具有PDMATHAAB的分划代数$\mathsf{P}_k(n)$和对称群$\mathsf{S}_n$的不变量理论基本定理
Partition algebras $\mathsf{P}_k(n)$ with $2k>n$ and the fundamental theorems of invariant theory for the symmetric group $\mathsf{S}_n$
摘要：
假设$\mathsf{M}_n$是对称群$\mathsf{S}_n$的$n$维置换模，$\mathsf{M}_n^{\otimes k}$是它的$k$倍张量幂.对于所有的$k, n \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$，分划代数$\mathsf{P}_k(n)$满射映射到中心化代数$\mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$上，而当$n \ge 2k$时，分划代数$\mathsf{P}_k(n)$同构。我们描述的图像的满射$Φ_{k,n}:\mathsf{P}_k(n) \to \mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$明确的轨道基的$\mathsf{P}_k(n)$和表明，当$2k > n$的核心$Φ_{k,n}$是由一个单一的本质幂等元$\mathsf{e}_{k,n}$，这是一个轨道基元素。我们得到一个介绍$\mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$强加一个额外的关系，$\mathsf{e}_{k,n} = 0$，标准表示的分区代数$\mathsf{P}_k(n)$时$2k > n$。由此得到了对称群PDMATHAMO的不变理论的基本定理。我们表明下的自然嵌入的分区代数$\mathsf{P}_n(n)$到$\mathsf{P}_k(n)$的$k \ge n$的本质幂等$\mathsf{e}_{n,n}$生成的核心$Φ_{k,n}$。因此，当$k \ge n$时，关系$\mathsf{e}_{n,n} = 0$可以代替$\mathsf{e}_{k,n} = 0$。
英文摘要：
Assume $\mathsf{M}_n$ is the $n$-dimensional permutation module for the symmetric group $\mathsf{S}_n$, and let $\mathsf{M}_n^{\otimes k}$ be its $k$-fold tensor power. The partition algebra $\mathsf{P}_k(n)$ maps surjectively onto the centralizer algebra $\mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$ for all $k, n \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$ and isomorphically when $n \ge 2k$. We describe the image of the surjection $Φ_{k,n}:\mathsf{P}_k(n) \to \mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$ explicitly in terms of the orbit basis of $\mathsf{P}_k(n)$ and show that when $2k > n$ the kernel of $Φ_{k,n}$ is generated by a single essential idempotent $\mathsf{e}_{k,n}$, which is an orbit basis element. We obtain a presentation for $\mathsf{End}_{\mathsf{S}_n}(\mathsf{M}_n^{\otimes k})$ by imposing one additional relation, $\mathsf{e}_{k,n} = 0$, to the standard presentation of the partition algebra $\mathsf{P}_k(n)$ when $2k > n$. As a consequence, we obtain the fundamental theorems of invariant theory for the symmetric group $\mathsf{S}_n$. We show under the natural embedding of the partition algebra $\mathsf{P}_n(n)$ into $\mathsf{P}_k(n)$ for $k \ge n$ that the essential idempotent $\mathsf{e}_{n,n}$ generates the kernel of $Φ_{k,n}$. Therefore, the relation $\mathsf{e}_{n,n} = 0$ can replace $\mathsf{e}_{k,n} = 0$ when $k \ge n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
