger-Simons characters
在相对情形下，我们给出了微分上同调的一个公理化框架，并推导出了相应的长正合列。我们还构造了广义Cheeger-Simons特征的相对版本，并定义了纤维有边界时的积分映射。
2018-11-16 math.AT math.DG math.KT
Minimal Surfaces in the Four-Dimensional Euclidean Space
证明了四维欧几里得空间中任意极小曲面的Gauss曲率和法联络曲率满足一个不等式，由此产生两类极小曲面：一般型极小曲面和极小超共形曲面.利用强正则极小曲面的不变量，证明了一般型强正则极小曲面的Bonnet型定理。本文在一般类型的强正则极小曲面上引入正则参数，并证明了任何这样的曲面都是由满足两个自然偏微分方程的系统的两个不变函数决定的.在非强正则极小曲面的基本类中的任一极小曲面上，我们定义了正则参数，并证明了任一极小曲面在运动之前都是由满足两个自然常微分方程的两个一元不变函数所决定的.我们找到了这类非强正则极小曲面的一个几何描述。
2008-06-20 math.AP math.DG
Semi-Riemannian manifolds with linear differential conditions on the curvature
本文分析了满足曲率任意阶线性微分条件的半黎曼流形，涵盖递归曲率与对称空间等，通过显式例子证明其存在性，并探讨了洛伦兹流形与引力场物理学的联系。
2024-04-22 gr-qc math-ph math.DG
On sl(2,R)-relative cohomology of the Lie algebra of vector fields and differential operators
设Vect（R）是R上光滑向量场的李代数.符号空间Pol（T^* R）允许一个非平凡的变形（由加权密度上的微分算子给出）作为一个向量（R）-模，一旦作用被限制为sl（2），它就变得平凡。Pol（T^* R）的变形，一旦作用被限制在sl（2）上并且使得其上的Vect（R）-作用用微分算子表示，则变得平凡，通过H^2（Vect（R），sl（2）; D_{λ,μ}）的权重基的元素来分类。本文的主要结果是这种上同调的计算。除了相对上同调，我们还证明了当g=Vect（R）和sl（2）时，生成H^2（g; D_{λ,μ}）的2-上环。
2007-10-29 math.DG math.QA
A new approach to the bialgebra theory for relative Poisson algebras
提出相对 PCA 双代数作为相对 Poisson 代数双代数理论的新途径，引入 RPCA-YBE 及相关算子概念，并证明其可由微分 ASI 双代数自然构造。
2025-09-14 math-ph math.DG math.MP
