Decompositions of Unit Hypercubes and the Reversion of a Generalized Möbius Series
令$s_d(n)$是具有$n$矩形区域的$d$维超立方体的不同分解的数目，其可以通过一系列分裂操作获得。证明了生成级数$y = \sum_{n \geq 1} s_d(n)x^n$满足函数方程$x = \sum_{n\geq 1} μ_d(n)y^n$，其中$μ_d(n)$是Möbius函数的$d$ -重Dirichlet卷积.这推广了Goulden等人最近的结果，并证明了$s_1(n)$也给出了$\mZ$具有$n$剩余类的自然精确覆盖系的个数.证明了$s_d(n)$的一个渐近公式，并描述了$1$ -维分解与自然精确覆盖系统之间的一个双射.
2022-05-07 math.CO
Generalization of Cycle Decompositions of Even Dimensional Hypercubes on $d$-Dimensional Toruses
针对偶数维超立方体圈分解前期工作覆盖圈长有限的问题，提出两种新颖构造方法，在圈的笛卡尔积上显式实现几乎所有可能长度的圈分解，深化相关认知并取得最长可容许圈长分解的研究进展。
2024-03-06 math.CO
Double shortcuts of standard hypercube decompositions
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）
本文研究了任意对称群Bruhat区间标准超立方体分解对的双捷径，结果支持[伦敦数学学会公报，57(2025)，no.8]中猜想在标准超立方体分解类中的成立。若该猜想对所有超立方体分解成立，则Kazhdan-Lusztig多项式组合不变猜想将成立。
2026-05-13 math.CO math.RT
Edge Decompositions of Hypercubes by Paths and by Cycles
如果$H$是（或同构于）$G$的一个子图，则$H$被称为{ \it divide} $G$，如果存在$G$被$H$的边集$E(H)$的拷贝边分解。更严格的版本是当存在{ \rm Aut} $(G)$的子群${\cal H}$时，$G$的自同构群，使得$E(H)$的拷贝是$E(H)$通过${\cal H}$的元素的翻译。在第二作者的一篇论文中，这种情况被描述为$H$，或更准确地说$E(H)$，是$G$的{ \it基本}集。许多作者研究了各种图的整除性概念，特别是超立方体的各种子图，如路，树和圈。我们继续这样的研究在本文中，既整除性，并在可能的情况下，基本集。论文的最后一部分列出了我们的主要结果。
2013-09-05 math.CO
Long path and cycle decompositions of even hypercubes
考虑$n$维超立方体$Q_n$的边分解为给定图$H$的同构副本.虽然一些结果是已知的分解$Q_n$到图从不同的类，最简单的情况下，路径和循环的一个给定的长度是远远没有被理解。Erde的一个猜想断言，如果$n$是偶数，$\ell < 2^n$和$\ell$整除$Q_n$的边数，则长度为$\ell$的路径分解为$Q_n$。Tapadia等人证明了任何长度为$2^mn$的路径，其中满足这些条件的$2^m<n$分解为$Q_n$。在这里，我们取得了进展，解决Erde的猜想表明，周期的某些长度高达$2^{n+1}/n$分解$Q_n$。因此，我们表明，$Q_n$可以分解成任何路径的长度最多$2^{n}/n$划分的边缘数的$Q_n$，从而解决Erde的猜想的线性因子。
2021-01-24 math.CO
On the number of SQSs, latin hypercubes and MDS codes
建立了$n$阶拉丁$d$ -立方体个数的对数为$Θ(n^{d}\ln n)$，正交$n$阶正交拉丁方对个数的对数为$Θ(n^2\ln n)$ .对于相互强正交拉丁$d$ -立方体的系统也得到了类似的估计。由此构造了一组基数的对数为$Θ(n^3\ln n)$的$n$阶Steiner四元系，即$n\rightarrow\infty$和$n\ {\rm mod}\ 6= 2\ {\rm or}\ 4$ .
2017-08-04 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. V
我们考虑的有向拟阵的topes可实现为$\mathbb{R}^{2^t}$中的坐标超平面的安排，相对于一个杰出的对称$2\cdot 2^t$ -圈在其topes超立方体图$\boldsymbol{H}(2^t,2)$。我们寻求这样的分解的背景下的子集家庭的地面集$E_t:=\{1,\ldots,t\}$和家庭的阻塞集的解释，在混乱的背景下，$E_t$和他们的阻滞剂。
2021-08-03 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. II
我们提出了明确的描述的顶点分解的超立方体图关于其独特的对称圈。
2021-06-07 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. IV
本文给出了超立方体图的顶点的分解（关于一个特殊的对称2 t-圈）的统计量，其负部分被基集{1，. t}的相应的定向拟阵。
2023-03-23 math.CO
Parabolic recursions for Kazhdan-Lusztig polynomials and the hypercube decomposition
利用一般的抛物递归方法证明了最近提出的$S_n$的Kazhdan-Lusztig多项式的超立方公式，并通过代数证明将其推广到有限Coxeter系统的满集.我们介绍了程序的积极分解的$q$派生Kazhdan-Lusztig多项式在此设置，利用经典的Hecke代数积极性现象的戴尔-莱勒和Grojnowski-海曼。这导致了一个独特的算法方法的基础上，从一个抛物子群的诱导。我们提出了组合不变猜想的适当弱变式，并证明了它们对置换群的有效性。
2023-03-16 math.CO math.RT
A cube dismantling problem related to bootstrap percolation
Monash University（莫纳什大学）
本文研究了立方体拆解问题，提出贪心算法用于检测解，并证明完美解对应拉丁超立方。在三维中，发现至少n个完美解，并构造了无限族非完美解。结果解决了Barát等人提出的猜想。
2026-03-25 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. III
本文统计了超立方体图的顶点分解（关于一个特殊的对称2 t-圈），其负部分被看作是基集{1，. t}的相应的定向拟阵。
2020-08-24 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs
若V是顶点为{1，-1}^t的超立方体图中对称2 t-圈的顶点序列，则对于图的任意顶点T，存在V的唯一包含极小子集，使得T是其元素之和。给出了超立方体图关于对称圈的顶点分解的一个简单的组合统计量，并描述了它们的基本度量性质。
2018-11-06 math.CO
Near invariance of the hypercube
我们给出了一个几乎完整的描述正交矩阵$M$的顺序$n$，“旋转一个不可忽略的分数的布尔超立方体$C_n=\{-1,1\}^n$到自己”，在这个意义上，$$P_{x\in C_n}(Mx\in C_n) \ge n^{-C},\mbox{ for some positive constant } C,$$，其中$x$是均匀采样$C_n$。特别是，我们表明，这样的矩阵$M$必须非常接近的产品置换和反射矩阵。这一结果是表征具有大积算式的正交和酉矩阵的一步，这是一个应用于线性光学量子计算的问题。
2014-10-10 math.CO math.PR
A perfect matching reciprocity method for embedding multiple hypercubes in an augmented cube: Applications to Hamiltonian decomposition and fault-tolerant Hamiltonicity
本文利用增强立方体的凯莱性质和互反完美匹配方法，给出AQ_n中Q_n同构子图数量的下界及最少公共边子图对的构造，并应用于证明AQ_n的边不相交哈密顿圈分解和容错双泛圈性。
2025-07-17 math.CO
Decompositions of $n$-Cube into $2^mn$-Cycles
已知$n$维超立方体$Q_n,$对于$n$甚至可以分解为$k=n, 2n,$的$k$ -圈$2^l$具有$2 \leq l \leq n.$本文证明了$Q_n$对于$n \geq 2^m.$可以分解为$2^mn$ -圈作为这个结果的直接结果，我们还得到了$Q_n$的路径分解.这给出了Ramras提出的一个猜想的部分解决方案，并且解决了Erde猜想的一些特殊情况。
2018-04-04 math.CO
Globally simple Heffter arrays and orthogonal cyclic cycle decompositions
在本文中，我们介绍了一类特殊的Heffter阵列，称为全球简单的Heffter阵列，其存在性，使在一次正交循环分解的完全图和鸡尾酒会图。特别是，我们提供了明确的结构，这样的分解周期长度$k\leq 10$。此外，从我们的Heffter阵列，我们还获得了双嵌入的两个$k$ -循环分解上的可定向曲面。
2018-06-12 math.CO
The BBDVW Conjecture for Kazhdan-Lusztig polynomials of lower intervals
Harvard University（哈佛大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文证明了BBDVW猜想在下区间中的成立，为Kazhdan-Lusztig多项式组合不变猜想提供了新的证据。
2026-02-19 math.CO
Gray codes and symmetric chains
我们考虑的问题，构造一个循环列表的所有位串的长度$2n+1$与汉明重量的间隔$[n+1-\ell,n+\ell]$，其中$1\leq \ell\leq n+1$，通过翻转一个单一的位在每一步。这是著名的中间两个层次的问题（情况$\ell=1$）的一个广泛的推广。我们提供了一个解决方案的情况下，$\ell=2$，我们解决了一个宽松的版本的问题，一般值的$\ell$，通过构建周期因素，这些情况下。第一个结果的证明使用的词汇匹配介绍Kierstead和Trotter，我们推广到任意连续水平的超立方体。第二个结果的证明使用超立方体的对称链分解，这是偏序集理论中的一个概念。我们还提出了几个新的结构，这样的分解的基础上词汇匹配。特别地，我们构造了任意$n\geq 12$的$n$维超立方体的四个两两边不相交的对称链分解。
2021-10-29 cs.DM math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Decompositions of Topes, and Orthogonality Relations
设V（R）是简单定向拟阵M的拓扑图中对称圈R的顶点集，则对M的任意拓扑T，存在V（R）的唯一包含极小子集Q（T，R），使得T是Q（T，R）的拓扑之和.如果对于两个简单定向拟阵的顶图中关于对称圈R'和R”的分解Q（T'，R '）和Q（T”，R”），它们的基集具有相反的宇称势，我们有|Q（T '，R'）|>3和|Q（T”，R”）|>3，则这些分解满足一定的正交关系。
2017-03-28 math.CO
Orthogonal cycle systems with cycle length less than 10
$G$的$H$ -分解是将$G$的边集划分为子集，其中每个子集导出图$H$的副本。图$G$的$k$ -正交$H$ -分解是$G$的$k$ $H$ -分解的集合，使得不同的$H$ -分解中的任何两个$H$副本至多在一条边相交。当$G=K_v$时，我们称$H$ -分解为$H$ -阶系统$v$。本文考虑$H$是$l$ -圈的情形，对除$(l,v)=(7,7)$和$(l,v)=(9,9)$外的所有容许阶，构造了一对正交的$l$ -圈系统。
2023-02-10 math.CO
Deep sections of the hypercube
本文研究了超立方体超平面截面的(d-1)维体积随维数d的单调性，扩展了距离参数t的范围，确定了体积的严格递减区间及局部极值性，并给出了Eulerian numbers收敛速率的精确估计。
2025-03-04 math.CO math.FA math.MG
On orthogonal symmetric chain decompositions
$n$ -立方体是通过包含对$\{1,\ldots,n\}$的所有子集进行排序而得到的偏序集，它可以被划分成$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$链，这是最小可能数。$n$ -立方体的两个这样的分解被称为正交的，如果任何两个链的分解共享最多一个元素。Shearer和Kleitman在1979年证明了$n$ -立方体有$\lfloor n/2\rfloor+1$成对正交分解为最少链数，并构造了两个这样的分解. Spink最近改进了这一点，证明了$n$立方体对于$n\geq 24$有三个成对的正交链分解.本文构造了$n\geq 60$的$n$ -立方体的四个两两正交链分解.我们还构造了五个成对的边不相交链分解的$n$立方体的$n\geq 90$，其中边不相交是一个比正交性稍弱的概念。
2019-04-25 cs.DM math.CO
A note on Combinatorial Invariance of Kazhdan--Lusztig polynomials
本文引入惊人超立方体分解及双捷径概念，提出蕴含对称群Kazhdan--Lusztig多项式组合不变性猜想的组合性猜想，附录还在余初等区间下证明了双超立方体的类似猜想。
2024-11-25 math.CO math.RT
