A point-sphere incidence bound in odd dimensions and applications
本文证明了有限域上向量空间中一个新的点球关联界。更准确地说，让$P$是一组点，$S$是$\mathbb{F}_q^d$中的一组球。假设$|P|, |S|\le N$，证明了在$d, q$和半径满足一定条件下，$P$与$S$的关联数满足\[I(P, S)\le N^2q^{-1}+q^{\frac{d-1}{2}}N,\]。这改进了文献中已知的上限$N^2q^{-1}+q^{\frac{d}{2}}N$。作为一个应用，我们表明，$A\subset \mathbb{F}_q$与$q^{1/2}\ll |A|\ll q^{\frac{d^2+1}{2d^2}}$，一个有\[\max \left\lbrace |A+A|,~ |dA^2|\right\rbrace \gg \frac{|A|^d}{q^{\frac{d-1}{2}}}.\]这改善了早期的结果在任意有限域上的这种和产品类型的问题。
2021-09-17 math.CO
Incidences between points and lines in three dimensions
我们给出了一个相当基本和简单的证明，表明$m$点和$n$线在${\mathbb R}^3$之间的关联数，使得没有平面包含超过$s$线，是$$ O\left(m^{1/2}n^{3/4}+ m^{2/3}n^{1/3}s^{1/3} + m + n\right) $$（在精确的陈述中，第一项和第三项的比例常数以相当弱的方式依赖于$m$和$n$之间的关系）。这个界限最初是由Guth和Katz~ \cite{GK2}在解决Erd{ \H o}s的不同距离问题时迈出的重要一步得到的，它也是入射几何中的一个重要的新结果，在过去的六年里，这一领域取得了相当大的进展。它的原始证明使用了代数和微分几何中相当复杂的机器，因此非常希望简化证明，以便更好地理解问题的几何结构，并为解决类似问题提供新的工具。Guth~ \cite{Gu14}最近已承担了这项工作。本文提出了一个不同的和更简单的推导，更好的界限比\cite{Gu14}，没有限制性的假设。我们的结果具有潜在的应用程序在更高的维度的其他发病率问题。
2015-01-12 math.CO
An incidence theorem in higher dimensions
证明了$\R^d$中点与有界度的$k$维簇的关联的几乎紧界.我们的主要工具是多项式火腿三明治定理和归纳的维数和点数。
2017-03-16 math.AG math.CO
An improved point-line incidence bound over arbitrary finite fields via the VC-dimension theory
利用VC-维数论中的工具，证明了Vinh（2011）在任意有限域上的点线关联界在一定范围内是可以改进的.作为结果，将详细讨论一些应用。
2023-03-01 math.CO math.NT
The Terwilliger algebra of the incidence graphs of Johnson geometry
Levstein和Maldonado [F.莱夫斯坦角Maldonado，The Terwilliger algebra of the Johnson schemes，Discrete Mathematics 307（2007）1621- 1635]计算了当$J(n,m)$.本文确定了当$3m\leq n$时Johnson几何的关联图$J(n,m,m+1)$的Terwilliger代数，给出了这个代数的两个基，并计算了它的维数.
2011-11-06 math.CO
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
2015-12-04 math.CO
Orthogonal representations of Steiner triple system incidence graphs
Heawood图是Fano平面的点块关联图（唯一的7阶Steiner三元系）。我们证明了这个图的最小半定秩是10。也就是说，10是该图具有忠实正交表示的最小复数维，即，给每个顶点分配一个向量，使得边恰好出现在给定非正交对的那些顶点之间。我们的一些技术延伸到关联图的施泰纳三元系的更大的顺序，我们包括一些意见和问题的更一般的情况下。
2017-08-25 math.CO
A Point-Conic Incidence Bound and Applications over $\mathbb F_p$
本文证明了素域上点与二次曲线的第一关联界。作为应用，我们证明了新的结果，扩大二元多项式图像和不同的距离问题的某些变化。其中包括固定代数距离数的新下界，以及Koh和Sun（2014）和Shparlinski（2006）关于由有限域上的两个大的有限维向量空间子集形成的距离集的大小的结果的改进。我们还证明了贝克定理的一个变种。
2022-07-25 math.CO
Metric dimension of dual polar graphs
图$Γ$的解析集是顶点$S$的集合，选择这些顶点使得对于每个顶点$v$，从$v$到$S$的成员的距离列表唯一地指定$v$。度量维度$μ(Γ)$是$Γ$的解析集的最小大小。本文研究了对偶极图的度量维数，证明了它至多是对应极空间的关联矩阵在$\mathbb{R}$上的秩。然后，我们计算这个秩给一个明确的上界的度量维数的对偶极图，以及减半对偶极图。
2023-03-14 math.CO
Hyperplane Incidences and Distance Sets in Higher Dimensions
University of Chicago（芝加哥大学）
将二维点线相交界推广至高维，改进三维和四维Falconer距离集问题，并推广Furstenberg集界至任意维度。
2026-10-01 math.CA math.CO
Incidence bounds via extremal graph theory
本文提出一种基于极值图论的组合方法研究任意域上的点-超平面关联问题，在实数域匹配已知最佳界、在有限域达到精确界，并进一步解决了点-簇关联、单位距离及代数图 Zarankiewicz 型问题。
2024-04-03 math.CO
On the metric dimension of imprimitive distance-regular graphs
图$Γ$的解析集是顶点$S$的集合，选择这些顶点使得对于每个顶点$v$，从$v$到$S$的成员的距离列表唯一地指定$v$。$Γ$的度量维数是$Γ$的解析集的最小大小。距离正则图的度量维数一直是研究的热点。Babai从20世纪80年代初的工作产生了一般的界限度量维数的原始距离正则图的参数。我们展示了非本原距离正则图的度量维数如何与它的二等分图和折叠图的度量维数相关，但也考虑了无限族（包括泰勒图和某些对称设计的关联图），其中可能有更精确的结果。
2016-01-06 math.CO
Linear series on general curves with prescribed incidence conditions
利用退化和Schubert演算，研究了亏格为$g$的一般曲线上给定次数$d$和维数$r$的线性级数在$n$点满足给定关联条件的个数问题.当$d$足够大时，我们完全确定了任意维数的线性级数的这些数，当$r=1$或$n=r+2$时，我们完全确定了所有$d$的这些数。我们的公式推广了Tevelev和Cela-Pandharipande-Schmitt最近的结果并给出了新的证明。
2022-02-22 math.AG math.CO
Incidences with curves in three dimensions
研究了$R^3$中涉及点和曲线的关联问题。目前（事实上只有可行的）办法，这样的问题，开创了古斯和卡茨，需要各种工具，从代数几何，最显着的是（一）多项式分割技术，以及（二）研究代数曲面的规定线，或在最近的研究，由代数曲线的一些恒定的程度。通过利用和完善这些工具，我们得到了新的和改进的边界点曲线的关联问题的$R^3$。这类事件在以前的几项研究中已经被考虑过，从Guth和Katz关于点和线的工作开始。我们的结果，这是基于工作的Guth和Zahl关于曲面的双重规则的曲线，提供了一个大的推广，以前的结果。我们重建的点和线的界限，并改善，在某些重要的方式，最近的界限涉及点和圆（在Sharir，谢弗和Zahl），点和任意常数度代数曲线（在Sharir，谢弗和所罗门）。虽然在后一种情况下，我们并不知道（也强烈怀疑）边界是紧的，但在某种意义上，我们的边界是用这种方法可以得到的最好的，考虑到目前的知识状态。作为点-曲线关联界的应用，我们证明了$R^3$中$n$点集所跨越的与给定三角形相似的三角形的个数为$O(n^{15/7})$，改进了Agarwal等人的界，我们的结果也与Guth等人的研究有关。(work正在进行中），并已在Sharir，Solomon和Zlydenko最近应用于三维相关的发病率问题。
2020-07-07 cs.CG math.CO
Polynomial partitioning on varieties of codimension two and point-hypersurface incidences in four dimensions
本文对余维至多为2的不可约复代数簇的实轨迹上的有限点集给出了一个多项式分割定理。这一结果推广了Guth和Katz在欧几里得空间上的多项式分割定理，以及Zahl和Kaplan、Matoušek、Sharir和Safernová在超曲面上的推广。我们还给出了四维欧几里得空间中点与超曲面的关联数的一个界。它是我们的分割定理的应用，以及由Barone和Basu的半代数集的连通分量数的精确界。
2015-09-20 cs.CG math.AC math.AG
An improved bound on the number of point-surface incidences in three dimensions
我们证明了满足适当的非退化条件的$\mathbb{R}^3$中有界度的$m$点和$n$光滑代数曲面最多有$O(m^{\frac{2k}{3k-1}}n^{\frac{3k-3}{3k-1}}+m+n)$关联，只要对某些$k\geq 3$，任何$k$点的集合最多有O（1）个曲面通过它们.在曲面为球面且没有三个球面相交于同一圆的情况下，这意味着存在$O((mn)^{3/4} + m +n)$点-球面入射。对于$β(m,n)$（显式）增长非常缓慢的函数，这比之前的$O((mn)^{3/4} β(m,n)+ m +n)$边界略有改进。我们得到这个界限使用离散多项式火腿三明治定理切割$\mathbb{R}^3$到开放的细胞适应的点集，并在每个细胞的分解，我们应用图兰型定理，以获得粗糙的控制点表面的发病率。然后，我们执行第二个多项式火腿三明治分解的不可约组件的品种所定义的第一次分解。作为应用，我们得到了$\mathbb{R}^3$中$m$点间最大单位距离个数的一个新的界.
2012-09-03 cs.CG math.CO
Local recognition of the point graphs of some Lie incidence geometries
本文证明了有限李型关联几何（如极空间、强副极空间或线格拉斯曼型副极空间）的点图由其局部结构唯一决定，并据此分类了相关强正则图。
2023-10-14 math.CO
Incidences with curves and surfaces in three dimensions, with applications to distinct and repeated distances
我们研究了广泛的关联问题，涉及点和曲线或点和曲面在$\mathbb R^3$。Guth和Katz [2010，2015]开创的当前（实际上是唯一可行的）解决此类问题的方法需要代数几何中的各种工具，最值得注意的是（i）多项式分割技术，以及（ii）研究由直线或在最近的研究中[Guth-Zahl 2016]，由一定次数的代数曲线控制的代数曲面。通过利用和完善这些工具，我们获得了新的和改进的界限众多的发病率问题$\mathbb R^3$。在广义上，我们考虑两类问题，那些涉及点和常数度代数\emph{curves}，和那些涉及点和常数度代数\emph{surfaces}。在某些变体中，我们假设点位于某个固定的常次数代数簇上，而在另一些变体中，我们考虑3-空间中的任意点集。我们的结果提供了一个“大推广”的大多数以前的研究（特殊情况）以前的作品曲线和曲面。作为点曲线关联界的应用，我们考虑了$\mathbb R^3$中$n$点集所跨越的相似三角形个数的界问题，得到了该界$O(n^{15/7}),$，从而改进了Agarwal等人[2007]的界.作为我们的点-面关联界的应用，我们考虑了组合几何中两个最著名的公开问题$\mathbb R^3$中由$n$点集确定的不同重复距离问题.我们得到了两种特殊情况下，一个是点躺在一些代数簇的常度，和一个涉及之间的发生率在$P_1\times P_2$，其中$P_1…
2017-04-28 math.AG math.CO
On the metric dimension of affine planes, biaffine planes and generalized quadrangles
本文研究了一类特殊的部分线性空间的关联图的度量维数。证明了$q\geq13$阶仿射平面的度量维数是$3q-4$，并刻画了所有该大小的分解集，如果$q\geq 23$ .的度量维数的双仿射平面（也称为旗型椭圆半平面）的顺序$q\geq 4$下降$2q-2$和$3q-6$之间，而Deskiesian双仿射平面的下限被改善$q\geq 7$下的$8q/3-7$，和$3q-9\sqrt{q}$下的某些更强的限制$q$。本文确定了$(s,1)$，$s$任意阶广义四边形的度量维数.本文证明了$(q,q)$阶广义四边形的度量维数$q\geq2$至少为$\max\{6q-27,4q-7\}$，而经典广义四边形的度量维数$W(q)$和$Q(4,q)$至多为$8q$ .
2017-06-20 math.CO
Uniform distribution and geometric incidence theory
一个著名的单位距离猜想由于Erd \H os说，单位距离不能出现超过$C_εn^{1+ε}$倍（对于任何$ε>0$）之间的$n$点在欧几里德平面（见例如\cite{SST84}和其中包含的参考文献）。在三维中，固定的结合是$Cn^{\frac{4}{3}}$（参见例如\cite{KMSS12}和\cite{Z19}）。在四维和更高维中，这个问题在其一般公式中失去了意义，因为Lens示例表明，可以在$4$和更高维中构造一组$n$点，其中单位距离出现$\approx n^2$次（例如参见\cite{B97}）。然而，透镜的例子本质上是一维的，这就提出了一种可能性，即单位距离猜想在点集上附加结构假设的情况下，在高维中仍然很有趣。\cite{I19}、\cite{IS16}、\cite{IMT12}、\cite{IRU14}、\cite{OO15}中探讨了这一观点，并在单位距离问题与其连续对应问题之间建立了一些有趣的联系，特别是法尔科纳距离猜想（\cite{Falc85}）。本文在点集族是均匀分布的假设下，研究了单位距离问题及其变形。我们证明了几个发病率界在此设置和澄清的背景下，在组合几何中的发病率问题的均匀分布序列的一些关键属性。
2022-02-10 math.CA math.CO math.NT
On the use of Klein quadric for geometric incidence problems in two dimensions
本文讨论了在$2D$中一类Erdös距离型几何组合学关联问题的统一解法。目标是获得二阶矩估计，即给定有限点集$S$和$S\times S$上的函数$f$，$$ f(p,p') = f(q,q')\neq 0,\qquad (p,p',q,q')\in S\times S\times S\times S. \qquad(*) $$的解的数目的上界，例如，$f$是平面、球面或双叶双曲面片中的欧几里得距离。我们的工具是$\mathbb{RP}^3$中直线的Guth-Katz关联定理，但我们专注于如何使原始的$2D$问题服从它。然而，对称性考虑可以被绕过或隐含。经典的Plücker-Klein线性几何形式使得人们能够直接将$(*)$的解解释为$\mathbb{RP}^3$中两条直线的交点。这使得一个非常简短的论点扩展欧几里德平面距离的论点，球面和双曲距离。我们还发现了问题$(*)$的实例没有潜在的对称群。三维空间中的直线空间，即克莱因二次曲面$\mathcal K$，是四维的。我们从一个单射映射$\mathfrak F:\,S\times S\to\mathcal K$开始，从$2D$中的一对点到$3D$中的一条线，并寻求一个形式为$(*)$的组合问题，可以通过将Guth-Katz定理应用于所讨论的线的集合来解决。我们确定了一些新的这样的问题，并概括现有的。
2016-09-04 math.CO math.MG
Surface topology and incidence theorems over division rings
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
本文探讨了曲面拓扑与除环上 incidences 定理的区别，通过扩展表面图方法，证明某些定理在除环上成立，而另一些则仅在域上成立。
2026-03-19 math.CO math.GT math.MG
Improved bounds for incidences between points and circles
我们建立了一个改进的上界之间的关联数m点和n个圆在三维空间。先前最著名的界限，最初建立的平面的情况下，后来扩展到任何维$\ge 2$，是$O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$，其中$O*(\cdot)$符号隐藏子多项式因子。因为所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球面）上，所以如果不先在平面上改进它，就不可能改进R^3中的界。然而，我们表明，如果一组圆需要是“真正三维的”，在这个意义上，没有球体或平面包含超过$q$的圆，对于一些$q << n$，那么界限可以改进为\[O*(m^{3/7}n^{6/7} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m^{6/11}n^{15/22}q^{3/22} + m + n). \]。当$m=Θ(n)$和$q = o(n^{7/9})$）时，该界限小于下限$Ω*(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$，该下限在二维中成立。我们给出了新界的几个推广和应用：（i）对于所有圆具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界$O*(m^{5/11}n^{9/11} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m + n$。(ii)我们提出了一种改进的分析，删除了子多项式的因素，从绑定时，$m=O(n^{3/2-\eps})$的任何固定的$\varepsilon >0$。(iii)我们利用我们…
2014-06-16 cs.CG math.CO
Varieties of Lines in 3-Space
本文研究三维空间中由图定义的线配置，通过生成树坐标进行高效计算，并探讨其在散射振幅分析中的应用。
2025-11-26 hep-th math.AC math.AG
