PRIMES STEP Plays Games
Pratik Alladi, Neel Bhalla, Tanya Khovanova, Nathan Sheffield, Eddie Song, William Sun, Andrew The, Alan Wang, Naor Wiesel, Kevin Zhang Kevin Zhao
一群7-9年级的学生正在发明组合公平游戏。游戏在图形、桩和网格上进行。我们发现了获胜的位置、最优策略和其他关于博弈的有趣事实。
A group of students in 7-9 grades are inventing combinatorial impartial games. The games are played on graphs, piles, and grids. We found winning positions, optimal strategies, and other interesting facts about the games.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Domination game and total domination game played on Sierpiński graphs
该研究聚焦谢尔宾斯基图上的控制与全控制博弈，通过推导严格不等式改进了控制博弈数的平凡界，并确立了全控制博弈数的下界，丰富了图论博弈领域的相关结论。
Tame and Wild Scoring Play Games
在本文中，我们将证明数学得分发挥组合对策论涵盖所有的组合游戏。也就是说，存在与正常玩耍游戏的集合相同的得分玩耍游戏的子集，以及与吝啬玩耍游戏的集合相同的不同子集。这最终证明，得分发挥组合对策论是一个完整的理论组合游戏，每一个组合游戏，无论规则集，可以分析使用得分发挥组合对策论。
An Extension of the Normal Play Convention to $N$-player Combinatorial Games
我们研究短期组合游戏的三个或三个以上的球员在一个新的发挥公约，其中一个球员谁不能移动轮到他们是唯一的输家。我们发现，许多定理的公正和partizan两个球员的游戏正常发挥有自然的类似物在此设置。对于三人公平博弈，我们详细研究了求和的可能结果，并确定了三人Nim的结果和结构。
Playability and arbitrarily large rat games
在1973年弗伦克尔发现有趣的序列分裂的正整数。这些序列变得著名，因为一个相关的未解决的猜想。在这里，我们构建组合游戏，与“可玩”的规则集，这些序列构成第二个玩家的获胜位置。关键词：组合博弈，Fraenkel猜想，公平博弈，正常博弈，可玩性，有理模，分裂序列
Scoring Play Combinatorial Games Under Different Operators
得分游戏最早是由弗雷泽·斯图尔特（Fraser Stewart）在他的博士论文中研究的。他证明了在选言和下，得分博弈是部分有序的，但不具有正常博弈的“好”结构。在本文中，我将考虑在John Conway，William Stromquist和David Ullman给出的三种不同操作符下进行游戏，即合取和，选择性和和顺序连接。
Scoring Play Combinatorial Games
本论文将讨论计分型组合游戏，并探讨这些游戏在不同运算子下的一般结构。我还将研究评分公平游戏的Sprague-Grundy值，并证明有一个易于计算的函数可以轻松解决大范围的八进制游戏。我还将证明我的理论可以很容易地应用于围棋的得分游戏，并可以导致对游戏的更深入的理解。
On the number of $2$-dice games with prime power dice-size
该研究针对素数幂尺寸的Sicherman骰子，利用生成多项式技术给出了满足和分布条件的二维骰子游戏数量的上下界，并证明了对应的非闭合组合公式。
Impartial Scoring Play Games
在本文中，我们将研究公平得分游戏。我们首先给出了什么是公平得分博弈的基本定义，并在析取和下研究了它们的一般结构。然后，我们将研究nim和所有八进制博弈，并定义一个函数来帮助我们分析这些博弈。最后，我们将查看该函数具有的属性，并对该函数表现出的行为做出许多猜测。
Avoider-Enforcer games played on edge disjoint hypergraphs
我们分析了边不相交超图上的避免者-执行者游戏，提供了经典和众所周知的游戏$Box$的模拟，由于Chvátal和Erdés。我们考虑严格和单调版本的避免者-执行者游戏，并为每一个版本，我们给出了一个充分条件赢得每个球员。我们还提出了我们的研究结果的应用程序，几个一般的避免执行游戏。
Pomax games - a family of partizan games played on posets
我们介绍下面的一类partizan游戏，称为pomax游戏。给定一个偏序集，其元素被着色为黑色或白色，参与者Black和White轮流删除任何自己颜色的极大元。如果没有这样的元素，玩家就输了。我们证明了pomax对策总是整数值的，并对有色树偏序集和棋色Young图偏序集给出了一个简单的对策值公式。然而，对于一般偏序集的高度为3的pomax游戏，我们证明了决定赢家的问题是PSPACE完全的，对于高度为2的偏序集，我们证明了NP-硬度。Pomax游戏只是一个特殊的情况下，更大的一类整数值的游戏，我们称之为元素删除游戏，我们提出了一些开放的问题，元素删除游戏，而不是Pomax游戏。
Efficient winning strategies in random-turn Maker-Breaker games
我们考虑Peres，Schramm，Sheffield和Wilson在2007年提出的随机回合位置博弈。$p$ -random-turn positioning game是一种两人博弈，其玩法与普通的位置博弈相同，不同之处在于不是交替轮流，而是在每轮之前掷硬币来决定下一个移动的玩家的身份（玩家I移动的概率是$p$）。我们分析了几个经典的制造商-断路器游戏的随机回合版本，如游戏盒（Chvátal和Erd \H OS在1987年推出），汉密尔顿循环游戏和$k$ -顶点连通性游戏（都在$K_n$的边集上玩）。对于这些游戏中的每一个，我们提供了一个（随机）有效的策略，通常确保他赢得了$p$的最小值的渐近顺序，他通常赢得了比赛，假设双方球员的最优策略。
Fast strategies in Maker-Breaker games played on random boards
在本文中，我们分析了经典的Maker-Breaker游戏上的边缘集稀疏随机板$G\sim \gnp$。我们考虑了哈密尔顿性博弈、完美匹配博弈和$k$ -连通性博弈。我们证明，对于$p(n)\geq \text{polylog}(n)/n$，董事会$G\sim \gnp$通常是这样的，制造商可以赢得这些游戏渐近尽可能快，即在$n+o(n)$，$n/2+o(n)$和$kn/2+o(n)$移动。
Domination game played on trees and spanning subgraphs
图G上的控制对策。顶点由两个玩家Dominator和Staller选择，一次一个。每一个被选中的顶点都必须扩大博弈中G被控制到该点的顶点集。两个玩家都使用一个最优策略--支配者尽可能快地结束游戏，而Staller则尽可能多地持续游戏。G的博弈控制数是Dominator开始博弈时选择的顶点数，而Staller开始博弈时G的Staller-start博弈控制数。在本文中，这两个游戏进行了研究时，树和生成子图。证明了树的博弈控制数的一个下界，并证明了它是渐近紧的。证明了对任意k，存在一棵博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k+1的树T，且不存在博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k-1的树T.研究了图与其生成子图的博弈控制数之间的关系。证明了对任意正整数n，存在图G及其生成树T，使得G的博弈控制数至少比T的博弈控制数多n。此外，还存在3-连通图G具有一个生成子图，使得该生成子图的博弈控制数任意小于G的博弈控制数.
p-Saturations of Welter's Game and the Irreducible Representations of Symmetric Groups
建立了Welter对策的$p$ -饱和的Sprague-Grundy函数$\text{sg}$与对称群的普通不可约表示的度之间的关系.在这个游戏中，一个位置可以被看作是一个分区$λ$。令$ρ^λ$是由$λ$索引的$\text{Sym}(|λ|)$的不可约表示。对每一个素数$p$，我们证明了以下结果：（1）$ρ^λ$的度与$p$互素当且仅当$\text{sg}(λ) = |λ|$ ;（2）$ρ^λ$对$\text{Sym}(\text{sg}(λ))$的限制有一个度与$p$互素的不可约分支.进一步地，对于每个大于1的整数$p$，我们得到了一个关于$\text{sg}(λ)$的显式公式.
The Linking-Unlinking Game
组合二人博弈最近被应用于纽结理论。这方面的例子包括打结解开游戏和区域解开游戏，这两个游戏都是在结阴影上玩的。这是两个玩家玩的回合制游戏，每个玩家都有一个单独的目标来赢得游戏。在本文中，我们介绍了链接-解除链接游戏，这是发挥两个组成部分的链接阴影。然后，我们提出了获胜的策略，链接取消游戏上的所有阴影的两个组件的合理的缠结关闭，并发挥了一个大家庭的一般两个组件的链接阴影。
When game comparison becomes play: Absolutely Categorical Game Theory
组合博弈的绝对宇宙，正如同一作者在最近的一篇论文中所定义的，包括许多标准的短正规- misère-和scoring-play幺半群。在本说明中，我们表明，类是分类的，通过扩展Joyal的建设正常发挥游戏中的箭头。给定$G$和$H$在一个绝对宇宙$U$中，我们研究了左预备赛$[G, H]$，这是一个正常的游戏，独立于特定的绝对宇宙，并发现$G\longrightarrow H$（暗示$G\succcurlyeq H$）对应于一组获胜策略，左第二次在$[G,H]$。由此我们定义了范畴${\bf LNP(U)}$。
Pirates and Treasure
在本文中，我们介绍了一个新的游戏，在这个游戏中有两个球员谁扮演对手的海盗团伙。目标是比你的对手收集更多的宝藏。游戏在一个图上进行，玩家通过移动到一个未访问的顶点来收集宝藏。在游戏结束时，拥有最多宝藏的玩家获胜。我们将证明这个博弈是NP难的，我们也将研究这个博弈在析取和下的结构。我们将展示这个博弈在某些情况下表现得像一个正常的博弈，在某些情况下表现得像一个错误的博弈。然后，我们留下一个关于得分的开放问题。
Probabilistic one-player Ramsey games via deterministic two-player games
考虑下面的概率单人游戏：棋盘是一个有$n$顶点的图，它最初不包含边。在每一步中，一条新的边从所有非边中随机均匀地绘制出来，并呈现给玩家，此后称为画家。Painter必须立即为每条边指定一种$r$可用颜色，其中$r \geq 2$为固定整数。一旦创建了某个固定图形$F$的单色副本，游戏就结束了，Painter的目标是在此之前“生存”尽可能多的步骤。我们提出了一种新的技术，用于推导这个游戏的阈值上的上界，即，在典型的步骤数上，Painter将以最优策略生存。更具体地说，我们考虑一个确定性的两个球员的游戏的变化，边不是随机选择的，但由第二个球员的建设者。然而，Builder必须遵守这样的限制：对于某个实数$d$，进化板的所有子图中的边与顶点的比率永远不会超过$d$。我们表明，存在一个获胜的策略，在这个确定性的游戏中的建设者意味着一个上界的$n^{2-1/d}$的阈值，原来的概率游戏。此外，我们表明，最好的界限，可以得出这种方式确实是游戏的阈值，如果$F$是一个森林。我们用几个例子说明我们的技术，并推导出新的明确的界限时，$F$是一个路径的情况。
Game values of arithmetic functions
数论中的算术函数与组合对策论中的Sprague-Grundy函数相吻合。我们研究了由标准算术函数，如欧几里德除法，除数，除数和互素数及其否定数诱导的各种二人博弈。
The Optimal Way to Play the Most Difficult Repeated Coordination Games
本文研究了重复输赢协调博弈（WLC-博弈）。我们分析哪些协议是最佳的这些游戏，涵盖最坏的情况和平均情况下的情况下，即，优化保证的和预期的协调时间。我们首先分析选择匹配游戏（CM-游戏），这是一个简单而基本类型的WLC游戏，玩家的目标是从有限的一组最初无法区分的选择中选择相同的选择。我们给出了一个完全完整的分类的最佳预期和保证协调时间在两个球员的CM-游戏，并表明相应的最佳协议是唯一的，在每种情况下-除了在CM-游戏有四个选择，我们分别分析。我们的CM-游戏的结果是必不可少的证明一个更一般的结果，所有的WLC-游戏的难度：我们提供了一个完整的分析，最佳的预期协调时间在所有两个球员的WLC-游戏作为游戏大小的函数的最小上界。我们还表明，CM游戏可以被看作是最困难的游戏中的所有两个球员的WLC游戏，因为他们原来有最大的最佳预期协调时间。
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